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1、关于重积分的应用(2)1第一页，讲稿共三十四页哦2一、曲面的面积 设设 D 为为可求面可求面积积的平面有界区域的平面有界区域,在在 D 上上 具有连续的一阶偏导数，现讨论由方程具有连续的一阶偏导数，现讨论由方程 所表示的曲面所表示的曲面 S 的面积的面积.(1)对对区域区域 D 作分割作分割 T，把，把 D 分成分成 n 个小区域个小区域 .这这个分割相个分割相应应地将曲面地将曲面 S 也分成也分成 n 个个 小曲面片小曲面片(2)在每个在每个 上任取一点上任取一点,作曲面在作曲面在这这一点的切一点的切 第二页，讲稿共三十四页哦3近近用切平面用切平面代替代替小小 曲面片曲面片从从而当而当 充分
2、小充分小时时,有有 ,并在并在上取出一小上取出一小块块,使得使得 与与在在平面平面这这里里 分别分别 平面上的投影都是平面上的投影都是(见图见图 21-38).).在点在点 附附 第三页，讲稿共三十四页哦4(3)当当 时时,定定义义和式和式的极限的极限(若存在若存在)现在按照上述曲面面积的概念现在按照上述曲面面积的概念,来建立曲面面积的来建立曲面面积的 计算公式计算公式.为为此首先此首先计计算算的面的面积积.由于切平面由于切平面的法向量就的法向量就 是曲是曲面面 S 在点在点处处的法向量的法向量 n,记记它与它与 z 作为作为 的面积的面积.的面的面积积.表示表示 轴轴的夹角为的夹角为 则则
3、第四页，讲稿共三十四页哦5注意到和数注意到和数 是是连续连续函数函数 在有界在有界闭闭域域 D 第五页，讲稿共三十四页哦6上的上的积积分和分和,于是当于是当 时时,上式左上式左边趋边趋于于 而右边而右边趋趋于于 这这就得就得 或另一形式或另一形式:到曲面到曲面 S 的面积计算公式的面积计算公式:第六页，讲稿共三十四页哦7解解 据曲面面积公式据曲面面积公式,其中其中 D 是是 曲面方程曲面方程 例例1 求求圆锥圆锥 在在圆圆柱体柱体 内内 那一部分的面积那一部分的面积.故故 是是 第七页，讲稿共三十四页哦8表示，其中表示，其中 在在 D 上具有上具有连续连续的的 一阶偏导数一阶偏导数,且且 若空
4、间曲面若空间曲面 S 由参数方程由参数方程 参数曲面的面积公式参数曲面的面积公式第八页，讲稿共三十四页哦9则则曲面曲面 S 在点在点 的法的法线方向为线方向为 记记 与与 轴夹轴夹角的余弦角的余弦则为则为 第九页，讲稿共三十四页哦10其中其中 当当时时,对对公式公式(2)作作变换变换:第十页，讲稿共三十四页哦11则有则有 由由(4),),便得参数曲面便得参数曲面(3)的面积公式：的面积公式：第十一页，讲稿共三十四页哦12例例2 求球面上两条纬线和两条经线之间曲面的面积求球面上两条纬线和两条经线之间曲面的面积 （图（图21-39中阴影部分中阴影部分).).解解 设球面的参数方程为设球面的参数方程
5、为:其中其中 R 是是球面半径球面半径.这这里是求当里是求当 时时球面上的面球面上的面积积.由于由于 第十二页，讲稿共三十四页哦13所以所以 由公式由公式(5)即得所求曲面的面积即得所求曲面的面积:注注 在讨论曲线的弧长时在讨论曲线的弧长时,我们曾用弧内接折线长度我们曾用弧内接折线长度 第十三页，讲稿共三十四页哦14地用曲面的内接多边形面积的极限来定义曲面面积地用曲面的内接多边形面积的极限来定义曲面面积 呢呢?施瓦茨曾举出一个反例说明这样的定义方法是施瓦茨曾举出一个反例说明这样的定义方法是 不可行的，对此读者可参见有关的数学分析教程不可行的，对此读者可参见有关的数学分析教程 （如菲赫金哥尔茨（
6、如菲赫金哥尔茨微积分学教程微积分学教程中译本第三卷中译本第三卷 第二分册第二分册).).的面积公式，下面用二重积分给予严格证明的面积公式，下面用二重积分给予严格证明.*例例3 设平面光滑曲线的方程为设平面光滑曲线的方程为 的极限来定义的极限来定义(当各段的长趋于零时当各段的长趋于零时),),但能否类似但能否类似 在上册的定积分应用中，曾用微元法给出过旋转面在上册的定积分应用中，曾用微元法给出过旋转面 第十四页，讲稿共三十四页哦15求求证证此曲此曲线绕线绕 轴轴旋旋转转一周得到的旋一周得到的旋转转面的面面的面积为积为 证证 由于上半旋由于上半旋转转面的方程面的方程为为 因此因此 第十五页，讲稿共
7、三十四页哦16不妨设不妨设 则则 第十六页，讲稿共三十四页哦17二、重 心 设设密度函数密度函数为为的空的空间间物体物体 V，在在 V 上连续上连续.为求得为求得 V 的重心坐标的重心坐标,先对先对 V 作分割作分割 T,是小是小块块的的质质量可用量可用近似代替近似代替,若若 把每一把每一块块看作看作质质量集中在量集中在的的质质点点时时,整个整个物体就可用这物体就可用这 n 个质点的质点系来近似代替个质点的质点系来近似代替.由于由于质点系的重心坐标公式为质点系的重心坐标公式为在属于在属于 T 的每一小的每一小块块 上任取一点上任取一点于于 第十七页，讲稿共三十四页哦18第十八页，讲稿共三十四页
8、哦19的重心坐标的重心坐标:当物体当物体 V 的密度均匀分布的密度均匀分布时时,即即 为为常数常数时时，则则有有当当自然地可把它们的极限定义作为自然地可把它们的极限定义作为 V 第十九页，讲稿共三十四页哦20同同样样可以得到可以得到,密度函数密度函数为为的平面薄板的平面薄板 D 的的 重心坐标重心坐标:当当 为为常数常数时时，则则有有第二十页，讲稿共三十四页哦21例例4 求密度均匀的上半椭球体的重心求密度均匀的上半椭球体的重心.解解 设椭球体由设椭球体由 表示表示.借助借助对对 又由又由为为常数常数,所以所以 称性知道称性知道第二十一页，讲稿共三十四页哦22由由5 例例5 已知已知 故得故得
9、即求得上半椭球体的重心坐标为即求得上半椭球体的重心坐标为 第二十二页，讲稿共三十四页哦23三、转 动 惯 量 A 的质量的质量,r 是是 A 与与 l 的距离的距离.现在讨论空间物体现在讨论空间物体 V 的转动惯量问题的转动惯量问题,我们仍然采我们仍然采 用前面的办法用前面的办法,把把 V 看作由看作由 n 个质点组成的质点系，个质点组成的质点系，然后用取极限的方法求得然后用取极限的方法求得 V 的转动惯量的转动惯量.设设为为 V 的密度函数的密度函数,它在它在 V 上上连连续续.照例照例对对 V 作分割作分割 T,在属于在属于 T 的每一小的每一小块块 上任取一点上任取一点 质点质点 A 对
10、于轴对于轴 l 的转动惯量为的转动惯量为 其中其中 m 是是 第二十三页，讲稿共三十四页哦24质点系质点系对对于于x 轴轴的的转动惯转动惯量是量是 令令 上述和式的极限就是上述和式的极限就是 V 对对于于 x 轴的转轴的转 以以近似替代近似替代 的质量的质量.当以当以质质点系点系 近似替代近似替代 V 时时,动惯量动惯量:第二十四页，讲稿共三十四页哦25类似可得类似可得 V 对于对于 y 轴与轴与 z 轴的转动惯量分别为轴的转动惯量分别为 同理同理,物体物体 V 对于坐标平面的转动惯量分别为对于坐标平面的转动惯量分别为 第二十五页，讲稿共三十四页哦26同样地同样地,平面薄板平面薄板 D 对于坐
11、标轴的转动惯量为对于坐标轴的转动惯量为 其中其中为为 D 中点中点 到到 l 的距离的距离.平面薄板平面薄板 D 对于轴对于轴 l 的转动惯量为的转动惯量为 第二十六页，讲稿共三十四页哦27例例5 求密度均匀的圆环求密度均匀的圆环 D 对于垂直于圆环面中心对于垂直于圆环面中心 轴的转动惯量轴的转动惯量 (图图21-40).解解 设圆环设圆环 D 为为 密度密度为为则则 D 中任一点中任一点与与 z 轴轴的距离平方的距离平方于是于是转动惯转动惯量量为为为为 第二十七页，讲稿共三十四页哦28例例6 求均匀圆盘求均匀圆盘 D 对其直径的转动惯量对其直径的转动惯量(图图21-41).).解解 设圆盘设
12、圆盘 D 为为密度密度为为,求求对对于于 y 轴轴的的转转 动惯量动惯量.由于由于 D 内任一点内任一点 与与 y 轴轴的距离的距离为为 故故 其中其中 为圆环的质量为圆环的质量.第二十八页，讲稿共三十四页哦29其中其中 m 为圆盘的质量为圆盘的质量.例例7 设某球体的密度与各点到球心的距离成正比，设某球体的密度与各点到球心的距离成正比，试求它对于切平面的转动惯量试求它对于切平面的转动惯量.解解 设设球体由不等式球体由不等式 表示表示;密度函数密度函数 为为 k 为为比例常数比例常数;取切平面方程取切平面方程为为 则则球体球体对对于此平面于此平面的转动惯量为的转动惯量为 第二十九页，讲稿共三十
13、四页哦30经详细计算经详细计算,可得可得第三十页，讲稿共三十四页哦31四、引 力 求密度求密度为为 的立体的立体 V 对对立体外立体外单单位位质质点点 A 的引力的引力.设设 A 的坐的坐标为标为 V 中点的坐中点的坐标标用用 表表 示示,现用微元法来求现用微元法来求 V 对对 A 的引力的引力.V 中质量微元对中质量微元对 A 的引力在坐标轴上的投影为的引力在坐标轴上的投影为 第三十一页，讲稿共三十四页哦32于是于是,力力 F 在三个坐在三个坐标轴标轴上的投影上的投影分别为分别为 其中其中 k 为引力系数，为引力系数，第三十二页，讲稿共三十四页哦33例例8 设设球体球体 V 具有均匀的密度具有均匀的密度试试求求V 对对球外一球外一 点点 A 的引力的引力 (引力系数为引力系数为 k).显显然有然有解解 设设球体球体为为球外一点球外一点 A 的坐标为的坐标为 所以所以 第三十三页，讲稿共三十四页哦感感谢谢大大家家观观看看第三十四页，讲稿共三十四页哦