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1、二、三重积分计算的基本方法二、三重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系选择合适的坐标系使积分域多为坐标面使积分域多为坐标面(线线)围成围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序选择易计算的积分序积分域分块要少积分域分块要少,累次积分易算为妙累次积分易算为妙.图示法图示法列不等式法列不等式法3.掌握确定积分限的方法掌握确定积分限的方法 累次积分法累次积分法把积分把积分化为三次积分化为三次积分,其中其中 由曲面由曲面提示提示:积分域为积分域为原式原式及平面及平面所围成的闭区域所围成的闭区域.P183 题题7练习题练习题 计算三重积分计算三重
2、积分其中其中 是由是由 xoy平面上曲线平面上曲线所围成的闭区域所围成的闭区域.提示提示:利用柱坐标利用柱坐标原式原式绕绕 x 轴旋转而成的曲面与平面轴旋转而成的曲面与平面P183 题题8(3)三重积分计算的基本技巧三重积分计算的基本技巧分块积分法分块积分法利用对称性利用对称性1.交换积分顺序的方法交换积分顺序的方法2.利用对称性简化计算利用对称性简化计算3.消去被积函数绝对值符号消去被积函数绝对值符号1.积分区域关于坐标面的对称性积分区域关于坐标面的对称性.2.被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇偶性偶性.只有当积分区域和被积函数的对称性只有当积分
3、区域和被积函数的对称性相匹配相匹配时时,才才能简化能简化.利用对称性简化三重积分的计算：利用对称性简化三重积分的计算：其它情形依此类推其它情形依此类推.三重积分计算的简化三重积分计算的简化P182 题题1(1)设有空间闭区域设有空间闭区域 则有（则有（）例例1 解解典型例题典型例题 例例2 解解利用球面坐标利用球面坐标例例3 解解 在球坐标系下在球坐标系下利用洛必达法则与导数定义利用洛必达法则与导数定义,得得其中其中 第四节一、立体体积一、立体体积 三、物体的质心三、物体的质心 重积分的应用 第十章 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量 二、曲面的面积二、曲面的面积 五、物体的引力五、物体的引
4、力 二重积分的元素法二重积分的元素法将定积分的元素法推广到二重积分，可得二重积分的元素法：若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性：并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域d时，相应地部分量可近似地表示为f(x,y)d的形式，其中(x,y)在d内。f(x,y)d称为所求量U的元素，记为dU，则所求量的积分表达式为：（即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和），一、立体体积一、立体体积 一、立体体积一、立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为 占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为任一点的切平面与曲面所围立体的体积 V.例例1.求曲面分析分析:
5、第一步:求切平面 方程;第二步:求 与S2的交线 在xOy面上的投影,写出所围区域 D;第三步:求体积V.(示意图)任一点的切平面与曲面所围立体的体积 V.解解:曲面的切平面方程为它与曲面的交线在 xOy 面上的投影为(记所围域为D)在点例例1 1.求曲面例例2.求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.解解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为二、曲面的面积二、曲面的面积 曲面方程：D:有界闭区域求曲面的面积 A设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积累而成.设它在 D 上的投影为 d,(称为面积元素)则(见P99)故有曲面面积公式若光滑
6、曲面方程为则有即若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式则则有且曲曲面面面面积积其中其中D是曲面在坐标面是曲面在坐标面z=0上的投影区域上的投影区域求曲面面积的步骤：求曲面面积的步骤：（1）求曲面在坐标面）求曲面在坐标面z=0上的投影区域上的投影区域D（2）在区域）在区域D上计算二重积分：上计算二重积分：同理可得同理可得设曲面的方程为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：例例3求球面求球面 被平面被平面所截的球冠的面积。所截的球冠的面积。解：解：球冠在球冠在 xoy 面上面上的投影区域：的投影区域：半球面面积：半球面面积
7、：球面面积：球面面积：例例4 求圆锥面求圆锥面 被圆柱面被圆柱面 所截部分的面积。所截部分的面积。投影区域：投影区域：所求曲面：所求曲面：作业作业P155 10 P175 1，2，3习题课 三、物体的质心三、物体的质心 三、物体的质心三、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有空间域 ,有连续密度函数则 公式,分别位于为为即:采用“分割，近似，求和，取极限”可导出其质心 将 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点同理可得则得形心坐标：若物体为占有xoy
8、 面上区域 D 的平面薄片,(A 为 D 的面积)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度 对 x 轴的 静矩 对 y 轴的 静矩例例5.求位于两圆和的质心（形心）。解解:利用对称性可知而之间均匀薄片 z=0yxzo 柱面坐标柱面坐标a.用哪种坐标？用哪种坐标？例例6.四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量 设平面有设平面有n个质点个质点该质点系的转动惯量该质点系的转动惯量第第k个质点的位置个质点的位置质点系的转动惯量质点系的转动惯量质量质量xoy平面薄片的转动惯量平面薄片的转动惯量The Moment of Inertia of a Lamina如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式
9、是二重积分.例例7.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径解解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.空间有界闭区域上物体的转动惯量设物体占有空间区域 ,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元 因此物体 对 z 轴 的转动惯量:对 z 轴的转动惯量为 类似可得:对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量解解:取球心为原点,z 轴为 l 轴,则球体的质量例例8.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.设球 所占域为(用球坐标)五、物体的引力五、物体的引力 ,G 为引力常数五、物体的引力五、物体的引力设物体占有空间区域,物体对位于点P0(x0,y0,z0)处的单
10、位质量质点的引力为其密度函数引力元素在三坐标轴上分量为其中若求 xOy 面上的平面薄片D,对点P0处的单位质量质点的引力分量,因此引力分量为 则上式改为D上的二重积分,密度函数改为 即可.例如,其中:例例9.设面密度为,半径为R的圆形薄片求它对位于点解解:由对称性知引力处的单位质量质点的引力.。例例10.求半径为R的均匀球对位于的单位质量质点的引力.解解:利用对称性知引力分量点为球的质量作业作业P175 5，7（1,3），11，14习题课 1.能用重积分解决的实际问题的能用重积分解决的实际问题的特点特点所求量是 对区域具有可加性 从定积分定义出发 建立积分式 用微元分析法(元素法)分布在有界闭域上的整体量 3.解题解题要点要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便 2.用重积分解决问题的用重积分解决问题的方法方法