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1、薛定薛定谔变分原理分原理薛定谔变分原理薛定谔变分原理束缚定态能谱和波函数可以求解定态薛定谔方程给出束缚定态能谱和波函数可以求解定态薛定谔方程给出薛定谔变分原理薛定谔变分原理:作泛函作泛函设设 是任一可归一化的态矢量是任一可归一化的态矢量则使则使 取极值的取极值的 都是都是 的本征矢量的本征矢量,而而 则是相应的本征值则是相应的本征值 证明证明作作 变分变分如果如果则有则有因为因为 独立无关独立无关,故故即即作作法法：首首先先选选取取一一个个 作作为为尝尝试试波波函函数数,由由此此给给出出体体系系的的能能量量期期望望值值 ,并并使使之之取取极极值值,即即可可定定出出最最佳佳的的尝尝试试波波函函数
2、数 用用来来作作为为本本征征函函数数的的近近似似,相相应应的的能能量量本本征值近似为征值近似为 。证毕证毕能量的二级近似能量的二级近似即即带带电电荷荷为为e e的的一一维维谐谐振振子子置置于于恒恒定定均均匀匀弱弱外外电电场场 中中，电电场场方方向向沿沿x x轴轴正正方方向向。将将谐谐振振子子与与电电场场的的相相互互作作用用视视为为微微扰扰，求体系能级的二级近似表示式，再与精确结果做比较。求体系能级的二级近似表示式，再与精确结果做比较。解：解：（1 1）体系的哈密）体系的哈密顿算符算符为 将将 分成分成 两部两部分，在弱电场下，分，在弱电场下，可看可看成微扰。成微扰。的本征的本征值和本征函数分和
3、本征函数分别为上式积分等于上式积分等于 0 0，因为，因为被积函数为奇函数。被积函数为奇函数。能量一能量一级修正修正能量二能量二级修正修正首先应计算首先应计算 矩阵元矩阵元利用谐振子本征函数的递推公式：利用谐振子本征函数的递推公式：有有对于谐振子有：对于谐振子有：波函数的一波函数的一级修正修正能量的二级近似为能量的二级近似为波函数的一级近似为波函数的一级近似为精确解：精确解：有有电场时，体系的哈密，体系的哈密顿算符算符为 满足足改写改写 有有(6-1)(6-1)其中其中式中式中故故(6-1)(6-1)式改写式改写为(6-2)(6-2)(6-2)(6-2)式是一维谐振子的本征值方程式是一维谐振子的本征值方程(6-3)(6-3)能量本征值为能量本征值为本征函数为本征函数为回代到回代到(6-3)(6-3)式中得式中得可见，体系仍是一个线性谐振子，可见，体系仍是一个线性谐振子，每一个能级都比无电场时的每一个能级都比无电场时的线性谐振子的相应能级低线性谐振子的相应能级低 平衡点向平衡点向x x正方向移动正方向移动 距离。距离。