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1、第一节第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的存在条件存在条件及性质 第三章 四、定积分的性质定积分的概念、第1页/共36页一、定积分问题举例一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积 A.矩形面积梯形面积第2页/共36页解决步骤解决步骤:1)分在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2)匀在第i 个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应小曲边梯形面积得第3页/共36页3)合合4)精令则曲边梯形面积第4页/共36页2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运
2、动,且求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤:1)分将它分成在每个小段上物体经2)匀得已知速度n 个小段过的路程为第5页/共36页3)合合4)精上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“分，合，匀，精”四步 所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限第6页/共36页二、定积分定义二、定积分定义 即同一个常数I,则称 f(x)在 a,b 上可积.且称此常数 I 为函数在区间上的定积分,记作个分点：选取,当和式总趋于任取如果无论区间如何分割，点如何任取如果无论区间如何分割，点如何第7页/共36页积分上限积分下限被积函数被积式积分变量积分和注：1、定积分又被称为Riemann 积分,简称 R
3、 积分。2、在定义中，当所有子区间的长度的最大值 d趋近于 0 时，区间的个数 n 趋于无穷大，但不能用第8页/共36页 3、定义包含了两个任意性，即对区间的分割与点的选取都是任意的.如果对区间的两种不同分割或的不同选择，得到的和式的极限不同，或者存在一个和式的极限不存在，则函数 f 在该区间上不可积。例如：Dirichlet 函数 x 为有理数x 为无理数在区间0,1上不可积！第9页/共36页数，它的值仅与被积函数 f 及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即4、函数 f 在区间 a,b 上的定积分是一个确定的常由定积分的定义可知两引例中:1、曲边梯形面积:A=2、变速直线运动的路
4、程:s=第10页/共36页定积分的几何意义定积分的几何意义:曲边梯形面积；曲边梯形面积的相反数.各部分面积的代数和第11页/共36页三、定积分的存在条件1.1.可积的必要条件定理1.1若函数 f 在a,b上可积,则 f 在a,b上有界.注:可积函数必有界,有界不一定可积.如Dirichlet函数.证明:(反证法)若 f 在 a,b 上无界，则对任意分割,必存在子区间，使 f 在该子区间上无界。因此，对任意正数 M，总存在使得可大于任给的常数。故其极限不存在,即 f 在a,b 不可积。证毕！第12页/共36页定义:设 f 为a,b上的有界函数,将区间a,b任意分2、可积的充分条件割为 n 个子区
5、间取称为 f 在子区间上的振幅.第13页/共36页和式分别称为 f 关于该分割的反之亦然!即有：DarbouxDarboux大和大和与Darboux小和小和.2.如果 f 在区间a,b 上可积，则易知：1.对同一分割，唯一确定，且第14页/共36页定理1.2 设函数 f 在a,b上有界，则 f 在a,b可即对任意的 0，总存在相应的某一分割,使得当积的充要条件是：当时，分割出的所有子区间的长度的最大值时,（*）（*）式成立。（证明略.）第15页/共36页定理1.33 3、可积函数类若 则 f 在a,b上可积.证明：因为 f 在a,b 上连续，故一致连续，即当有任意分割a,b为 n 个子区间 使
6、由闭区间上连续函数的性质，使得第16页/共36页从而有故当时，必有由定理1.2可知，f 在a,b 上可积。证毕！解释：对 a,b 的任意分割，当d 充分小时，f 在每个子区间上的振幅都能任意小。第17页/共36页定理1.4设 f 在区间a,b上有界，若 f 在a,b上只有有限个第一类间断点或者在a,b上单调,则 f 在a,b上可积.（证明略.）解释：当 d 充分小时，虽不能保证 f 在每个子区间上的振幅都任意小，但振幅不能任意小的所有子区间长度之和可以任意小。这样函数也可积。第18页/共36页取例1.利用定义计算定积分将 0,1 n 等分,分点为,则解:由于因此在0,1 上可积。则有第19页/
7、共36页注注 注.当n 较大时,此值可作为 的近似值第20页/共36页例例2.用定积分表示下列极用定积分表示下列极限限:解:第22页/共36页四、定积分的性质四、定积分的性质规定:性质1.2 1.2（线性性质）若则并且性质1.1记在区间a,b 上可积.第23页/共36页性质性质1.3 若若则证:推论1（单调性）若则推论2.若且则第24页/共36页证:性质1.4 若则且即注:性质1.4的逆命题不一定成立,例如为有理数,为无理数.第25页/共36页例例3.试证试证:证:设则在上,有即故即第26页/共36页证:由定理1.2知 f 在 I 的所有子区间可积.下证(1)式。所以在分割区间时,可以永远取
8、c 为分点，于是性质1.5（区间可加性）设 I 为有限区间,若 f 在 I 上可积,则 f 在 I 的任一子区间上都可积,且上可积,时,因在当（1）第27页/共36页 当当 a,b,c 的相对位置任意的相对位置任意时时,例如例如则有令有证毕！第28页/共36页性质1.6（乘积性质）设 则性质1.7（积分中值定理）且 g 在a,b 上不变号.则至少存在一点使证明：设在a,b 上则 从而因此（*）第29页/共36页若上式两边同除以则不等式（*）亦若得由连续函数的介值定理可得（*）成立。成立。证毕！则至少存在一点使推论3.第30页/共36页 说明说明:通常称故它是有限个数的算术平均值概念的推广.因积分中(均)值.当时，推论 3 有如图的几何意义。第31页/共36页例例5.计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度.解:已知自由落体速度为故所求平均速度第32页/共36页内容小结内容小结1.定积分的定义 乘积和式的极限3.定积分的性质线性性质，单调性，区间及积分中值定理连续函数在区间上的平均值公式.2.定积分的存在条件必要条件充要条件可积函数类.可加性第33页/共36页思考与练习思考与练习1.用定积分表示下述极限:解:或第34页/共36页作业作业 P178 1（1）;2；4（1）（3）；10（1）；11（1）；12(1)第五节 第35页/共36页感谢您的观看。第36页/共36页