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1、关于质点力学(2)第一页，讲稿共七十三页哦研究物体的机械运动运动与作用力力之间的关系动力学的主要内容动力学所涉及的研究内容包括：1.1.动力学第一类问题已知系统的运动，求作用在系统上的力。2.2.动力学第二类问题已知作用在系统上的力,求系统的运动。第二页，讲稿共七十三页哦 Issac Newton（1643164317271727）杰出的英国物理学家,经典物理学的奠基人.他的不朽巨著自然哲学的数学原理总结了前人和自己关于力学以及微积分学方面的研究成果.他在光学、热学和天文学等学科都有重大发现.牛顿第三页，讲稿共七十三页哦导导 读读牛顿三定律、惯性、力牛顿三定律、惯性、力惯性系、非惯性系、惯性力
2、惯性系、非惯性系、惯性力力学相对性原理、伽利略变换力学相对性原理、伽利略变换1.41.4 质点运动定理质点运动定理质点运动定理质点运动定理第四页，讲稿共七十三页哦惯性惯性惯性惯性：物体保持其运动状态不变的性质物体保持其运动状态不变的性质力：力：物体间相互作用物体间相互作用1 1 牛顿运动方程牛顿运动方程任何物体如果没有受到其它物体的作用，都将保持静止状态或匀速直线运动状态.惯性定律牛顿第一定律牛顿第一定律它不仅说明了物体具有惯性的性质，还为整个力学体系选它不仅说明了物体具有惯性的性质，还为整个力学体系选定了一类特殊的参考系定了一类特殊的参考系惯性参考系惯性参考系 第五页，讲稿共七十三页哦mgF
3、T惯性系惯性系惯性系惯性系牛顿定律成立的参考系牛顿定律成立的参考系非惯性系非惯性系非惯性系非惯性系相对于惯性系作加速运动的参考系相对于惯性系作加速运动的参考系yx惯性系与非惯性系惯性系与非惯性系第六页，讲稿共七十三页哦牛顿第二定律牛顿第二定律牛顿第二定律牛顿第二定律动量：动量：注意注意:质点质点 惯性系惯性系 瞬时性瞬时性 矢量性矢量性牛顿第三定律牛顿第三定律牛顿第三定律牛顿第三定律注意注意:二力同时存在二力同时存在,分别作用于两个物体上，属同一性质的力分别作用于两个物体上，属同一性质的力第七页，讲稿共七十三页哦小小 结结任何物体如果没有受到其它物体的作用，都将保持静止状态或匀速直线运动状态.
4、惯性定律牛顿第一定律牛顿第一定律牛顿第一定律牛顿第一定律牛顿第二定律牛顿第二定律牛顿第二定律牛顿第二定律动量：动量：注意注意:质点质点 惯性系惯性系 瞬时性瞬时性 矢量性矢量性牛顿第三定律牛顿第三定律注意注意:二力同时存在二力同时存在,分别作用于两个物体上，属同一性质的力分别作用于两个物体上，属同一性质的力第八页，讲稿共七十三页哦1.5 质点运动微分方程质点运动微分方程导导 读读运动微分方程建立运动微分方程建立运动微分方程求解运动微分方程求解第九页，讲稿共七十三页哦建立运动微分方程 1.1.自由质点自由质点解方程解方程1）分析受力分析受力重力一定有，重力一定有，弹力查四周，弹力查四周，分析摩擦
5、力，分析摩擦力，莫忘电磁浮莫忘电磁浮第十页，讲稿共七十三页哦（2）化为标量方程直角坐标系 平面极坐标 自然坐标第十一页，讲稿共七十三页哦（3）初始条件（4）求解 运动方程第十二页，讲稿共七十三页哦2.2.非自由质点非自由质点解决方法：去掉约束，用约束反作用力代替 运动微分方程 解方程与自由质点一样 注意（1）一般未知，加约束方程 （2）用自然坐标系很方便第十三页，讲稿共七十三页哦 1)光滑约束，约束力光滑约束，约束力在轨道的法平面内在轨道的法平面内(1)式求出运动规律,(2)和(3)解出约束力.第十四页，讲稿共七十三页哦4个方程4个未知数,可解2)非光滑约束非光滑约束 第十五页，讲稿共七十三页
6、哦例题1 力仅是时间的函数自由电子在沿x轴的振荡电场中运动：电子受力：由第十六页，讲稿共七十三页哦积分得第十七页，讲稿共七十三页哦例题2 力是速度的函数在具有阻力的媒质中运动的抛射体分析：受力 mg R运动微分方程 用自然坐标系分解（运动方向为正）第十八页，讲稿共七十三页哦第十九页，讲稿共七十三页哦两式相比可解出第二十页，讲稿共七十三页哦消去参量 可得运动方程因此：第二十一页，讲稿共七十三页哦通解通解+特解特解+第二十二页，讲稿共七十三页哦第二十三页，讲稿共七十三页哦例题3 力是坐标的函数原子在晶体点阵中的运动可解得初始条件：令直角坐标分解：运动微分方程：第二十四页，讲稿共七十三页哦受迫振动L
7、RC电路第二十五页，讲稿共七十三页哦例题4 质量为m的质点，在有阻力的空气中无初速地自离地面为h的地方竖直下落，如阻力与速度成正比（mkv），试求运动方程。解：受力建一维直角坐标系，分解运动微分方程第二十六页，讲稿共七十三页哦积分速度 匀速直线运动 讨论：t 增加，运动方程第二十七页，讲稿共七十三页哦例题5 小环的质量为m，套在一条光滑的钢索上，钢索的方程式为 .试求小环自x=2a处自由滑至抛物线顶点时的速度及小环在此时所受到的约束反作用力。解微分方程组可得自然坐标，运动方向为正运动微分方程解：受力：第二十八页，讲稿共七十三页哦dxdyds第二十九页，讲稿共七十三页哦小小 结结自由质点 非自由
8、质点受力分析写出运动微分方程矢量式建立适当的坐标系分解标量方程解微分方程第三十页，讲稿共七十三页哦1.6 非惯性系动力学非惯性系动力学惯性系惯性系牛牛顿顿定律成立的参考系。定律成立的参考系。一切相一切相对对于于惯惯性系作性系作匀速直匀速直线线运运动动的参考系也是的参考系也是惯惯性系。性系。非惯性系非惯性系相相对对于于惯惯性系做加速运性系做加速运动动的参考系。在非的参考系。在非惯惯性系内牛性系内牛顿顿定律不成立。定律不成立。第三十一页，讲稿共七十三页哦 S系：静系移项于是S系：动系mgT第三十二页，讲稿共七十三页哦物理意义惯性力不是物体间的相互作用，没有施力者，也不存在反作用力惯性力的实质是物体
9、的惯性在非惯性系中的表现。在非惯性系中，牛顿运动定律表示为：在非惯性系中，牛顿运动定律表示为：在非惯性系中，牛顿运动定律表示为：在非惯性系中，牛顿运动定律表示为：非惯性系的加速度非惯性系的加速度惯性力惯性力合外力合外力第三十三页，讲稿共七十三页哦1.7 功与能功与能功、能量定义功、能量定义势能、动能势能、动能保守力系保守力系导导 读读第三十四页，讲稿共七十三页哦1 1 什么是能量？什么是功？什么是能量？什么是功？所以必须先给出其中一个物理量确切的定义所以必须先给出其中一个物理量确切的定义!(本教材定义本教材定义)功功:凡是作用在物体上的力凡是作用在物体上的力,使得物体沿力的使得物体沿力的方向上
10、移动了位置方向上移动了位置,就说力对物体做了功就说力对物体做了功.一般来说一般来说,功等功等于力乘以物体在力的方向所产生的位移于力乘以物体在力的方向所产生的位移.第三十五页，讲稿共七十三页哦 功的单位：功的单位：功的单位：功的单位：J 质点沿曲线质点沿曲线 L 从从 a 运动到运动到 b力力 F 所做的功所做的功：第三十六页，讲稿共七十三页哦例例例例 平方反比力平方反比力平方反比力平方反比力Mab c万有引力、电磁力等万有引力、电磁力等第三十七页，讲稿共七十三页哦合力的功合力的功：合力的功等于各分力的功的代数和合力的功等于各分力的功的代数和.功率：功率：第三十八页，讲稿共七十三页哦2 2 能能
11、 物体处在某一状态所具有的能量 能是状态量，功是过程量，是能量变化的量度 机械能 物体相对位置发生变化 V第三十九页，讲稿共七十三页哦3 3 保守力、非保守力、非保守力与耗散力保守力与耗散力力场力场:假如力仅是坐标假如力仅是坐标x x、y y、z z的的单值、单值、有限有限和和可微可微的函数，则在空间区域每的函数，则在空间区域每一点上，都将有一定的力作用着，这一点上，都将有一定的力作用着，这个空间区域叫做力场个空间区域叫做力场.第四十页，讲稿共七十三页哦保守力保守力保守力保守力:物体运动任一闭合路径作功等于零的力物体运动任一闭合路径作功等于零的力物体运动任一闭合路径作功等于零的力物体运动任一闭
12、合路径作功等于零的力保守力做功与路径无关保守力做功与路径无关例例子子(i)(i)(i)(i)重力重力重力重力(ii ii)弹性力弹性力(iii)平方反比力平方反比力平方反比力平方反比力第四十一页，讲稿共七十三页哦做功与经历的路径有关的力做功与经历的路径有关的力做功与经历的路径有关的力做功与经历的路径有关的力(又叫涡旋力又叫涡旋力又叫涡旋力又叫涡旋力)非保守力非保守力非保守力非保守力:耗散力耗散力耗散力耗散力:做功与经历的路径有关做功与经历的路径有关做功与经历的路径有关做功与经历的路径有关,但总是做负功的力但总是做负功的力.例例例例如如如如:摩擦力摩擦力第四十二页，讲稿共七十三页哦3 3 保守力
13、、非保守力、非保守力与耗散力保守力与耗散力则则如果力做功与中间路径无关，则必存在单值、有限、可如果力做功与中间路径无关，则必存在单值、有限、可微的函数微的函数V(x,y,z)V(x,y,z)第四十三页，讲稿共七十三页哦Nabla,拉普拉斯拉普拉斯The name comes from the Greek word for a Hebrew harp,which had a similar shape第四十四页，讲稿共七十三页哦4 4 势能函数势能函数在物体从位置在物体从位置a a移动到移动到b b时，保守力做功为势能时，保守力做功为势能V(x,y,z)V(x,y,z)的的减少值减少值，即，即
14、保守力作功在数值上等于系统势能的减少保守力作功在数值上等于系统势能的减少保守力作功在数值上等于系统势能的减少保守力作功在数值上等于系统势能的减少例子例子:重力势能、弹性势能、引力势能重力势能、弹性势能、引力势能质点在位置质点在位置 处的处的势能势能第四十五页，讲稿共七十三页哦 势能的大小只有相对的意义势能的大小只有相对的意义势能的大小只有相对的意义势能的大小只有相对的意义 取取 r0 点为势能零点，则任意一点点为势能零点，则任意一点 r 的势能为：的势能为：空间某点的势能空间某点的势能空间某点的势能空间某点的势能 V V V V 等于质点从该点移动到势能零等于质点从该点移动到势能零等于质点从该
15、点移动到势能零等于质点从该点移动到势能零点时保守力作的功点时保守力作的功点时保守力作的功点时保守力作的功.关于势能的几点说明关于势能的几点说明请推导：请推导：第四十六页，讲稿共七十三页哦重力势能：重力势能：（h=0=0=0=0 为势能零点为势能零点为势能零点为势能零点,取向上取向上取向上取向上为正方向）为正方向）为正方向）为正方向）弹性势能：弹性势能：弹性势能：弹性势能：（弹簧自由端为势能零点）（弹簧自由端为势能零点）引力势能：引力势能：引力势能：引力势能：（无限远处为势能零点）（无限远处为势能零点）推导推导第四十七页，讲稿共七十三页哦保守力充要条件第四十八页，讲稿共七十三页哦例题1设作用在质
16、点上的力是求此质点沿螺旋线运行自时，力对质点所做的功.解：解：力是否保守力？力是保守力，做功与路径无关第四十九页，讲稿共七十三页哦势函数第五十页，讲稿共七十三页哦例题2 接上题条件,若可以证明做功与路径有关不存在势函数第五十一页，讲稿共七十三页哦小结小结功、能量定义功、能量定义势能、动能势能、动能保守力系保守力系物体相对位置 V势能函数势能函数势能函数势能函数第五十二页，讲稿共七十三页哦1.8 质点动力学的基本定理与基本守恒律质点动力学的基本定理与基本守恒律导导 读读 动量定理与动量守恒律动量定理与动量守恒律 力矩与动量矩力矩与动量矩(角动量角动量)动量矩定理与动量矩守恒律动量矩定理与动量矩守
17、恒律 动能定理与机械能守恒律动能定理与机械能守恒律 势能曲线势能曲线第五十三页，讲稿共七十三页哦牛顿运动定律：牛顿运动定律：如果力的作用时间从如果力的作用时间从 ，质点动量从，质点动量从 第五十四页，讲稿共七十三页哦1 1 质点动量定理：质点动量定理：质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量量冲量：冲量：微分形式微分形式积分形式积分形式第五十五页，讲稿共七十三页哦质点所受合外力为零时质点所受合外力为零时,质点的动量保持不变质点的动量保持不变条件：条件：动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律 动量守恒定律是物理学中最重要、最
18、普遍的定律之一，动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的定律之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域则但分量形式：若意义：质点不受外力作用时，动量保持不变.则若第五十六页，讲稿共七十三页哦（1 1）对定点的力矩对定点的力矩设作用力设作用力 作用于矢作用于矢径为径为 的某一点上的某一点上单位：单位：Nm作用力作用力 对参考原点对参考原点O 的力矩定义为：的力矩定义为：Od2 2 2 2 力矩与动量矩力矩与动量矩力矩与动量矩力矩与动量矩第五十七页，讲稿共七十三页哦力矩的大小：力矩的大小：力矩的方向：力矩的方向：位矢位矢 与作用力与作用力 的矢积方向的矢积方向
19、力臂：力臂：作用力线到参考点作用力线到参考点O 的垂直距离的垂直距离(d d=r rsin sin )Od第五十八页，讲稿共七十三页哦zd对转轴力矩的定义：对转轴力矩的定义：对转轴力矩的定义：对转轴力矩的定义：对于定轴转动，规定：对于定轴转动，规定：对于定轴转动，规定：对于定轴转动，规定：力矩逆时针方向力矩逆时针方向 为正为正.力矩顺时针方向力矩顺时针方向 为负为负.（2 2）对定轴的力矩对定轴的力矩第五十九页，讲稿共七十三页哦求作用力求作用力 对空间某轴的力矩对空间某轴的力矩,考虑分量考虑分量,力对原点的力矩为力对原点的力矩为Fxyz(L)FyFzO上式中三个分量是力矩在三个坐标轴的分量上式
20、中三个分量是力矩在三个坐标轴的分量,也就是力分也就是力分别对三坐标轴的力矩别对三坐标轴的力矩.所以求力对轴的力矩所以求力对轴的力矩,可以先求对轴可以先求对轴上一点的力矩上一点的力矩,再投影到轴的方向再投影到轴的方向.第六十页，讲稿共七十三页哦已知力已知力 平行于平行于Z Z轴，求它对轴，求它对Z Z轴的力矩轴的力矩yz(L)FO力和轴线平行，力矩为0第六十一页，讲稿共七十三页哦（3 3 3 3）质点的动量矩（角动量）质点的动量矩（角动量）定义定义定义定义:动量对空间某点或某轴的矩动量对空间某点或某轴的矩动量对空间某点或某轴的矩动量对空间某点或某轴的矩,叫做动量矩叫做动量矩叫做动量矩叫做动量矩,
21、也叫也叫也叫也叫角动量角动量角动量角动量o质点对质点对O点的点的动量矩动量矩：kg m2s-1质点对轴的质点对轴的动量矩动量矩：第六十二页，讲稿共七十三页哦按动量矩的定义：按动量矩的定义：两边对时间求导：两边对时间求导：两边对时间求导：两边对时间求导：其中：其中：所以：所以：又又 质点所受的合外力矩就等于角动量对时间质点所受的合外力矩就等于角动量对时间的变化率的变化率.动量矩定理：动量矩定理：3 质点的动量矩定理质点的动量矩定理第六十三页，讲稿共七十三页哦质点的动量矩守恒定律质点的动量矩守恒定律质点的动量矩守恒定律质点的动量矩守恒定律:若质点不受力的作用若质点不受力的作用,或者虽然受或者虽然受
22、力但是合外力矩为零，则质点的动量矩守恒。力但是合外力矩为零，则质点的动量矩守恒。合外力矩的冲量矩等于质点系动合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量。量矩的增量。第六十四页，讲稿共七十三页哦例例2 2、一质点所受的力、一质点所受的力,如通过某一个定点如通过某一个定点,则质点必在一则质点必在一平面上运动平面上运动,试证明之试证明之.解解:力所通过的那个定点叫做力心如取这个定点为坐标系的力所通过的那个定点叫做力心如取这个定点为坐标系的原点原点,则质点的位矢则质点的位矢 r 与与F 共线，二者的矢量乘积为零共线，二者的矢量乘积为零,故故L 为一恒矢量所以为一恒矢量所以:(1)(2)(3)用用x乘乘(1
23、)，y乘乘(2)，z乘乘(3)，并相加得，并相加得由解析几何由解析几何,知上式代表一个平面方程，故质点只能在这个知上式代表一个平面方程，故质点只能在这个平面上运动平面上运动第六十五页，讲稿共七十三页哦(1)(1)(1)(1)动能定理动能定理动能定理动能定理单位：单位：J 动能动能动能动能4 4 4 4 动能定理和动能定理和动能定理和动能定理和机械能守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律牛顿方程牛顿方程经过数学运算得到经过数学运算得到质点动能定理微分形式质点动能定理微分形式质点动能定理质点动能定理:第六十六页，讲稿共七十三页哦(2)(2)机械能守恒定律机械能守恒定律 如果一个系统只有
24、保守内力内作功，非保守内力和如果一个系统只有保守内力内作功，非保守内力和一切外力都不做功，那么系统的总机械能保持不变一切外力都不做功，那么系统的总机械能保持不变.这个这个系统也常称为保守系系统也常称为保守系.力是保守力第六十七页，讲稿共七十三页哦第一积分或初积分如果方程对时间的一次微商就是牛顿运动微分方程，就称上式为牛顿运动方程的第一积分或初积分.数学上：二阶微分方程降为一阶 物理上：力学量 G 是一个守恒量 物理意义明显的初积分：动量守恒、动量矩守恒、能量守恒 由初积分出发问题的求解简化了一步 优先使用守恒律第六十八页，讲稿共七十三页哦(3)(3)保守系与时间反演对称性保守系与时间反演对称性
25、时间反演时间反演:相当于电视片的倒放效果相当于电视片的倒放效果考虑考虑:为什么演员飞高时都是穿的紧身衣为什么演员飞高时都是穿的紧身衣?空气阻力空气阻力理论理论:每个质点都满足牛顿运动定律每个质点都满足牛顿运动定律做时间反演做时间反演,动量也反向动量也反向,右端不变右端不变.因保守力只与质点因保守力只与质点的相对位置有关的相对位置有关,它是时间反演不变的它是时间反演不变的.所以可逆过程能所以可逆过程能够发生够发生.摩擦力不是保守力摩擦力不是保守力.第六十九页，讲稿共七十三页哦例题例题重锤，轻杠，固定 o 点，在竖直平面内圆周运动 ，自由落下，用两种方法，求最低点的速度.解1：受力分析：mg T
26、机械能守恒：mgTP0v第七十页，讲稿共七十三页哦积分变量变换解2：运动微分方程 自然坐标系 切向向上为+第七十一页，讲稿共七十三页哦5 5 一维势能曲线一维势能曲线物体一维运动的势能曲线物体一维运动的势能曲线x0AAABBCBE1E2V(x)x对一维运动对一维运动,只要力是坐标的只要力是坐标的单值函数单值函数,一定是保守力一定是保守力.（i）保守力）保守力指向势能下降的方向，大小正比于势能曲线的斜率指向势能下降的方向，大小正比于势能曲线的斜率（ii）总能量）总能量E水平线在各点相距下边势能曲线的高度，水平线在各点相距下边势能曲线的高度，代表质点在该处的动能代表质点在该处的动能.由于经典动能为正由于经典动能为正,所以水平线低所以水平线低于势能曲线的区间于势能曲线的区间,是具有该能量的质点不能达到的地是具有该能量的质点不能达到的地段段.第七十二页，讲稿共七十三页哦感谢大家观看第七十三页，讲稿共七十三页哦