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1、矩阵的特征值现在学习的是第1页，共14页定义4.2 设A为n阶矩阵，含有未知量的矩阵I-A称为A的特征矩阵，其行列式|I-A|为的n次多项式，称为A的特征多项式，|I-A|0称为的特征方程。说明：1）如是A的一个特征值,则必有|I-A|0成立，故又称为特征 根。当然，可以是单根，也可以是重根。现在学习的是第2页，共14页2）如是|I-A|0的ni重根，则(I-A)x0必有非零解，习惯称为A的ni重特征值（根）。3)(I-A)x0的每一个非零解向量均为的特征向量。现在学习的是第3页，共14页求特征值和特征向量的步骤：1）计算A的特征多项式|I-A|。2）求出特征方程|I-A|0的全部特征值。3)
2、对每个特征值 0，求出相应的齐次线性方程组（0I-A）x=0的一个基础阶系1,t，则A的0关于的特征向量为：c11+ctt。现在学习的是第4页，共14页现在学习的是第5页，共14页命题2：矩阵A可逆的充要条件是矩阵A的任一特征值不为零。现在学习的是第6页，共14页（二）特征值与特征向量的性质：定理4.1 n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值.现在学习的是第7页，共14页现在学习的是第8页，共14页总结：（1）任一n阶方阵A必有n个特征值（包括重根）。（2）设x是A的关于特征值的特征向量，则对于 任意常数，cX也是A的关于特征值的特征向 量。（3）若X1,X2是A的关于的特征向量，则 k1
3、X1+k 2X2也是A的关于的特征向量,k1,k 2 为常数。现在学习的是第9页，共14页 由（2）、（3）推广为：对应于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征值的特征向量；但对应于不同特征值的特征向量的和不再是特征向量。（4）一个特征值对应的特征向量有无穷多 个；但是一个特征向量只能对应一个特 征值，而不能属于不同的特征值。现在学习的是第10页，共14页（5）对应于不同特征值的特征向量线性无关；但对应于同一特征值的特征向量不一定 线性相关（定理4.3）。推广：若n阶方阵A有n个不同的特征值，则A 有n个线性无关的特征向量。（6）A与它的转置矩阵AT有相同的特征值；但特征向量不一定相同（
4、定理4.1）。现在学习的是第11页，共14页补充性质：若是矩阵A的特征值，x是关于的特征向量，则：a)k 是kA的特征值。b)m是Am的特征值,m是自然数。c)A可逆时，-1是A-1的特征值。那么：1，2是同一矩阵A的两个特征值，则1 2是A+B的特征值，对吗？1 2是AB的特征值，对吗？现在学习的是第12页，共14页补充例题：1）设n阶方阵A的n个特征值为1,n，证明|A|=1 n。2)设A,B均为n阶矩阵，证明AB,BA有相同的特征值。3)设方阵A满足:2A2-3A-5I=0，证明2A+I的特征值全不为零。现在学习的是第13页，共14页今天作业：P206-207 1(2)(4)23现在学习的是第14页，共14页