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1、矩阵特征值问题矩阵特征值问题矩阵特征值问题矩阵特征值问题定义定义 设 是 阶矩阵，如果数 和 维非零列向量 使关系式成立，那么这样的数 称为方阵 的特征值；非零向量 称为方阵 的对应于特征值 的特征向量.注意：关系式 是特征值与特征向量满足的条件式，由此可知 必须为方阵.零向量显然满足关系式 ，但零向量不 是特征向量.特征向量是非零向量.方阵 的与特征值 对应的特征向量不唯一.若 和 都是属于特征值 的特征向量,则 也是属于特征值 的特征向量.即,属于特征值 的特征向量的非零线性组合仍是 的特征向量.一个特征向量只能属于一个特征值.矩阵特征值问题矩阵特征值问题1.结论的引入结论的引入若 是 的
2、特征值，是 的对应于 的特征向量，则有方程 有非零解，且 是它的一个非零解 是代数方程 的根.以 为未知数的一元 次方程称为方阵 的特征方程.以 为变元的 次多项式 ，即称为方阵 的特征多项式.2.结论 矩阵 的特征方程 的根就是 的特征值.由行列式的定义(3)设 是方阵 的一个特征值，则齐次方程的全体非零解就是 的对应于特征值 的全部特征向量；齐次方程 的基础解系就是对应于特征值 的全体特征向量的极大无关组.(2)在复数范围内 阶矩阵有 个特征值(重根按重数计算).练习：求特征值、特征向量步骤：求出 即为特征值;把得到的每一个特征值 代入上式，即为所求特征向量。求齐次线性方程组的非零解or或
3、例例 求矩阵 的特征值和特征向量.解：解：的特征多项式所以 的特征值为当 时，对应的特征向量应满足即解得得基础解系所以对应于 的全部特征向量为当 时，对应的特征向量应满足即解得得基础解系所以对应于 的全部特征向量为例例 求矩阵的特征值和特征向量.解：解：的特征多项式所以 的特征值为当 时，解齐次方程 ，得基础解系所以对应于 的全部特征向量为得基础解系当 时，解齐次方程 ，所以对应于 的全部特征向量为例例 求矩阵的特征值和特征向量.解：解：的特征多项式所以 的特征值为当 时，解齐次方程 ，得基础解系所以对应于 的全部特征向量为得基础解系当 时，解齐次方程 ，所以对应于 的全部特征向量为(不同时为
4、0).说明：说明：例2和例3属于同一类型，解题方法和步骤也完全一致.但是，要注意它们的区别，在例2中，对应于2重特征值 仅有一个线性无关特征向量；在例3中，对应于2重特征值 有两个线性无关特征向量.可见,对角矩阵和三角矩阵的特征值就是这些矩阵对角线上的元素.练习练习:性质1：矩阵 和 的特征值相同。虽然 与 有相同的特征值,特征向量却不一定相同.3.特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质例如:可计算 与 有相同的特征值但易验证 是 对应于特征值2的特征向量,但却不是 的.定理定理1：设 阶方阵 的 个特征值为 则称为矩阵A的迹。（主对角元素之和）推论:矩阵 可逆的特征值都不为0.定理定理
5、1 证证因为 是 的 个特征向量，则有即令 ，即得另一方面，根据行列式的定义知，上述行列式的展开式中，只有对角元之积含有这些项中不含比较两端的 的系数，可得即例例已知矩阵的特征值为显然有说明根据这两条性质，可以验证所求得的结果是否正确.练习练习:性质性质2：若 的特征值是 ，是 的对应于 的特征向量，则的特征值是是任意常数)的特征值是是正整数)若 可逆，则 的特征值是的特征值是且 仍然是矩阵 分别对应于 的特征向量。为x的多项式，则 的特征值为 实际上这里多项式幂可推广为所有整数例例 设3阶矩阵 的特征值为 求解解方阵 的行列式=的全部特征值之积.因为的特征值为 ，全不为0，所以 可逆，且则有
6、故 的特征值为因此练习练习:求抽象矩阵的特征值练习练习:特征值,特征向量的逆问题则定理3：设 是方阵 的 个特征值，依次是与之对应的特征向量。如果 各不相等，则 线性无关。即，方阵 的属于不同特征值的特征向量线性无关。证明：证明：设常数 使得类推之，有把上列各式合写成矩阵形式，得等号左边第二个矩阵的行列式为Vandermonde行列式，当 各不相同时，该行列式不等于零，所以存在逆矩阵。等号两边同时右乘它的逆矩阵，有即又因为 为特征向量，所以线性无关。进一步可以证明定理4:若为矩阵A对应特征值的线性无关的特征向量,则当互不相同时,向量组是线性无关的.性质:设是n阶矩阵A的k重特征值,而A中对应的
7、线性无关的特征向量有r个,则性质:设是n阶矩阵A的1重特征值,则A中对应的线性无关的特征向量有1个.例例 设 和 是矩阵 的两个不同的特征向量，对应的特征向量依次为 和 ，证证 根据题设，有要证明一个向量不是特征向量，通常用反证法.用反证法，假设 是 的特征向量，则存在数 ，使 证明 不是 的特征向量.因为 ，所以 线性无关，故即有与题设矛盾.因此 不是 的特征向量.练习练习:例例 设解解：（1）求：（1）的特征值和特征向量。（2）求可逆矩阵 ，使得 为对角阵。自由未知量:得基础解系得自由未知量:得基础解系取存在本题启示:问题：矩阵 是否唯一？矩阵 是否唯一？2.提供了一种求 的方法.其中 为
8、对角阵。1.通过求A的特征值,特征向量,有可能把A写成由定理知，若存在可逆矩阵 ，使(为对角阵)则有已知矩阵 ,求 .我们可以找到一个可逆矩阵 ，相似矩阵使二二.相似相似(similar)矩阵的定义及性质矩阵的定义及性质定义:设 都是 阶矩阵，若存在可逆矩阵 ，使得则称矩阵 是矩阵 的相似矩阵，对 进行运算 称为对 进行相似变换，可逆矩阵 称为把矩阵 变成矩阵 的相似变换矩阵。或称矩阵 与矩阵 相似，记作注：矩阵相似是一种等价关系（1）反身性：（2）对称性：若 则（3）传递性：若 则性质1:相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、相同的行列式、相同的迹、相同的秩推论：若矩阵 与对角阵 相似，则
9、 是 的 个特征值。性质2:若特征向量.（3）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。注：(1)与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵E本身，与数量矩阵kE 相似的n阶方阵只有数量阵kE本。(2)若 ，则 的对 角元必定是 的全部特征值.于是在不计较 的对角元 次序的意义下,由 惟一确定.例如 设则有其中所以 与 相似.又设显然 与 的特征值相同，但是它们不相似.(1)相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。其它的有关相似矩阵的性质：（介绍）(3)若 与 相似，则 与 相似。(为正整数)(2)若 与 相似，则 与 相似。(为正整数)(4)若 与 相似，而 是一个多项式，则 与 相似。练习练习: