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1、第四节 矩阵的特征值与特征向量一 n 维向量的概念 定义 n 个有顺序的数 所组成的数组称做n维向量，数 称为向量的分量（或坐标），aj叫做 的第j个分量（或坐标），分量全为实数的向量称为实向量，分量是复数的向量 称 为复向量。我们只讨论实向量。向量一般用希腊字母 表示（有时采用黑体）。行 向量：列向量：行向量、列向量统称为向量。只有一行或一列的矩阵，也可称为向量。如 的行向量为A的列向量为于是，矩阵有m个n维行向量，同时有n个m维列向量。零向量（分量全为零）：n维单位坐标向量：向量 与相等记作二 n 维向量的线性运算定义 设则称为向量 与 的和 定义 设 为实数，则称为数 与向量 的乘积当
2、时，记称它为 的负向量向量的加法运算与数乘运算统称为向量的线性运算。运算律：设 都是n维向量，都是实数，则(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)注意：两个向量只有维数相同时才能考虑相等的问题，才能有和、有差。三 特征值与特征向量的概念引例 在一个n输入n输出的线性系统y=Ax中，其中我们可发现系统A对于某些输入x，其输出y恰巧是输入x的 倍，即 ；对某些输入，其输出与输入就不存在这种按比例放大的关系。例如，对系统 ，若输入则若输入 ，则所以，给定一个线性系统A，到底对哪些输入，能使其输出按比例放大，放大倍数 等于多少？这显然是控制论中感兴趣的问题。定义 设A是一个n阶方阵，若存在着一
3、个数 和一个非零n维向量x，使得则称 是方阵A的特征值，非零向量x称为A对应于特征值 的特征向量，或简称为A的特征向量。四 特征值与特征向量的求法 可改写为 这实际上是一个n个未知数n个方程的齐次线性方程组，特征向量可看成是它的一个非零解。而此齐次线性方程组有非零解的充要条件是 ，即 （称为方阵A的特征方程）上述方程的左端是 的n次多项式，记作 ，称为A的特征多项式。从A的特征方程中解出的 值就是A的特征值。然后通过求解方程组就可以求出A的特征向量。例 求矩阵的特征值和特征向量。求特征值和特征向量的一般步骤：（1）由 求出所有特征值（2）求解齐次线性方程组（为特征值），则所得非零解x必为特征向量（它是基础解系的线性组合，且为非零向量）结论：不同的特征值对应的特征向量不相等，即：一个特征向量只对应一个特征值。布置作业：P130:1.2(3).3.