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1、第一节第一节 定积分的概念定积分的概念定积分的定义定积分的几何意义定积分的性质第1页/共131页abxyo实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）问题的提出问题的提出第2页/共131页abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积（四个小矩形）（九个小矩形）第3页/共131页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放第4页/共131页曲边梯形如图所示，第20页/共131页曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为第21页/共131页一、定积分的定义一、定积分的定义定义定义第22页/共131页被积函数被积表达式积分变量记为记
2、为积分上限积分下限积分和第23页/共131页注意：注意：第24页/共131页定理定理1 1定积分的存在性定积分的存在性第25页/共131页曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值二、定积分的几何意义二、定积分的几何意义第26页/共131页几何意义：几何意义：第27页/共131页例例1 1 利用定义计算定积分解解第28页/共131页第29页/共131页对定积分的补充规定补充规定:说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小三、定积分的性质三、定积分的性质第30页/共131页证证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个
3、函数作和的情况）性质性质1 1第31页/共131页证证性质性质2 2第32页/共131页补充补充：不论 的相对位置如何,上式总成立.例例 若（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则性质性质3 3第33页/共131页证证性质性质4 4性质性质5 5第34页/共131页解解令于是第35页/共131页性质性质5 5的推论：的推论：证证（1）第36页/共131页证证说明：说明：可积性是显然的.性质性质5 5的推论：的推论：（2）第37页/共131页证证（此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质性质6 6第38页/共131页解解第39页/共13
4、1页证证由闭区间上连续函数的介值定理知性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式第40页/共131页使即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：第41页/共131页解解由积分中值定理知有使第42页/共131页四、小结四、小结定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限第43页/共131页3 3定积分的性质定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）（注意估值性质、积分中值定理的应用）4 4典型问题典型问题（）估计积分值；（）估计积分值；（）不计算定积分
5、比较积分大小（）不计算定积分比较积分大小第44页/共131页思考题思考题将和式极限：表示成定积分.第45页/共131页思考题解答思考题解答原式第46页/共131页第二节第二节 微积分基本定理微积分基本定理一、积分上限函数及其导数二、微积分基本定理三、小结第47页/共131页变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为问题的提出问题的提出第48页/共131页考察定积分记积分上限函数积分上限函数一、积分上限函数及其导数一、积分上限函数及其导数第49页/共131页积分上限函数的性质积分上限函数的性质证证第50页/共131页由
6、积分中值定理得第51页/共131页补充补充证证第52页/共131页例例1 1 求求解解分析：分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.第53页/共131页定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）证证二、微积分基本定理二、微积分基本定理 牛顿牛顿莱布尼茨莱布尼茨(New-Leibnize)公式公式第54页/共131页令令牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式第55页/共131页微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：注意注意求定积分问题转化为求原函数的问题.第56页/共131页例例2 2 求 原式例例3 3 设 ,求 .解解解解第57页/共131页例例5 5 求 解解解解 面积第58页/共13
7、1页3.微积分基本公式1.积分上限函数2.积分上限函数的导数三、小结三、小结牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系间的关系第59页/共131页思考题思考题第60页/共131页思考题解答思考题解答第61页/共131页第三节第三节 定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分法和分部积分法一、换元积分法一、换元积分法二、分部积分法二、分部积分法三、小结三、小结第62页/共131页定理定理一、换元积分法一、换元积分法第63页/共131页应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）（2）第64页/共131页例例1 1 计算解解令第65页/共131页例
8、例2 2 计算解解令原式第66页/共131页证证第67页/共131页第68页/共131页奇函数例例4 4 计算解解原式偶函数单位圆的面积第69页/共131页证证（1）设第70页/共131页（2）设第71页/共131页第72页/共131页定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导二、分部积分公式二、分部积分公式第73页/共131页例例6 6 计算解解令则第74页/共131页例例7 7 计算解解第75页/共131页例例8 8 计算解解第76页/共131页几个特殊积分、定积分的几个等式1.定积分的换元法三、小结三、小结2.定积分的分部积分公式（注意与不定积分分部积分法的区别）第77页/共131
9、页思考题思考题1解解 令第78页/共131页思考题解答思考题解答计算中第二步是错误的.正确解法是第79页/共131页思考题思考题2第80页/共131页思考题解答第81页/共131页第四节第四节 定积分的近似计算定积分的近似计算(自学自学)一、矩形法一、矩形法二、梯形法二、梯形法三、抛物线法三、抛物线法第82页/共131页第五节第五节 广义积分广义积分一、无穷限的广义积分二、无界函数的广义积分第83页/共131页一、无穷限的广义积分第84页/共131页第85页/共131页第86页/共131页两极限均存在称两极限均存在称 收敛，两极限至少收敛，两极限至少有一个不存在称有一个不存在称 发散发散.上述
10、各广义积分统称为无穷限的广义积分，上述各广义积分统称为无穷限的广义积分，简称无穷积分简称无穷积分.第87页/共131页说明说明（1）设 ，则第88页/共131页解解 .例例1 计算广义积分 .这个广义积分值的几时，图中阴影部其面积却有极限值1 1.分向左无限延伸，但何意义是,当第89页/共131页解解 极限不存在 是发散的 例例2 计算广义积分 .若认为积分区间关于原点对称，被积函数为奇函数，按定积分公式计算就错了.第90页/共131页这里A A与B B是相互独立的.（2 2）当 为奇函数时,不能按积分区间关于原点对称的定积分处理为零。因为 第91页/共131页.即即二、无界函数的广义积分 定
11、义定义 设设 在在 上连续，在点上连续，在点 的右邻的右邻 域内无界域内无界,取取 ，若，若 存在，则称此极存在，则称此极 限为限为 在在 上的广义积分，记作上的广义积分，记作 这时称广义积分这时称广义积分 收敛收敛；若极限不存在，；若极限不存在，称广义积分称广义积分 发散发散.第92页/共131页 类似地，设类似地，设 在在 上连续，在点上连续，在点 的的左邻域内无界，取左邻域内无界，取 ，若，若 存存在，则称此极限为在，则称此极限为 在在 上的广义积分，上的广义积分，记作记作 ，即，即.这时称广义积分这时称广义积分 收敛；若极限不存在，收敛；若极限不存在，称广义积分称广义积分 发散发散.第
12、93页/共131页 设设 在在 上除点上除点 外连续，在点外连续，在点 的的邻域内无界，若广义积分邻域内无界，若广义积分 和广义积分和广义积分 都收敛，则称上述两广义积分之和为都收敛，则称上述两广义积分之和为 在在 上的广义积分，记为上的广义积分，记为 ，即即第94页/共131页这时称广义积分这时称广义积分 收敛，若上述两极限收敛，若上述两极限至少有一个不存在，则称广义积分至少有一个不存在，则称广义积分 发发散散.说明说明（1 1）在定义中 在点 的邻域内都无界，这些点均为 的无界间断点，也称为 的瑕点，故无界函数的广义积分也称为瑕积分.（2）设，则当 为 的瑕点时，第95页/共131页当 为
13、 的瑕点时，,当 为 的瑕点时 第96页/共131页例例4 4 计算广义积分 .解解 ，是瑕点，第97页/共131页这个广义积分的几何意义是当 时，图中阴影部分趋近于 的面积值.第98页/共131页例例5 5 计算广义积分 .解解 因为 ，所以 是瑕点，而 ，所以 发散.第99页/共131页.注注：若按定积分计算（不考虑 是瑕点),),就会导致以下的错误.(3)(3)若积分区间是有限的，必须先考察是定积分还是瑕积分，如是瑕积分而按定积分计算就会出现错误，即使是按定积分求得的结果与按瑕积分求得的结果相同，前者的概念也是错误的.第100页/共131页例例6 6 考察广义积分 的敛散性.解解 是瑕点
14、，积分区间是无穷区间，第101页/共131页先考察 的敛散性.当 时，当 时，第102页/共131页 当 时收敛，当 时发散；再考察 的敛散性.当 时，当 时，第103页/共131页 当 时收敛，当 时发散.则广义积分 发散.(4)(4)若积分区间是无穷区间，被积函数是无界函数的广义积分，应把广义积分分拆成几项，使每项是单纯的无穷积分或瑕积分，再按各自的积分方法计算.第104页/共131页传染病分析传染病分析在传染病流行期间人们被传染患病的速度可以近似地表示为 这里 的单位是人/天，为传染病开始流行的天数。（1 1）什么时候人们患病速度最快？）什么时候人们患病速度最快？（2 2）共有多少人患病
15、？）共有多少人患病？第105页/共131页解解（1 1）设在 t 时刻人们患病速度最快，由题意得解得解得（2 2）设当 共有 x 人患病，由题意得第106页/共131页三、小三、小结结无穷限的广义积分无穷限的广义积分无界函数的广义积分无界函数的广义积分第107页/共131页一、一、定积分应用的微元法定积分应用的微元法二、用定积分求平面图形的面积二、用定积分求平面图形的面积三、用定积分求旋转体的体积三、用定积分求旋转体的体积第六节第六节 定积分的应用定积分的应用四、平面曲线的弧长四、平面曲线的弧长第108页/共131页变力沿直线所做的功已知质点的运动速度，求质点的运动路程曲边梯形的面积 面积元素
16、ab xyo一、元素法一、元素法（Element Method）第109页/共131页用定积分来计算的量用定积分来计算的量A具有以下特点：具有以下特点：1量A与函数 f(x)及x的变化区间 a,b有关。若 f(x)常数，则 A=f(x)(ba)。1量A对区间具有可加性。即：把a，b分成若干 部分区间，则 A相应地被分成了许多部分量之和。1在区间 a,b的任一个子区间x,x+x 上，部分量Af(x)x。第110页/共131页设设A A是可用定积分表达的量，则计算量是可用定积分表达的量，则计算量A A的步骤为：的步骤为：定积分的微元法定积分的微元法 选择函数 f(x)，并确定自变量 x 的变化区间
17、a,b;在a,b内考虑典型小区间x,x+dx，求出相应于这个小区间的部分量A的近似值 f(x)dx。称f(x)dx为量A的微元，记为dA=f(x)dx。计算 A=应用方向：应用方向：平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长；功、水压力、引力和平均值等第111页/共131页二、用定积分求平面图形的面积二、用定积分求平面图形的面积用微元法将平面图形的面积表示成定积分用微元法将平面图形的面积表示成定积分第112页/共131页第113页/共131页第114页/共131页第115页/共131页第116页/共131页解解两曲线的交点选 为积分变量于是所求面积第117页/共131页 旋转体旋转体就是由一个平面图
18、形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆锥圆台三、旋转体的体积三、旋转体的体积第118页/共131页xyo旋转体的体积为第119页/共131页解解第120页/共131页第121页/共131页第122页/共131页解解第123页/共131页第124页/共131页四、平面曲线的弧长四、平面曲线的弧长四、平面曲线的弧长四、平面曲线的弧长第125页/共131页第126页/共131页第127页/共131页第128页/共131页第129页/共131页一、一、微元法微元法 dA=f(x)dx二、平面图形的面积二、平面图形的面积三、旋转体的体积三、旋转体的体积五、小结五、小结 四、平面曲线的弧长四、平面曲线的弧长第130页/共131页感谢您的观看！第131页/共131页