《《高等数学》PPT课件-第五章 概率、曲面.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高等数学》PPT课件-第五章 概率、曲面.ppt（73页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第五章 概率论初步（数二）排列组合排列组合排列组合排列组合一、计数原理一、计数原理分类计数原理分类计数原理分步计数原理分步计数原理定义相同点不同点 排列 组合定义种数符号计算公式关系二、排列组合二、排列组合 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做右边的多项式叫做(a+b)n的的 ，其中其中 （r=0,1,2,n）叫做）叫做 ，叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项通项，用，用 Tr+1 表示，该项是指展开式的第表示，该项是指展开式的第 项，展开式共有项，展开式共有_个项个项.展开式展开式二项式系数二项式系数r+1n+1二项式定理二项式定理 1
2、.1.书架上层放有书架上层放有6 6本不同的数学书，下层放有本不同的数学书，下层放有5 5本不同的语文书，本不同的语文书，从中任取一本，有多少中不同的取法？从中任取一本，有多少中不同的取法？从中任取数学书与语文书各取一本，有多少种不同的取法？从中任取数学书与语文书各取一本，有多少种不同的取法？基础练习基础练习6+5=1165=302.2.某段铁路上有某段铁路上有1212个车站，共需准备多少种普通客票？个车站，共需准备多少种普通客票？3.3.某段铁路上有某段铁路上有1212个车站，问有多少种不同的票价？个车站，问有多少种不同的票价？4.4.用用3 3，5 5，7 7，9 9四个数字，一共可组成多
3、少个没有重复四个数字，一共可组成多少个没有重复数字的正整数数字的正整数5.名名师师生生站站成成一一排排照照相相留留念念，其其中中老老师师1人人，男男生生4人人，女女生生2人人，在在下下列列情情况况下下，各各自自不不同同站站法法多多少少种？种？(1).两名女生必须相邻而站两名女生必须相邻而站.(2).4名男生互不相邻名男生互不相邻.(3).老师不站中间，女生不站两端老师不站中间，女生不站两端.(4).女生甲不站左端，女生乙不站右端女生甲不站左端，女生乙不站右端.A66A22=1440(捆绑法捆绑法)A33A44=144（插空法）（插空法）（3）A77A A5 55 5 A22 A66+A44=4
4、104（间接法）（间接法）（4）A77A66 A66+A55=3720（间接法）（间接法）随机事件一一、随机试验、随机试验二二、样本空间与随机事件、样本空间与随机事件三三、事件间的关系与运算、事件间的关系与运算一、随机试验一、随机试验研研究究现现象象：随随机机现现象象：在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现象成为随机现象随机现象研究方式：研究方式：随机试验随机试验EE1:抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况；E2:掷一颗骰子，观察出现的点数；E3:记录110报警台一天接到的报警次数；E4:在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命；E5:记录某物理量的
5、测量误差；上述试验的特点：上述试验的特点：1.试验的可重复性试验的可重复性可在相同条件下重复进行可在相同条件下重复进行；2.一次试验结果的随机性一次试验结果的随机性一次试验之前无法确定具体是哪种结一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。果出现，但能确定所有的可能结果。3.全部试验结果的可知性全部试验结果的可知性所有可能的结果是预先可知的。所有可能的结果是预先可知的。在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试验随机试验，简称简称试验试验。随机试验常用。随机试验常用E表示。表示。：随机试验的所有可能结果组成的集合 样本空间样本空间
6、w样本点一般用 表示样本点样本点：即，随机试验的每个结果，中的元素，样本空间W二二、样本空间与随机事件、样本空间与随机事件下面分别写出上述各试验下面分别写出上述各试验 所对应的样本空间所对应的样本空间随机事件：随机事件：简称简称事件。事件。事件发生：事件发生：该子集中的任意一个样本点出现该子集中的任意一个样本点出现基本事件：基本事件：仅包含一个样本点的子集仅包含一个样本点的子集随机试验随机试验 有两个基本事件有两个基本事件 和和 样本空间的两个特殊子集样本空间的两个特殊子集 它包含了试验的所有可能的结果，所以在每次试验中它总是发生，称为必然事件.它不包含任何样本点，因此在每次试验中都不发生,称
7、之为不可能事件.三、事件间的关系与运算三、事件间的关系与运算随机试验的E样本空间W1、事件之间的关系(1)事件之间的包含（2）和事件称为个（3）积事件A=出现点数是不超过3 B=出现点数是奇数 AB=出现点数是1(4)差事件（5）互斥（互不相容）时发生（6）对立事件2、运算规律4.对偶律 注：这些运算规律可以推广到任意多个事件上去 1.交换律2.结合律3.分配律例例 设A、B、C表示三个事件，试以A，B，C的运算表示以下事件：（1）仅A发生；（2）A，B，C都发生；（3）A，B，C都不发生；（4）A，B，C恰有一个发生。解解 随机事件的概率一、古典概型二、概率的性质 频率与概率频率与概率一、一
8、、古典概型古典概型1试验的样本空间只含有有限个元素，即 2试验中每个基本事件发生的可能性相同，即 具有以上两个特点的随机试验称为古典概型。二、概率的性质（4）可以推广到多个事件的情形例如例例 掷一枚质地均匀的骰子掷一枚质地均匀的骰子,求出现奇数点的概率。求出现奇数点的概率。事件事件“出现奇数点出现奇数点”用用A表示表示,则则A=1,3,5,所含样本所含样本点数点数r=3,从而从而解解：显然样本空间显然样本空间=1,2,3,4,5,6,样本点总数样本点总数n=6,例例 设A,B为两个随机事件,P(A)=0.5,P(AUB)=0.8,P(AB)=0.3,求求P(B).解解 由P(AUB)=P(A)
9、+P(B)-P(AB),得 P(B)=P(AUB)-P(A)+P(AB)=0.8-0.5+0.3=0.6.例例 袋中有袋中有5个白球个白球3个黑球个黑球,从中任取两个从中任取两个,试求取到的两个试求取到的两个球颜色相同的概率。球颜色相同的概率。解解 从从8个球中任意取两个个球中任意取两个,共有共有 种取法种取法,即基本事件总即基本事件总 数数 .记记A表示表示“取到的两个球颜色相同取到的两个球颜色相同”,A包含两种可包含两种可能能:全是全是白球白球或全是或全是黑球黑球.全是白球有全是白球有 种取法种取法,全是黑球有全是黑球有 种取法种取法,由加法原由加法原理理知知,A的取法共的取法共 种种,即
10、即A包含的基本事件数包含的基本事件数 r=故故 条件概率一、条件概率二、乘法公式三、事件的独立性一、条件概率2、条件概率的计算方法：、条件概率的计算方法：（1）利用古典概型直接计算（）利用古典概型直接计算（优先考虑优先考虑）（2）利用条件概率的定义）利用条件概率的定义二、乘法公式定理1（乘法公式）则由归纳法可得：则由可得定义若三、独立性 1.两个事件的独立性 定理1注：事件的独立性与事件的互不相容是两个完全不同的概念定义2利用数学归纳法，利用数学归纳法，可把定理可把定理1推广推广至有限多个事件至有限多个事件的情形的情形 2.多个事件的独立性例例 一射手对一目标独立射击一射手对一目标独立射击4次
11、次,每次射击的命中率为每次射击的命中率为0.8,求：求：（1）恰好命中两次的概率；）恰好命中两次的概率；（2）至少命中一次的概率。）至少命中一次的概率。解解 因每次射击是相互独立的,故此问题可看做4重贝努力试验,p=0.8,(1)设事件A2表示“4次射击恰好命中两次次射击恰好命中两次”,则所求的概率为(2)设事件B表示“4次射击中至少命中一次次射击中至少命中一次”,有A0表示“4次射击都未次射击都未命命中中”,则故所求的概率为故所求的概率为例例 3人独立地破译一个密码人独立地破译一个密码,他们能单独译出的概他们能单独译出的概率分别为率分别为 1/5,1/3,1/4.求此密码被译出的概率求此密码
12、被译出的概率.解解 设A,B,C分别表示3人能单独译出密码，则所求概率为 P(ABC)，且A,B,C独立，P(A)=1/5，P(B)=1/3，P(C)=1/4.于是 随机变量及其数字特征1 1.随机变量的概念随机变量的概念 定义定义 1 样本空间为样本空间为，如果对每一个样本点，如果对每一个样本点，有一个实数，有一个实数X()与之与之对应，这样就得到一个定义在对应，这样就得到一个定义在上的实值函数上的实值函数X=X()称为称为随机变量随机变量。随机变量常用随机变量常用X,Y,Z,.或或X1,X2 X3,.注意：注意：随机变量的取值随着随机试验的结果而定。随机变量的取值随着随机试验的结果而定。2
13、.离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律 定义定义2 2 若随机变量若随机变量X只能取有限多个或可列无限多个值，则称只能取有限多个或可列无限多个值，则称X X为为离散型离散型随机变量随机变量。定义定义3 X为离散型随机变量，可能取值为为离散型随机变量，可能取值为x1,x2,xk,且且 PX=xk=pk,(k=1,2,)则称则称Pk为为X的的分布律分布律或或分布列分布列或或概率分布概率分布。Xx1 1 x2 2xkPkp1p2pk分布律也可用表格形式表示分布律也可用表格形式表示分布律分布律 Pk 具有下列性质：具有下列性质：反之，若一个数列反之，若一个数列Pk具有以上两条性质，则它必可
14、作为某离散型随机变量的具有以上两条性质，则它必可作为某离散型随机变量的分布律。分布律。例例 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为X 0 1 2P 0.2 C 0.5求常数求常数C.0.2+C+0.5=1所以，所以，C=0.3解：由分布律的性质得解：由分布律的性质得例例 袋子里有袋子里有5个同样大小的球，编号为个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.从中同时取出从中同时取出3个球，记个球，记X为取出球的最大编号，求为取出球的最大编号，求X的分布律的分布律.解：解：X的可能取值为的可能取值为3,4,5所以所以X的分布律的分布律X 3 4 5随机变量的分布函数随机变量的分布函数
15、定义定义 设X为随机变量，称函数为X的分布函数。当当X为离散型随机变量时，设为离散型随机变量时，设X的分布律为的分布律为例例 设离散型随机变量X的分布律为 X -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.4求X的分布律。3.随机变量的期望随机变量的期望离散型随机变量的期望离散型随机变量的期望:定义定义1 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为如果如果有限有限,定义定义X的数学期望的数学期望PX=xk=pk,k=1,2,例例1 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为 X -1 0 1 P 0.3 0.2 0.5求求E(X).解解 E(X)=(-1)0.3+0 0.2+1
16、 0.5=0.2例例2 甲乙两人进行打靶甲乙两人进行打靶,所得分数分别记为所得分数分别记为X,Y,它们的分布律分别为它们的分布律分别为 X 0 1 2 P 0 0.2 0.8 Y 0 1 2 P 0.1 0.8 0.1试比较它们成绩的好坏试比较它们成绩的好坏.解解 分别计算分别计算X和和Y的数学期望的数学期望:E(X)=00.3+1 0.2+2 0.8=1.8(分)，E(Y)=00.1+1 0.8+2 0.1=1(分).这就意味着这就意味着,如果进行多次射击如果进行多次射击,甲所得分数的平均值接近于甲所得分数的平均值接近于1.8分分,而乙而乙得分的平均值接近得分的平均值接近1分分.很明显乙的成
17、绩远不如甲很明显乙的成绩远不如甲.4.随机变量的随机变量的方差方差(1)方差的概念方差的概念定义定义.说明说明：(1)随机变量随机变量X的方差的方差D(X)即是即是X的函数的函数(X-E(X)2的期望的期望.(2)当随机变量的取值相对集中在期望附件时当随机变量的取值相对集中在期望附件时,方差较小方差较小;取值相取值相对分散时对分散时,方差较大方差较大,并且总有并且总有(2)方差的计算方法：方差的计算方法：解解等等 价价 公公 式式第五章 空间解析几何（数一）一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角一一 平面及其方程平面及其方程
18、一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程1.点法式方程（已知法向量）点法式方程（已知法向量）如果一如果一非零向量非零向量垂直于一垂直于一平面平面,称此向量为该平面的称此向量为该平面的法线法线向量向量(法向量法向量).定义定义设法向量设法向量平面的点法式方程为平面的点法式方程为 及平面上的定点及平面上的定点2.点法式方程点法式方程由平面的点法式方程由平面的点法式方程法向量法向量二、平面的一般方程二、平面的一般方程平面的一般方程平面的一般方程设平面为设平面为将三点坐标代入得将三点坐标代入得解解（其中（其中 ，）例例 设平面与设平面与 三轴分别交于三轴分别交于 、代入所设方程得代入所设方程得 平面方
19、程的截距式平面方程的截距式设平面为设平面为由平面过原点知由平面过原点知所求平面方程为所求平面方程为解解定义定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角两平面的夹角.三、两平面的夹角三、两平面的夹角（取（取锐角锐角）两平面夹角余弦公式：两平面夹角余弦公式：特别地，特别地，例例4一平面通过两点一平面通过两点且且垂直于平面垂直于平面:x+y+z=0,求其方程求其方程 .和和的法向量的法向量解解 设所求平面设所求平面两平行平面间的距离：两平行平面间的距离：二二 空间直线及其方程空间直线及其方程一、空间直线的各种方程一、空间直线的各种方程二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系
20、一、空间直线的方程形式一、空间直线的方程形式1.空间直线的一般形式空间直线的一般形式定义定义 空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线.空间直线的空间直线的一般式方程一般式方程.L(形式不唯一形式不唯一)(1)2.对称式对称式点向式方程点向式方程定义定义 如果一如果一非零向量非零向量平行于一条平行于一条已知直线已知直线,称此向量为该直线的称此向量为该直线的方向向量方向向量.设一直线过设一直线过 ，其方向向量为的其方向向量为的此直线方程为此直线方程为(2)将一般方程转化为对称式方程将一般方程转化为对称式方程(ii)用用消元法消元法化为比例式化为比例式;(i)在直线上找一定点在直线上找
21、一定点,再求出方向向量再求出方向向量,即写出对称式方程即写出对称式方程.二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系1.两直线的夹角两直线的夹角 则两直线夹角则两直线夹角 满足满足设直线设直线 L1,L2 的方向向量分别为的方向向量分别为 两直线的夹角指其两直线的夹角指其方向向量间的夹角方向向量间的夹角(取锐角取锐角)特别有特别有:所夹锐角所夹锐角 称为称为直线与平面间的夹角直线与平面间的夹角；2.2.直线与平面的夹角直线与平面的夹角当直线与平面不垂直当直线与平面不垂直,直线和它在平面上的投影直线直线和它在平面上的投影直线设直线设直线 L 的方向向量为的方向向量为 平面平面 的法向量为的法向量为则
22、直线与平面夹角则直线与平面夹角 满足满足/特别有特别有:/解解 取已知平面的法向量取已知平面的法向量则直线的对称式方程为则直线的对称式方程为垂直的直线方程垂直的直线方程.例例 求过点求过点(1,-2,4)(1,-2,4)且与平面且与平面为所求直线的为所求直线的 方向向量方向向量.一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋转曲面二、旋转曲面三、柱面三、柱面 曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念定义定义:若曲面若曲面S与三元方程与三元方程F(x,y,z)=0 有如下关系有如下关系:(1)S上任一点的坐标都满足上任一点的坐标都满足方程方程F(x,y,z)=0;(2)坐标满足方
23、程坐标满足方程F(x,y,z)=0的点都在的点都在S上上;方程方程F(x,y,z)=0叫做叫做曲面曲面S的方程的方程,而曲面而曲面S叫做方叫做方程程F(x,y,z)=0的的图形图形 .F(x,y,z)=0 Sxyzo o研究空间曲面有两个基本问题：研究空间曲面有两个基本问题：（2 2）已知曲面方程，研究曲面形状）已知曲面方程，研究曲面形状（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程曲面曲面SF(x,y,z)=0(三元方程）三元方程）1-1对应对应故所求方程为故所求方程为例例1 求动点到定点求动点到定点特别特别,当当M0在原点时在原点时,球面方程为球面方程为解
24、解 设轨迹上动点为设轨迹上动点为即即依题意依题意距离为距离为 R 的轨迹方程的轨迹方程.表示上表示上(下下)球面球面.MM0 0 MM例例2 研究方程研究方程解解 配方得配方得此方程表示此方程表示:说明说明:如下形式的三元二次方程如下形式的三元二次方程(A 0)都可通过配方化成球面方程都可通过配方化成球面方程.表示表示怎样的曲面怎样的曲面.半径为半径为的球面的球面.球心为球心为 定义定义2 二、旋转曲面二、旋转曲面 一条一条平面曲线平面曲线绕其平面上一条绕其平面上一条定直线定直线旋转一周旋转一周所形成的曲面叫做所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该旋转曲线称为该旋转曲线称为母线母线,定直线称为定
25、直线称为旋转旋转轴轴 .例如例如 母线母线旋转轴旋转轴例例4.试建立顶点在原点试建立顶点在原点,旋转轴为旋转轴为z 轴轴,半顶角为半顶角为的的圆锥面方程圆锥面方程.L解解 在在yoz面上直线面上直线L 的方程为的方程为绕绕 z 轴旋转时轴旋转时,圆锥面的方程为圆锥面的方程为两边平方两边平方定义定义观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程:动直线动直线 L 叫柱面的叫柱面的母线母线.三、柱面三、柱面平行于定直线并沿定平行于定直线并沿定曲线曲线 C 移动的移动的直线直线 L 所形所形成的曲面称为成的曲面称为柱面柱面.定曲线定曲线C叫柱面的叫柱面的准线准线，母线母线准线准线x xy yzo o考虑方程考
26、虑方程 x2+y2=R 2 所表示的曲面所表示的曲面.在在xoy面上面上,x2+y2=R2 表示以表示以原点原点O为圆心为圆心,半径为半径为R的圆的圆.曲曲面面可可以以看看作作是是由由平平行行于于 z 轴轴的的直直线线 L 沿沿xoy面面上上的的圆圆 x2+y2=R2 移移动动而而形形成成,称该曲面为称该曲面为圆柱面圆柱面.o ol l注意：注意：在空间直角坐标系，在空间直角坐标系，缺项方程缺项方程（不完全方程）（不完全方程）的图形是柱面的图形是柱面.圆圆柱柱面面柱面柱面,母线平行于母线平行于 x 轴轴;平行于平行于 z 轴轴;柱面柱面,准线准线 xoy 面上的曲线面上的曲线母线母线准线准线准
27、线准线 yozyoz 面上的曲线面上的曲线面上的曲线面上的曲线柱面柱面,母线平行于母线平行于 y 轴轴;准线准线 xoz 面上的曲线面上的曲线四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程三元二次方程 研究二次曲面特性的基本方法研究二次曲面特性的基本方法:截痕法截痕法 基本类型有基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为的图形通常为二次曲面二次曲面.(二次项系数不全为二次项系数不全为 0)z zx xy yOO1 用坐标面用坐标面z=0,x=0和和y=0去截割去截割,分别得椭圆分别得椭圆1.1.椭球面椭球面椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面球面球面球面方程可写为球面方程可写为内容小结内容小结:球面球面旋转曲面旋转曲面:曲线曲线绕绕 z 轴的旋转曲面轴的旋转曲面:柱面柱面 曲面曲面表示母线平行表示母线平行 z 轴的柱面轴的柱面.平面平面