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1、l 对一元函数：对一元函数：导数导数描述了函数在描述了函数在处的瞬时处的瞬时变化率变化率，它的几何意义就是函数曲线上点它的几何意义就是函数曲线上点处的处的切线的斜率切线的斜率。l 对于多元函数，我们同样感兴趣它在某处的瞬时变化率问题，对于多元函数，我们同样感兴趣它在某处的瞬时变化率问题，以二元函数以二元函数 为例，我们分别讨论：为例，我们分别讨论：相对于相对于以及以及相对于相对于的瞬时变化率的瞬时变化率偏导数偏导数 偏导数的定义偏导数的定义 偏导数的定义偏导数的定义设函数设函数在点在点的某一邻域内有定义，的某一邻域内有定义，若若存在，则称此存在，则称此极限极限为为或或若若存在，则称此存在，则称
2、此极限极限为为函数函数在点在点处处对对 的偏导数的偏导数，记作，记作函数函数在点在点处处对对 的偏导数的偏导数，记作，记作或或如果函数如果函数在区域在区域 D 内每一点内每一点处对处对 和对和对 的的的偏导数都存在，那么我们就说函数的偏导数都存在，那么我们就说函数在在 D 内可导，内可导，它在它在 D 内的偏导数仍是内的偏导数仍是和和的二元函数，称为的二元函数，称为偏导函数偏导函数，简称，简称偏导数偏导数，记为，记为或或求偏导方法求偏导方法：只需将：只需将其它变量视为常数其它变量视为常数，按一元函数求导则可。，按一元函数求导则可。偏导数的定义偏导数的定义例例1 求下列多元函数的偏导数求下列多元
3、函数的偏导数解解 解解 例例1 求下列多元函数的偏导数求下列多元函数的偏导数解解 例例1 求下列多元函数的偏导数求下列多元函数的偏导数解解 例例2 讨论讨论 在点在点处的连续性和可导性。处的连续性和可导性。解解 令令则则 极限与有关，故极限不存在，即函数在点极限与有关，故极限不存在，即函数在点处不连续。处不连续。但但即函数在点即函数在点处可导。处可导。由此知，偏导存在未必连续。由此知，偏导存在未必连续。高阶偏导数高阶偏导数 由于二元函数的偏导数仍是二元函数，故可据实际需要再求偏由于二元函数的偏导数仍是二元函数，故可据实际需要再求偏导数，称之为二阶偏导数，同理有三阶、四阶导数，称之为二阶偏导数，
4、同理有三阶、四阶等等高阶偏导数。高阶偏导数。例例4 求下列二元函数的所有二阶偏导数求下列二元函数的所有二阶偏导数解解 例例4 求下列二元函数的所有二阶偏导数求下列二元函数的所有二阶偏导数若二元函数若二元函数的两个混合偏导的两个混合偏导在区域在区域 D 上连续，则它们必相等。上连续，则它们必相等。解解 全微分的相关概念全微分的相关概念如同一元函数，为解决函数增量的近似计算问题，引入全微分。如同一元函数，为解决函数增量的近似计算问题，引入全微分。设二元函数为设二元函数为 全增量全增量：称：称 为函数在点为函数在点 处的全增量。处的全增量。关于关于x的偏增量的偏增量：称：称 为函数在点为函数在点 处
5、关于处关于x的偏增量。的偏增量。关于关于y的偏增量的偏增量：称：称 为函数在点为函数在点 处关于处关于y的偏增量。的偏增量。全微分全微分则称函数在则称函数在 处处可微可微，并称，并称为函数在为函数在 处的处的全微分全微分，记为：，记为：显然有：显然有：又又可以表示成可以表示成 若二元函数若二元函数 在点在点 处的处的全增量全增量只要特取只要特取 即可以推出即可以推出 全微分、偏导数、连续性之间的关系全微分、偏导数、连续性之间的关系 连续连续可微可微偏导存在偏导存在全微分存在全微分存在例例1（1）求：求：解解例例2 求函数求函数 的全微分的全微分 解解 因为因为 所以所以 例例3 求函数求函数 的全微分的全微分 解解 因为因为 所以所以 返回返回