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1、张卫锋张卫锋-高等数学第五章高等数学第五章2第五章第五章 一元函数积分学一元函数积分学 n 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 n 微积分基本定理微积分基本定理 n 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质 n 积分方法积分方法 n 定积分的计算定积分的计算 n 反常积分反常积分 2 (4)取极限记于是物体在这段时间内所经过的路程 因此计算变速直线运动的路程问题,也归结为求一个和式的极限.以上两个例子,一个是几何问题,一个是物理问题,从它们的实际意义来看互不相同的,但从解决问题的方法来看,却是完全一致的,最后都归结为求函数在区间上具有特定结构的和式的极限.9二、定积分定义二、定积分定义定义定
2、义1 设 是定义在 上的有界函数,将区间任意分成 n 个小区间,设其分点为并设各个小区间 的长度为 在各个小区间 上任取一点 （,也称为介点）,作函数值 与 的乘积 并作出和10上式称为函数 在区间 上的积分和积分和(式式).记 （也称为分割的细度,如果无论对区间 怎样划分，也无论各小区间 上的介点 如何选取，只要当 时,积分和 总有确定的同一极限值 ,则称函数 在区间 上可积可积,极限值 称为 在区间 上的定积分定积分,记作 ,即 11 其中 称为被积函数被积函数,称为被积表达式被积表达式,称为积分区间积分区间,a 称为积分下限积分下限,b 称为积分积分上限上限,x 称为积分变量积分变量.由
3、定积分定义,例1中的曲边梯形的面积为而例2中的变速直线运动的路程为12 函数 在 上满足怎样的条件,才能在 上一定可积?对此我们不做深入讨论,而只给出以下两个可积的充分条件.定理定理1 1 若 在 上连续,则 在 上可积 定理定理2 2 若 在 上有界,且只有有限个第 一类间断点,则 在 上可积 13例例3利用定积分计算 .解解 因为 在积分区间 上连续,所以 在 上可积,因此积分值与 的分割和 的取法无关,为了便于计算,将区间 分成 n 等分,分 点为 ,于是 ;可取 ,于是得积分和式 14因此15三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义 图图5-35-3曲边梯形面积曲边梯形面积的负值 一般
4、地,表示 x 轴上方图形的面积减去 x 轴下方图形的面积.16 例如 在几何上表示以 R 为半径的上半圆周与 x 轴围成的图形的面积,于是17(2)定积分定义中假定 ,当 时,规定(3)当时 ,规定关于定积分定义的几点补充说明关于定积分定义的几点补充说明:(1)由定义可知,定积分的值只与积分区间 和被积函数 的对应法则有关,而与积分变量无关,即18四、定积分的性质四、定积分的性质说明说明:本目将讨论定积分的性质,所列性质中积分上下限的大小,除特别说明,均不受限制,并假定所给的定积分都是存在的.性质性质1 1 被积函数的常数因子可以提到积分号外,即(k 为常数).证证 19性质性质2 2 函数代
5、数和的定积分等于各个函数积分的代数和,即 证证 注注:这个性质对任意有限个函数都是成立的.20性质性质3 3 若把区间 分成两部分 和 (),则 证证 因为 在 上可积时,定积分的值与区间的分法无关,所以在区间上作积分和时,总可以把 c 作为一个分点,则令 ,对上式两端取极限便得21说明说明:这个性质说明定积分对于积分区间具有可加性,进一步可以证明,无论 a,b,c 的相对位置如何,性质3都是成立的.性质性质4 4 若在区间 上 ,则 证证 性质性质5 5 若在区间 上 ,则 22 因为 ,所以 ,又 ,故 ,从而证证 取极限后即得要证的不等式.推论推论1 1 若在区间 上 ,则23推论推论2
6、 2 证证因为 ,所以由 推论1及性质1得即24性质性质6 6 (估值定理估值定理)设 M,m 分别是函数 在区间 上的最大值和最小值,则证证因为 ,所以由性质5及其推论1,得 再由性质1及性质4即得所要证的不等式.25例例4估计积分的值 .解解 先求函数 在区间 上的最大值和最小值.由 ,令 得驻点 ,计算得 所以得最小值 ,最大值 ,利用估值定理得26性质性质7 7 (定积分中值定理定积分中值定理)若函数 在区间 上连续,则在该区间内至少有一点 ,使得:证证 因为 在闭区间 上连续,所以必有最大值 M 和最小值 m,由估值定理有两端各除以 ,得27 根据在闭区间上连续的函数的介值定理知,在
7、 上至少存在一点 ,使得所以 定积分中值定理的几何意义是在区间 上至少存在一点 ,使得以区间 为底以曲线 为曲边的曲边梯形的面积,等于底边相同而高为 的一个矩形的面积.28 通过前面的学习,我们已学会根据定义来计算定积分,但从第一节中给出的按定义计算定积分 的例子中看出,根据定义计算定积分是很麻烦的,有时甚至是非常困难的.因此,我们必须寻求计算定积分的简单有效的方法,这一节介绍的微积分基本定理就揭示了定积分与原函数之间的内在联系,将定积分的计算问题归纳为求原函数的问题.引引 言言29从而可得实例实例设有一质点作直线运动,其速度为 ,则该质点在 到 的一段时间内所走过的路程为 此外,再假定该质点
8、的运动方程为已知,即已知路程函数 ,于是在 的一段时间内所经过的路程为 特别值得注意的是 ,我们称 是 的一个原函数(该概念将在下面作详细定义).30 于是由上式可知,左端的定积分正好等于它的被积函数 的原函数 在上下限处函数值之差.下面我们将证明,在一般情形下,上述关系也是成立的.312 2 微积分基本原理微积分基本原理 一、积分上下限函数及其导数、原函数一、积分上下限函数及其导数、原函数 设函数 在区间 上连续,每当 x 在 上任取一值时,定积分 通常称之为积分上限函数积分上限函数(或或(可可)变上限定积分变上限定积分).必有一确定的值与之对应(这里为避免混淆起见,将积分变量写成 t),这
9、样上式便成为积分上限 x 的函数,记为 ,即32定理定理1 1 若函数 在区间 上连续,则积分上限函数在 上具有导数,且证证当上限 x 获得增量 时,则在处的函数值为 33由此得函数的增量由定积分中值定理得其中介于与之间,于是34即 令 ,于是 ,从而 ,由 的连续性,得35定义定义1 1 设函数 与 定义在同一区间 内内,若对 都有或则称 为 在区间 内的一个原函数原函数.例如,由于 ,我们称 是 的导函数,而称 是 的一个原函数,又由于 ,所以 也是 的一个原函数.36 又如,因为 ,所以 是 在区间 内的一个原函数.由原函数的定义知:(1)一个函数如果有原函数,则它的原函数不是唯一的,因
10、为若 为 的一个原函数,即 ,则对任意常数 C 有 所以 也是 的原函数,由此可知,如果 有原函数,那么它就有无穷多个原函数.37(2)若 和 都是 的原函数,则 我们知道,导数恒为零的函数必为常数,所以 或 .可见,的任意两个原函数只相差一个常数.也就是说,如果 是 的一个原函数,那么 是 的原函数的全体,其中 是任意数.38定理定理2 2 (原函数存在定理原函数存在定理)如果函数 在区间 内连续,那么它的原函数一定存在.即在区间 内存在可导函数 ,使得对 ,都有 .一个函数具备什么条件,就能保证它的原函数一定存在呢？这个问题将在下一节讨论,这里先给出一个充分条件.定理定理3 3 (原函数存
11、在定理原函数存在定理)如果函数 在区间 上连续,则 就是 在 上的一个原函数.也就是说,连续函数 总有原函数.39 注意,连续函数的原函数未必有初等函数形式的表达式，例如 的原函数就不能用初等函数表示，但由定理3，显然 是 的一个原函数.例例1 求 解解 由定理1 得40例例2求 .解解 积分 是上限 的函数,而上限 又是 的函数,因此由复合函数求导法则,得41 一般地,若 为连续函数,和 是 的可导函数,则有 对于积分下限函数 ,我们可利用公式转化为积分上限函数去讨论.42二、牛顿莱布尼兹公式二、牛顿莱布尼兹公式证证已知 是 的一个原函数,又由定理3知 也是 的一个原函数,而一个函数的任意两
12、个原函数之间至少相差一个常数,故有定理定理4 4 设函数 在区间 上连续,而 是 的一个原函数,则43在上式中令 得 ,于是从而有在上式中令 ,就得到仍以 为积分变量得44 定理4称作微积分基本定理,公式(2)称为牛顿莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式,亦称为微积分基本公式.它进一步揭示了定积分与被积函数的原函数之间的内在联系,把定积分的的计算问题归结为求原函数的问题,也就是把繁难的求积分和式的极限的问题转化为较简便的计算原函数及其在积分区间上的函数增量的问题,从而提供了计算定积分简便而有效的方法.公式(2)被用来计算定积分时,常写成下面的简化形式:其中 是 的一个原函数.45例例3
13、计算 .解解 这个积分在第一节的例3中利用定积分定义计算过,现在用公式(2)来计算,由于 ,所以 是 的一个原函数,则46例例4计算 .解解 由于 是 的一个原函数,所以例例5计算 .解解因为 ,所以47例例6计算 .解解 由于 ,所以 这个例题说明,当被积函数中出现绝对值时,应根据被积函数在积分区间上的变化情况先去掉绝对值符号,然后再计算积分.48例例7计算 其中解解49例例设求 在 上的表达式.解解 当 时 50当 时所以51例例9 设 在 上连续,内可导,且 ,证明在 内 .证证 根据公式(1)得 ,故 根据第一节性质7(定积分中值定理)至少存在一点 使52故根据拉格朗日中值定理,至少存
14、在一点所以53例例10 求极限 解解 这是一个 型未定式,由罗必达法则有54牛顿莱布尼兹公式使我们彻底摆脱了用定义计算定积分带来的的繁琐困难,它表明,只要知道了被积函数的原函数,就可以非常便捷地求出定积分的值.于是定积分计算的关键问题就归结为如何求出被积函数的原函数.上节例题中的被积函数的原函数都很容易求出,但更一般的情况下,被积函数的原函数却往往不易直观地求出(有时甚至不能求出),这将严重影响定积分的计算.能否求出被积函数的原函数成为计算定积分的关键,因此有必要专门研究原函数的计算方法.本节和下一节我们对求原函数的方法作一个专门而简要的介绍.引引 言言55一、不定积分的概念一、不定积分的概念
15、3 3 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 定义定义1函数 的全体原函数称为 的不不定积分定积分,记作 其中 称为积分号积分号,称为被积函数被积函数,称为被积表达式被积表达式,称为积分变量积分变量.如果能找到 的一个原函数 ,则 就是 的不定积分,即,其中常数C任意常数.56 求不定积分的方法叫做积分法积分法,积分法是从某一函数的导数出发寻求这个函数的过程.所以积分法是微分法的逆运算.由不定积分定义,即可知下列关系:例如,由基本初等函数的求导公式立即可得57 在平面直角坐标系中,的任一个原函数 的图象称为 的一条积分曲线,其方程是 ,由前面讨论知道,如果 有一条积分曲线 ,则就有无穷多条
16、积分曲线,它们的方程,这些积分曲线的全体称为 的积分曲线族,积分曲线族中每一条曲线都可由另一条积分曲线沿 y 轴方向平移而得到(图5-6),且由 知道,积分曲线族上横坐标相同的对应点处的切线相互平行,这就是不定积分的几何意义.58例例1 一曲线在任意点处的切线斜率等于这点横坐标的3倍,且曲线过点(2,5),求此曲线的方程.解解 设此曲线方程为 ,依题设曲线上任一点 处的切线斜率为 ,即 是 的原函数,因为 故所求为曲线族 中的一条,又由曲线过点(2,5),所以 得 ,于是,所求曲线方程为 59二、基本积分表二、基本积分表 既然积分法是微分法的逆运算,所以我们可以从导数(或微分)公式逆推过来,就
17、可得到基本积分公式:6061 公式公式(1)至至(13)是计算不定积是计算不定积分的基础分的基础,必必须熟记须熟记.62例例2 求下列不定积分 解解 63三、不定积分的性质三、不定积分的性质性质性质1 1 设函数 的原函数存在,则 证证 这表示(1)的右端是 的原函数,且右端两项积分所含任意常数的代数和仍为一个任意常数,故式(1)右端是 的不定积分.64注意性质1可推广到有限多个函数得情形,即证证 因为性质性质2 2 设函数 的原函数存在,为非零常数,则 又式(2)右端积分中含任意常数,所以式(2)的右端是的不定积分.65 利用基本积分表及上述两个运算性质,我们可以计算一些简单函数的不定积分.
18、例例3 求解解 注意,检验积分结果是否正确,只须将结果求导,看是否等于被积函数即可,如在这个例子中,由于所以积分结果是正确的.66例例4 求解解 有些积分,可以利用初等数学中的一些恒等变形,把被积函数化为基本积分表中的形式,再逐项积分.例例5 求解解 67例例6 求解解 例例7 求解解 68例例8 求解解 解解 例例9 求69例例10 求解解 70引引 言言 利用基本积分表与不定积分性质,能求出的不定积分为数不多,因此有必要进一步研究求不定积 分的方法,这里将介绍两种基本的积分方法:换元积分法换元积分法与分部积分法分部积分法.714 4 积分方法积分方法 一、不定积分换元积分法一、不定积分换元
19、积分法 变量代换法也称为换元积分法,按照微分的“凑”与“拆”,换元法可分为第一类换元积分法与第二类换元积分法.1、第一类换元积分法、第一类换元积分法 积分法是微分法的逆运算,所以我们可以从微分法则中寻求积分的方法.设 为 的原函数,按一阶微分形式不变性,有72若 可微,则由不定积分与微分的互逆关系即得 又由于 知 ,将上两式结合起来写成便于应用的形式:式(1)称为第一积分换元公式第一积分换元公式.73 对不定积分 ,如果能把被积函数化为 的形式,则 如果上式右端积分可由基本积分公式积出,那么 的不定积分也随之求得.解解 例例1 求74例例2 求解解 75例例3 求解解 76 一般地,若 ,则利
20、用换元 可以很容易求出积分 :在积分过程中,并不一定要写出中间变量,只须记住 表示哪一个表达式即可.77例例4 求解解 从上面例子看到,用第一换元积分法,就是要把 的被积表达式“凑”成另一个容易积分形式 ,关键在于适当选取中间变量 ,所以第一换元法又称为凑徽分法凑徽分法.78例例5 求解解 同理可得 79例例6 求解解 80例例7 求解解 例例8 求解解 81同理可得 82例例9 求解解 同理可得:83例例10 求解解 例例11 求解解利用三角函数中的积化和差公式得 84例例12 求解解 例例13 求解解 852、第二类换元积分法、第二类换元积分法 第一换元法是通过变量代换 ,将积分 化为 而
21、后得一容易计算的积分,从而解决了前一积分的计算问题,有时,我们会碰到相反的问题,即后一积分不容易求得,而前一积分容易积出,这时将第一换元公式反过来应用便得到第二类换元积分公式.设 为单调,具有连续导数,且 ,又设 具有原函数 ,则有:86其中 是 的反函数.这是因为,由复合函数与反函数微分法有 这表示 为 的一个原函数.所以第二换元公式(2)成立.87例例14 求解解 而 ,所以 被积函数含有根式,为了去掉根号,可作变换 ,于是 88于是 为了把 换为原来的量 ,可以根据所作变换 作一直角三角形,由图形即得 89例例15 求解解 为了去掉根式 ,可作变换 则 于是90 为了把 换成 的函数,根
22、据变换 作出直角三角形.有因此,91 从上面例子看到,当被积函数含有根式 ,时,分别作变换 可将根号去掉,上述变换称为三角代换.当然,对不定积分的具体题目,要根据被积函数的具体情况选取适当的方法,选用尽可能简捷的代换,代换也未必是唯一的.例如 当用第一换元法比较简便,而不必用三角代换.92例例16 求解解 为了去掉根式,可令 ,则 ,从而93例例17 求解解 为了同时去掉被积函数中的两个根号,可令 从而94 由上面两个例子看到,当被积函数含有 次根式 时,只须作代换 就可以去掉根号,从而求出积分.有时可采用倒代换 ,可以消去被积函数分母中的变量因子 ,特别对一些用前面方法难以解决的积分有简化的
23、作用,看下面例子.95例例18 求解解 96注注:本例用三角代换也可以积分.从这些例子可以看出,不定积分的积分法是非常灵活的,而换元积分法是技巧性最强的、最为重要的积分法.前面例题中有几个积分是以后会经常遇到的,作为基本公式使用,除基本积分表中的十六个公式外,再添加以下几个常用公式,作为基本积分表的补充(其中 常数).979899例例19 求解解 例例20 求解解 100例例21 求解解 101二、分部积分法二、分部积分法 上一目利用复合函数的求导法则,建立了换元积分公式.现在,我们再利用两个函数乘积的求导法则,来建立一个基本积分方法分部积分法分部积分法.设函数 具有连续导数,由乘积的微分法则
24、有两边取不定积分得:这就是分部积分公式.102例例22 求解解 代入公式(3)得 应当指出,如果令 ,则于是此时变得更复杂此时变得更复杂103 因此,和 的选择要适当,否则往往得不到结果,所以,在应用分部积分法时,恰当选取 和 是关键,一般说来,要考虑下面两点:n(1)要容易求出;n(2)比 易于积分.例例23 求解解 由分部积分公式(3)有104再用一次分部积分法,得 例例24 求解解 由分部积分公式(3)有 105例例25 求解解 于是106 从上面例题看到:(1)对形如的积分,其中 为多项式,应当令 .(2)对形如的积分,则应当分别令 107例例26 求解解 积分 与原积分同一类型,对它
25、再用一次分部积分,得 移项合并,再两端同除以2,得108 有时,使用分部积分后,等式右端会出现与原积分同类型的积分,再用一次分部积分后,出现了原来的积分,这时可用解方程的方法把积分求出来,上面的例子就属于这类型.一般地,积分 ,都可用这个例题的方法求出不定积分.109例例27 求出积分 的递推公式,其中 为正整数.解解 用分部积分法,当 时有 110解出 ,得 这就是所谓的递推公式,由 便可用公式得出 ,从而得出 于是对任意正整数 都可以求出 .111例例28 求解解先用换元法,令 ,有 再进行分部积分,由例2 的结果有112例例29 求解解 113三、几种特殊类型函数的积分三、几种特殊类型函
26、数的积分(1)有理函数的积分有理函数的积分 例例30 求解解 设去分母得 令 得 ;再令 得 ,所以114例例31 求解解被积函数的分母是二次质因式,这类积分可按下面的方法进行积分 115例例32 求解解由于所以116例例33 求解解由于所以 117一般地,对于有理函数:(其中 为非负整数,),若 与 之间没有公因子,当 时称其为真分式真分式;当 时,称其为假分式假分式,用多项式除法总可以用多项式除法总可以将假分式化为一个多项式与一个真分式之和将假分式化为一个多项式与一个真分式之和,而多项式部分是很容易积分的,而对于真分式,由代数学知,多项式多项式 在实数范围内可唯一的分在实数范围内可唯一的分
27、解为一次因式和二次质因式的乘积解为一次因式和二次质因式的乘积,即即 其中 均为非负整数,且118 当 具有上述分解时,真分式 就可以分解成如下部分分式之和:其中 都是待定常数.(4)119 在分解真分式为部分分式之和的过程中,通常用待定系数法来确定 等诸常数.任何有理函数都可分解为若干简单分式之和,而(4)式中简单分式我们都可以积分,因此有理函数的不定积分问题已经解决,并且我们看到,有理函数的原函数都是初等函数.要注意的是,部分分式是求有理函数积分的一般的方法,并不一定是最简捷的方法,所以在求有理函数积分时,应根据具体情况选择简便的方法.120(2)简单三角函数有理式的积分简单三角函数有理式的
28、积分 三角函数的有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算而得到的式子,利用万能变换 ,可以把此类函数的积分化为有理函数的积分.例例34 求解解令 ,则有121 虽然万能变换总可以把三角函数有理式的积分化为有理函数的积分,但往往导致复杂的计算,在一些特殊场合下,三角函数有理式的积分可以简化.例例35 求解解用第一换元法,则更简便122(3)简单无理函数的积分简单无理函数的积分 例例36 求解解为去除根号,令 ,得 123例例37 求解解为去掉根号,令 ,则 所求积分为 124无理函数积分的一个基本思路是去根号,这种思路对其它形式的无理函数也往往奏效.即令变换的目的就是为简化被积函数.125引
29、引 言言 直接利用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分,必须先求出被积函数的原函数,然后将上下限代入并相减得到定积分的值,但在许多情况下,这样运算比较麻烦,为了使定积分的计算更简便,我们把不定积分的两种基本积分方法(换元法与分部积分法)与微分基本公式有机地结合起来,得到定积分的换元法和分部积分法.1265 5 定积分的计算定积分的计算 一、定积分的换元法一、定积分的换元法 定理定理1 1 设函数 在区间 上连续,作代换 ,它满足下列条件127证证因为 在 上连续,从而 在 上可积.且 的原函数存在,设 是 的一个原函数,则 另一方面,在 上连续,因而它在 上可积,且有原函数,又据复合函数求导法则 12
30、8这表明 是 的一个原函数,于是故有显然,换元公式对于 也是适用的.应用换元公式(1)时要注意的是,在换元时首先要同时改变积分的上下限，即换元必换限,而且上下限要严格对应。求出含新变量的原函数后,直接将新的上下限代入计算,这样就使定积分的计算更加简便.129例例1 计算解解令 ,则 且 时 ,时 ,于是130例例2 计算解解令 ,即 且当 时 ,时 ,于是131例例3 计算解解令 ,则 且当 时 ,当 时 ,于是132例例4 计算解解令 ,则 ,且当 时 在这个例子中,可不必写出新变量,此时定积分的上下限就不需要变更,直接有,当 时 ,于是133例例5 计算解解例例6设 在 连续,证明：(1)
31、若 为偶函数,则 ；(2)若 为奇函数,则 134证证由于 对上式右端第一个积分作换元,令 ,得于是(1)若 为偶函数,即 ,则(2)若 为奇函数,即 ,则 135 这个例题的结论对计算对称区间 上的奇函数或偶函数的定积分显然有很大的帮助,例如有(因为 是奇函数，积分区间为对称区间).证证例例7 设 在 连续,且以 为周期,则对任意实数 ,有136对上式右端第三个积分作换元 ,则 于是137解解*例例8 设 在 上连续,则并由此计算 且当 时 ,当 时 ,于是 138所以利用上述结果,即得 139例例9 设,求解解令 ,有140二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法定理定理2 2 设 在
32、闭区间 上具有连续导数,则有 证证 因为 具有连续导数,所以 与 在上都可积,又上式从 到 积分得141简记为例例10 计算解解设 ,则代入分部积分公式,得 142例例11 计算解解所以143例例12 计算解解先用换元法,令 得再用分部积分法,有144*例例13证明定积分公式:证证利用换元 得145下面来计算:由此得递推公式146所以,当 为偶数时 当 为奇数时(对第二个积分作换元 )例147 前面研究的定积分,要求积分区间是有限的,被积函数是有界函数,然而在实际应用中,还会遇到无穷区间上的积分和无界函数在有限区间上的积分.现在将定积分概念在这两方面加以推广,推广后的积分称为反常积分(或称广义
33、积分),相应地把以前所讨论的定积分称为正常积分(或称常义积分,普通积分).引引 言言1486 6 反常积分反常积分 一、无穷区间的反常积分一、无穷区间的反常积分 定义定义1 1 设函数 在区间 上连续,取 ,如果极限 存在,则称此极限值为函数 在区间在区间上的反常积分上的反常积分,记为 ,即 此时也称反常积分反常积分收敛收敛,如果上述极限不存在,则称反常积分发散反常积分发散或不存在不存在.149类似地可以定义 在在上的反常积分上的反常积分及 在在上的反常积分上的反常积分 其中 为任意实数,与 各自独立地分别趋于负无穷大与正无穷大,如果 和 均收敛,则称反常积分反常积分收敛收敛;否则就称反常积反
34、常积分分发散发散.150例例1 计算反常积分解解 注意,式中的极限 是未定式,可用洛必达法则求得.151例例2 计算反常积分解解由(3)式得 152 这个反常积分值的几何意义是当 ;时,虽然图5-10中阴影部分向左向右无限延伸,但其面积却有极限值 ,简单地说,它 是位于曲线 的下方,轴上方的图形面积.有时为了方便,把 记作 ;把 记作 .153例例3 证明反常积分 当 时收敛,当 时发散.证证当 时,当 时,因此,当 时,这反常积分收敛,其值为 ;当 时,这反常积分发散.154二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分 定积分也可推广到被积函数为无界的情形.如果函数 在点 的任一邻域内是无界
35、的,则点 称为函数 的瑕点瑕点(也称为无界间断点).无界函数的反常积分又称为瑕积分瑕积分.存在,则称此极限为函数函数在在上的反常上的反常积分积分,仍然记作 ,即定义定义2 2 设 在 上连续,而在点 的邻域内无界,取 ,如果极限 155 这时也称反常积分反常积分收敛收敛,如果上述极限不存在,就称反常积分反常积分发散发散.设 在 上除点 外连续,且 ,则定义 类似地,设 在 上连续,且 ,则定义156 如果反常积分 及 都收敛,则称反常积分反常积分收敛收敛,否则称反常积分反常积分发散发散.例例4 计算反常积分解解因为 ,所以 为被积函数的无穷间断点,于是按(5)式有157 这个反常积分值的几何意义是:位于曲线 之下,轴之上,直线 与 之间图形的面积(图5-11).158例例5 讨论反常积分 的收敛性.解解被积函数 在积分区间 上除 外连续,且 由于 即反常积分 发散,所以广义积分 发散.159 注意,如果疏忽了 是被积函数的无穷间断点,就会得到以下的错误结果:有时为了方便,记 为 ，记 为 .160例例6 证明反常积分 当 时收敛,当 时发散.证证当 时 ,当 时161 因此,当 时,这个反常积分收敛,其值为 ,当 时,这个反常积分发散.162结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！163