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1、第二节一阶线性微分方程第1页，此课件共25页哦一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程形如形如(1(1)的方程称为的方程称为可分离变量可分离变量的的微分方程微分方程，其中，其中f(x)和和g(y)都是连续函数都是连续函数例例:第2页，此课件共25页哦这叫做这叫做分离变量分离变量。就是原方程的通解就是原方程的通解 上式上式两边积分两边积分，得到，得到 微分方程的解可以用隐函数微分方程的解可以用隐函数的形式表示的形式表示第3页，此课件共25页哦 若存在若存在y0，使使g(y0)=0，一般而言，这种解会在分离变量时丢失，且一般而言，这种解会在分离变量时丢失，且可能不含于通解可能不含于通解中。
2、中。应注意补上这些可能丢失的解应注意补上这些可能丢失的解 这时常数函数这时常数函数y=y0也是方程也是方程(1)(1)的解的解第4页，此课件共25页哦例例1 1解解当当y0时，方程可改写为时，方程可改写为 两边积分，两边积分，所以原方程的通解为所以原方程的通解为（c为任意常数）为任意常数）此外，此外，y=0也是该方程的解也是该方程的解 注：注：解解y=0=0没有包含在通解中。没有包含在通解中。得到得到 第5页，此课件共25页哦例例2 2解解当当y0时，方程可改写为时，方程可改写为 两边积分，两边积分，或或 得到得到 第6页，此课件共25页哦此外此外y=0也是方程的解也是方程的解其中其中c为任意
3、常数为任意常数.(2)若允许若允许c=0，则此解也含于上式中，则此解也含于上式中所以方程的通解为所以方程的通解为 第7页，此课件共25页哦例例3 3解解两两边积边积分分由初由初值值条件得条件得所以方程所以方程满满足所足所给给初初值值条件的特解条件的特解为为:得方程的通解得方程的通解为为 第8页，此课件共25页哦例例解解得方程的通解得方程的通解为为 得得所以方程的通解所以方程的通解为为:求解求解Logistic方程方程两两边积边积分分第9页，此课件共25页哦二、齐次微分方程二、齐次微分方程 形如形如(3)的的微分微分方程称为方程称为齐次齐次微分微分方程方程例如例如:第10页，此课件共25页哦代入
4、代入 分离变量分离变量两两边积边积分，得分，得求解方法：求解方法：便得通解。便得通解。第11页，此课件共25页哦例例5 5解解原方程可以改写成原方程可以改写成 原方程原方程变为变为 当当u00时时分离分离变变量得量得 第12页，此课件共25页哦得得即即 两两边积边积分分当当u0 0时时，y=0=0也是方程的解。也是方程的解。第13页，此课件共25页哦(4)两两边积边积分，得分，得代回原代回原变变量得原方程的通解量得原方程的通解为为此外此外u=0=0时时，y=0(=0(x0)0)也原方程的解也原方程的解.例例5 5解解第14页，此课件共25页哦三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程 形如形如的
5、方程称为的方程称为一阶线性微分方程一阶线性微分方程，称它为称它为一阶一阶齐次齐次线性微分方程线性微分方程，否则，称它为，否则，称它为一阶一阶非齐次线性非齐次线性微分微分方程方程 (5)(5)的求解法：的求解法：常数变易法常数变易法(5)(6)称它为非齐次微分方程称它为非齐次微分方程(5)(5)对应的齐次线性微分方程对应的齐次线性微分方程第15页，此课件共25页哦例例2 2已求得方程已求得方程(6)(6)的通解的通解为为 (7)显然，如果（显然，如果（7 7）中的）中的c c恒保持为常数，则它一定不恒保持为常数，则它一定不是（是（6 6）的解。）的解。(8)的通解，它的导数为的通解，它的导数为为
6、此，我们将为此，我们将c c换成换成x的未知函数的未知函数c(x)，设想方程，设想方程（5 5）有形如）有形如第16页，此课件共25页哦(9)将将(8),(9)(8),(9)代入方程（代入方程（5 5）得得(8)得得第17页，此课件共25页哦两两边积边积分，得分，得将它代回到将它代回到(8)(8)式式(10)得得即得方程即得方程(5)(5)的通解的通解为为 上述这种将对应的齐次线性微分方程通解中的任上述这种将对应的齐次线性微分方程通解中的任意常数意常数c换成未知函数换成未知函数c(x)求非齐次线性微分方程通解求非齐次线性微分方程通解的方法，称为的方法，称为常数变易法常数变易法第18页，此课件共
7、25页哦例例6 6解解两边积分两边积分对应的齐次线性微分方程为对应的齐次线性微分方程为分离变量分离变量得齐次线性微分方程的通解为得齐次线性微分方程的通解为设非齐次线性微分方程的通解为设非齐次线性微分方程的通解为第19页，此课件共25页哦例例6 6设非齐次线性微分方程的通解为设非齐次线性微分方程的通解为代入原非齐次线性微分方程代入原非齐次线性微分方程第20页，此课件共25页哦例例6 6设非齐次线性微分方程的通解为设非齐次线性微分方程的通解为于是非齐次线性微分方程的通解为于是非齐次线性微分方程的通解为第21页，此课件共25页哦例例6 6也可以直接利用通解公式（也可以直接利用通解公式（1010）求解）求解根据公式根据公式(10)(10)第22页，此课件共25页哦所以原方程的通解为所以原方程的通解为第23页，此课件共25页哦例例7 7解解根据公式根据公式(10)(10)这不是线性微分方程。这不是线性微分方程。将方程变形为将方程变形为则它是一个一阶线性微分方程。则它是一个一阶线性微分方程。第24页，此课件共25页哦所以原方程的通解为所以原方程的通解为第25页，此课件共25页哦