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1、第三节一阶线性微分方程第1页，此课件共17页哦定义定义6.2 形如形如例如例如线性的线性的;非线性的非线性的.上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.第三节第三节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程第2页，此课件共17页哦齐次方程的通解为齐次方程的通解为1.线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)第3页，此课件共17页哦2.线性非齐次方程线性非齐次方程讨论讨论两边积分两边积分非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比:解法解法第4页，此课件共17页哦常数变易法常数变易法把齐次
2、方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质实质:未知函数的变量代换未知函数的变量代换.作变换作变换,设设是是 的解的解 第5页，此课件共17页哦积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方对应齐次方程通解程通解非齐次方程特解非齐次方程特解定理定理6.1(一阶非齐次线性方程的解的结构一阶非齐次线性方程的解的结构)一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解与一阶非齐次线性方程的的通解等于对应的齐次线性方程的通解与一阶非齐次线性方程的一个特解之和一个特解之和 第6页，此课件共17页哦常数变易
3、法的求解步骤：常数变易法的求解步骤：要求大家熟练掌握要求大家熟练掌握第7页，此课件共17页哦把所给方程写成把所给方程写成 这是一阶非齐次线性方程这是一阶非齐次线性方程解解先求对应的齐次方程的通解先求对应的齐次方程的通解再用常数变易法求式的通解，再用常数变易法求式的通解，第8页，此课件共17页哦化简得化简得积分可得积分可得即得所给方程的通解即得所给方程的通解第9页，此课件共17页哦这是一阶非齐次线性方程，这是一阶非齐次线性方程，可用公式，可用公式，解解，其通解，其通解为为 其中其中第10页，此课件共17页哦方法一方法一 公式法公式法 解解 由公式得原方程的通解由公式得原方程的通解第11页，此课件
4、共17页哦方法二方法二 常数变易法常数变易法所以通解为所以通解为 化简，得化简，得 积分可得积分可得 由此得到原方程的通解为由此得到原方程的通解为 第12页，此课件共17页哦解解 将将x看作未知函数，看作未知函数，y看作自变量，这是一阶线性微分看作自变量，这是一阶线性微分方程，方程，按一阶非齐次线性方程的解法可求出其通解为按一阶非齐次线性方程的解法可求出其通解为把方程变形为把方程变形为第13页，此课件共17页哦解解第14页，此课件共17页哦排出盐的速率为排出盐的速率为(克克/分分)从而桶内盐的变化率为从而桶内盐的变化率为即即 第15页，此课件共17页哦解解 上面的微分方程，得其通解为上面的微分方程，得其通解为由此得由此得所以所以 这就是这就是30分钟时桶内所存盐水的含盐量分钟时桶内所存盐水的含盐量第16页，此课件共17页哦2.线性非齐次方程线性非齐次方程 小结小结1.齐次方程齐次方程常数变易法：常数变易法：通解为通解为:一阶线性方程一阶线性方程作业：作业：P167 P167 练习题练习题6.36.3 1 1，2 2，3 3第17页，此课件共17页哦