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1、第二节一阶微分方程现在学习的是第1页，共27页一阶微分方程的一般形式为一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y)=0.现在学习的是第2页，共27页一、可分离变量方程一、可分离变量方程一、可分离变量方程一、可分离变量方程例如：形如例如：形如y =f(x)g(y)的微分方程，称为的微分方程，称为可分离变量方程可分离变量方程.(1)分离变量分离变量将方程整理为将方程整理为使方程各边都只含有一个变量使方程各边都只含有一个变量.的形式，的形式，现在学习的是第3页，共27页(2)两边积分两边积分两边同时积分，得两边同时积分，得故方程通解为故方程通解为我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示被积我们约定在微分
2、方程这一章中不定积分式表示被积函数的一个原函数，函数的一个原函数，而把积分所带来的任意常而把积分所带来的任意常数明确地写上数明确地写上.现在学习的是第4页，共27页例例 1 求方程求方程解解分离变量，得分离变量，得两边积分，得两边积分，得这就是所求方程的通解这就是所求方程的通解现在学习的是第5页，共27页例例 2 求方程求方程解解分离变量，得分离变量，得两边积分，得两边积分，得化简得化简得现在学习的是第6页，共27页另外，另外，y=0 也是方程的解，也是方程的解，因此因此 C2 为任意常数为任意常数求解过程可简化为：求解过程可简化为：两边积分得两边积分得即通解为即通解为其中其中 C 为任意常数
3、为任意常数.中中 的的 C2 可可 以以 为为 0，这样，方程的通解是这样，方程的通解是分离变量得分离变量得现在学习的是第7页，共27页例例 3 求求方方程程 dx+xydy=y2dx+ydy 满满足足初初始始条条件件 y(0)=2 的特解的特解.解解将方程整理为将方程整理为分离变量，得分离变量，得两边积分，有两边积分，有现在学习的是第8页，共27页化简，得化简，得即即将初始条件将初始条件 y(0)=2 代入，代入，为所求之通解为所求之通解.得得 C=3.故所求特解为故所求特解为现在学习的是第9页，共27页例例 4解解分离变量得分离变量得即即现在学习的是第10页，共27页两边积分，得两边积分，
4、得经整理，得方程的通解为经整理，得方程的通解为也可写为也可写为现在学习的是第11页，共27页二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程一阶微分方程的下列形式一阶微分方程的下列形式称为一阶线性微分方程，简称称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程一阶线性方程.其中其中P(x)、Q(x)都是自变量的已知连续函数都是自变量的已知连续函数.左边的每项中仅含左边的每项中仅含 y 或或 y，且，且均为均为 y 或或 y 的一次项的一次项.它的特点是：右边它的特点是：右边是已知函数，是已知函数，现在学习的是第12页，共27页称称为为一一阶阶线线性性齐齐次次微微分分方方程程
5、，简简称称线线性性齐齐次次方方程程，0，则称方程，则称方程 为一阶线性非齐次微分方为一阶线性非齐次微分方程，简称程，简称线性非齐次方程线性非齐次方程.通常方程通常方程 称为方程称为方程 所对应的线性齐次方程所对应的线性齐次方程.若若 Q(x)若若 Q(x)0，则方程成为，则方程成为现在学习的是第13页，共27页1 1.一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程是可分离变量方程是可分离变量方程.两边积分，得两边积分，得所以，方程的通解公式为所以，方程的通解公式为分离变量，得分离变量，得现在学习的是第14页，共27页例例
6、 6 求方程求方程 y +(sin x)y=0 的通解的通解.解解所所给给方方程程是是一一阶阶线线性性齐齐次次方方程程，且且 P(x)=sin x，由通解公式即可得到方程的通解为由通解公式即可得到方程的通解为则则现在学习的是第15页，共27页例例 7求方程求方程 (y-2xy)dx+x2dy=0 满足初始条件满足初始条件 y|x=1=e 的特解的特解.解解将所给方程化为如下形式：将所给方程化为如下形式：这是一个线性齐次方程，这是一个线性齐次方程，则则由通解公式得该方程的通解由通解公式得该方程的通解将初始条件将初始条件 y(1)=e 代入通解，代入通解，得得 C=1.故所求特解为故所求特解为现在
7、学习的是第16页，共27页2 2.一阶线性非齐次方程的解法一阶线性非齐次方程的解法一阶线性非齐次方程的解法一阶线性非齐次方程的解法设设 y=C(x)y1 是非齐次方程的解，是非齐次方程的解，将将 y=C(x)y1(其其中中 y1 是是齐齐次次方方程程 y +P(x)y=0 的的解解)及及其其导导数数 y =C (x)y1+C(x)y 1 代入方程代入方程则有则有即即现在学习的是第17页，共27页因因 y1 是对应的线性齐次方程的解，是对应的线性齐次方程的解，因此有因此有其中其中 y1 与与 Q(x)均为已知函数，均为已知函数，代入代入 y=C(x)y1 中，得中，得容易验证，上式给出的函数满足
8、线性非齐次方程容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程 所以可以通过积分求得所以可以通过积分求得现在学习的是第18页，共27页且且含含有有一一个个任任意意常常数数，所所以以它它是是一一阶阶线线性性非非齐齐次次方方程程的通解的通解在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成：于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成：上上述述讨讨论论中中所所用用的的方方法法，是是将将常常数数 C 变变为为待待定定函函数数 C(x)，再通过确定再通过确定 C(x)而求得方程解的方法，称而求得方程解的方法，称为为常数变易法常数变
9、易法.现在学习的是第19页，共27页例例 8 求方程求方程 2y -y=ex 的通解的通解.解解法一法一 使用常数变易法求解使用常数变易法求解将所给的方程改写成下列形式：将所给的方程改写成下列形式：这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方程的通这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方程的通解为解为将将 y 及及 y 代入该方程，得代入该方程，得设设 所所 给给 线线 性性 非非 齐齐 次次 方方 程程 的的 解解 为为现在学习的是第20页，共27页于是，有于是，有因此，原方程的通解为因此，原方程的通解为解法解法二二 运用通解公式求解运用通解公式求解将所给的方程改写成下列形式：将所给的方
10、程改写成下列形式：现在学习的是第21页，共27页则则代入通解公式，得原方程的通解为代入通解公式，得原方程的通解为现在学习的是第22页，共27页例例 9 求解初值问题求解初值问题解解使用常数变易法求解使用常数变易法求解将所给的方程改写成下列形式：将所给的方程改写成下列形式：则与其对应的线性齐次方程则与其对应的线性齐次方程的通解为的通解为现在学习的是第23页，共27页设所给线性非齐次方程的通解为设所给线性非齐次方程的通解为于是，有于是，有将将 y 及及 y 代入该方程，得代入该方程，得现在学习的是第24页，共27页因此，原方程的通解为因此，原方程的通解为将初始条件将初始条件 y(p p)=1 代入，得代入，得 C=p p，所所以以，所所求求的的特解，即初值问题的解为特解，即初值问题的解为现在学习的是第25页，共27页例例 10求方程求方程 y2dx+(x-2xy-y2)dy=0 的通解的通解.解解将原方程改写为将原方程改写为这是一个关于未知函数这是一个关于未知函数 x=x(y)的一阶线性非齐次方程，的一阶线性非齐次方程，它的自由项它的自由项 Q(y)=1.现在学习的是第26页，共27页代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有即所求通解为即所求通解为现在学习的是第27页，共27页