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1、第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一一可分离变量方程可分离变量方程二二齐次方程齐次方程三三一阶线性方程一阶线性方程四四全微分方程全微分方程1 1第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程一阶微分方程的一般形式一阶微分方程的一般形式也可表示为也可表示为一阶微分方程初始值问题一阶微分方程初始值问题2 2第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分
2、方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程一一 可变量分离方程可变量分离方程转化转化 解分离变量方程解分离变量方程 可分离变量方程可分离变量方程 一般形式一般形式或或3 3第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程分离变量方程的解法分离变量方程的解法:设设 y (x)是方程是方程的解的解,两边积分两边积分,得得 则有恒等式则有恒等式 当当G(y)与与F(x)可微且可微且 说明由说明由确定的隐函数确定的隐函数 y(x)是是的解的解.则有则有称称为方程为方程的的
3、隐式通解隐式通解,或或通积分通积分.同样同样,当当=f(x)0 时时,上述过程可逆上述过程可逆,由由确定的隐函数确定的隐函数 x(y)也也是是的解的解.4 4第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例1.求微分方程求微分方程的通解的通解.解解:分离变量得分离变量得两边积分两边积分得得即即(C 为任意常数为任意常数)或或说明说明:在求解过程中在求解过程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解变形变形,因此可能增、因此可能增、减解减解.(此式含分离变量时丢失的解此式含分离变量时丢失的解 y=0)5
4、5第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例2.解初值问题解初值问题解解:分离变量得分离变量得两边积分得两边积分得即即由初始条件得由初始条件得 C=1,(C 为任意常数为任意常数)故所求特解为故所求特解为6 6第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例3 3 求解微分方程求解微分方程解解:分离变量得分离变量得两边积分得两边积分得7 7第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方
5、程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例4.子的含量子的含量 M 成正比成正比,求在求在衰变过程中铀含量衰变过程中铀含量 M(t)随时间随时间 t 的变化规律的变化规律.解解:根据题意根据题意,有有(初始条件初始条件)对方程分离变量对方程分离变量,即即利用初始条件利用初始条件,得得故所求铀的变化规律为故所求铀的变化规律为然后积分然后积分:已知已知 t=0 时铀的含量为时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原8 8第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十
6、十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例5.成正比成正比,求求解解:根据牛顿第二定律列方程根据牛顿第二定律列方程初始条件为初始条件为对方程分离变量对方程分离变量,然后积分然后积分:得得利用初始条件利用初始条件,得得代入上式后化简代入上式后化简,得特解得特解并设降落伞离开跳伞塔时并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系降落伞下落速度与时间的函数关系.t 足够大时足够大时9 9第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十
7、十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程二二 齐次方程齐次方程形如形如的方程叫做的方程叫做齐次方程齐次方程.令令代入原方程得代入原方程得两边积分两边积分,得得积分后再用积分后再用代替代替 u,便得原方程的通解便得原方程的通解.解法解法:分离变量分离变量:1 齐次方程齐次方程1010第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例6 解微分方程解微分方程解解:代入原方程得代入原方程得分离变量分离变量两边积分两边积分得得故原方程的通解为故原方程的通解为(当当 C=0 时时,y=0 也是方程的
8、解也是方程的解)(C 为任意常数为任意常数)1111第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例7.解微分方程解微分方程解解:则有则有分离变量分离变量积分得积分得代回原变量得通解代回原变量得通解即即说明说明:显然显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程的解也是原方程的解,但在但在(C 为任意常数为任意常数)求解过程中丢失了求解过程中丢失了.1212第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程(h,k
9、为待为待 2 可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程作变换作变换原方程化为原方程化为 令令,解出解出 h,k(齐次方程齐次方程)定常数定常数),1313第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程求出其解后求出其解后,即得原方即得原方 程的解程的解.原方程可化为原方程可化为 令令(可分离变量方程可分离变量方程)注注:上述方法可适用于下述更一般的方程上述方法可适用于下述更一般的方程 1414第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微
10、微微微分分分分方方方方程程程程例例8.求解求解解解:令令得得再令再令 YX u,得得令令积分得积分得即即1515第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程得得 C=1,故所求特解为故所求特解为代回代回代回代回1616第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例9 求解求解解解:令令代入方程得代入方程得分离变量分离变量:积分得积分得代回原变量代回原变量,得原方程的通解得原方程的通解:1717第二节第二
11、节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例10.求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:解解:令令 则则故有故有即即解得解得(C 为任意常数为任意常数)所求通解所求通解:1818第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程解解分离变量法得分离变量法得所求通解为所求通解为1919第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方
12、程程程程三三 一阶线性微分方程一阶线性微分方程1 一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式一阶线性微分方程标准形式:若若 Q(x)0,若若 Q(x)0,称为称为非齐次方程非齐次方程.称为称为齐次方程齐次方程;1).解齐次方程解齐次方程分离变量分离变量两边积分得两边积分得故通解为故通解为2020第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程对应齐次方程通解对应齐次方程通解齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解2.解非齐次方程解非齐次方程用用常数变易法常数变易法:则则故原方程
13、的通解故原方程的通解即即即即作变换作变换两端积分得两端积分得2121第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程解法一解法一常数变易法常数变易法对应的齐次方程为对应的齐次方程为分离变量得分离变量得两边积分两边积分2222第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程解法二解法二公式法公式法方程为方程为2323第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章
14、章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例12 求解微分方程求解微分方程解解方程化为方程化为不易求解不易求解即即这是关于未知函数这是关于未知函数的线性方程。的线性方程。方法一方法一常数变易法，常数变易法，相应的齐次方程为相应的齐次方程为即即令令则则代入方程得代入方程得即即2424第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程原方程的通解为原方程的通解为方法二方法二 公式法公式法原方程为原方程为这里这里2525第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二
15、二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例134 有连接有连接A(0,1)、B(1,0)两点的一条凸曲线，它两点的一条凸曲线，它位于位于AB的上方，的上方，P(x,y)为该凸曲线上的任意一点为该凸曲线上的任意一点,已知已知该曲线弧与该曲线弧与AP之间的面积为之间的面积为x3，求该曲线的方程，求该曲线的方程解解 设所求曲线方程为设所求曲线方程为根据题意得根据题意得两端对两端对x求导得求导得即即2626第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程这是一阶线性微分方程，利用公式得通解这是一阶线性
16、微分方程，利用公式得通解.2727第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程2 伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程 伯努利方程伯努利方程的标准形式的标准形式:令令求出此方程通解后求出此方程通解后,除方程两边除方程两边,得得换回原变量即得伯努利方程的通解换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程线性方程)2828第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程解解例例14142929第二节第
17、二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程四四 全微分方程全微分方程1 全微分方程全微分方程若一个一阶微分方程若一个一阶微分方程的左的左端恰好是某个函数端恰好是某个函数全微分，全微分，即即则称这个微分方程为则称这个微分方程为全微分方程全微分方程（又称其为（又称其为恰当方程恰当方程）判别判别:P,Q 在某单连通域在某单连通域D内有连续一阶偏导数内有连续一阶偏导数,为全微分方程为全微分方程 则则3030第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章
18、微微微微分分分分方方方方程程程程求解步骤求解步骤:方法方法1 凑微分法凑微分法;方法方法2 利用积分与路径无关的条件利用积分与路径无关的条件.1.求原函数求原函数 u(x,y)2.由由 d u=0 知通解为知通解为 u(x,y)=C.3131第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例15 求解求解解解1:因为因为故这是全微分方程故这是全微分方程.则有则有因此方程的通解为因此方程的通解为3232第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章
19、章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例16 求解求解解法解法2凑微分法凑微分法因此方程的通解为因此方程的通解为3333第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例17.求解求解解解:这是一个全微分方程这是一个全微分方程.用凑微分法求通解用凑微分法求通解.将方程改写为将方程改写为即即故原方程的通解为故原方程的通解为或或3434第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程或取或取则有则有故原方程的通解
20、为故原方程的通解为3535第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程2 积分因子法积分因子法思考思考:如何解方程如何解方程这不是一个全微分方程这不是一个全微分方程,就化成例就化成例17 的方程的方程.使使为全微分方程为全微分方程,在简单情况下在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得可凭观察和经验根据微分倒推式得到到为原方程的为原方程的积分因子积分因子.但若在方程两边同乘但若在方程两边同乘若存在连续可微函数若存在连续可微函数 积分因子积分因子.3636第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微
21、分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例18 求解求解解解:分项组合得分项组合得即即选择积分因子选择积分因子同乘方程两边同乘方程两边,得得即即因此通解为因此通解为即即因因 x=0 也是方程的解也是方程的解,故故 C 为任意常数为任意常数.3737第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程最后注意，最后注意，积分因子不是唯一的。积分因子不是唯一的。例如方程例如方程是其积分因子是其积分因子3838第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程备用题备用题 已知曲线积分已知曲线积分与路径无关与路径无关,其其中中求由求由确定的隐函数确定的隐函数解解:因积分与路径无关因积分与路径无关,故有故有即即因此有因此有3939