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1、3.23.2立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 空间角空间角1、两条直线的夹角：、两条直线的夹角：lmlm所以 与 所成角的余弦值为解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系 ,如图所示，设 则：所以：例：例：2、直线与平面的夹角：、直线与平面的夹角：l例：例：lDCBA3、二面角：、二面角：方向向量法：方向向量法：二面角的范围：ll法向量法法向量法法向量的方向：法向量的方向：一进一出一进一出，二面角等于法向量夹角；，二面角等于法向量夹角；同进同出同进同出，二面角等于法向量夹角的补角，二面角等于法向量夹角的补角设平面设平面例：例：1.三棱锥三棱锥P-ABC,PA面面ABC,PA=AB=AC
2、,E为为PC中点中点,则则PA与与BE所成角的所成角的余弦余弦值为值为_.2.直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1中中,A1A=2,AB=AC=1,则则AC1与截面与截面BB1CC1所成所成角的余弦角的余弦值为值为_.3.正方体正方体中中ABCD-A1B1C1D1中中E为为A1D1的的中点中点,则则二面角二面角E-BC-A的大小是的大小是_ 利用利用“方向向量方向向量”与与“法向量法向量”来解决来解决距离距离问题问题.第三问题：第三问题：1、点与点的距离、点与点的距离：2、点与直线的距离、点与直线的距离：A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求中点，求:点点F到直线到直线AE的距离的距离
3、.例：例：在正方体在正方体中，中，E、F分分别别是是BB1,1,，3、点到平面的距离、点到平面的距离：3、点到平面的距离、点到平面的距离：DABCGFExyzAPDCBMNabCDABCD为为a,b的公垂线的公垂线,A，B分别在直线分别在直线a,b上上已知已知a,b是异面直线是异面直线,4.异面直线间的距离异面直线间的距离 zxyABCC1即即取x=1,则y=-1,z=1,所以EA1B15.其它距离问题：其它距离问题：（1）平行线的距离）平行线的距离(转化为点到直线的距离）转化为点到直线的距离）（2）直线与平面的距离（转化为点到平面的距离）直线与平面的距离（转化为点到平面的距离）（3）平面与平
4、面的距离（转化为点到平面的距离）平面与平面的距离（转化为点到平面的距离）练习练习1：如图，四面体如图，四面体ABCD中，中，O、E分别是分别是BD、BC的中点，的中点，（I）求证：）求证：AO 平面平面BCD；（II）求异面直线）求异面直线AB与与CD所成角的大小；所成角的大小；（III）求点）求点E到平面到平面ACD的距离的距离.解：（解：（I）略）略 （II）解：以）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，为原点，如图建立空间直角坐标系，所以异面直所以异面直线线AB与与CD所成角的所成角的余弦余弦值为值为（III）解：）解：设设平面平面ACD的法向量的法向量为为则则令令得得是平面是平面AC
5、D的一个法向量，又的一个法向量，又所以点所以点E到平面到平面ACD的距离的距离如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2.求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的角的余弦值所成的角的余弦值;(2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值;(3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值.OABCSxyz练习练习2 2：OABCSxyz如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2.求：求：(1)异面直线异面直线S
6、A和和OB所成的所成的 角的余弦值角的余弦值;OABCSxyz如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2.求：求：(2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值;所以所以OS与面与面SAB所成角的余弦值为所成角的余弦值为OABCSxyz所以二面角所以二面角BASO的余弦值为的余弦值为如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2.求：求：(3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值.练习练习3：如图所示，在四棱锥如图
7、所示，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PD 底面底面ABCD，PD=DC，E是是PC的的中点中点.(1)证明：证明：PA/平面平面EDB；(2)求求EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值所成的角的正切值.ABCDPEGxyzABCDPEGxyz(1)证明：设正方形边长为证明：设正方形边长为1，则，则PD=DC=DA=1.连连AC、BD交于交于G点点(2)求求EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。ABCDPEGxyz所以所以EB与底面与底面ABCD所成的角的正弦值为所成的角的正弦值为所以所以EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值为所成的角的正切值为练习练习5：如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD 底面底面ABCD，PD=DC,E是是PC的中点，的中点，作作EF PB交交PB于点于点F.(1)求证：求证：PA/平面平面EDB(2)求证：求证：PB平面平面EFD(3)求二面角求二面角C-PB-D的大小的大小.ABCDP PE EF F