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1、3.23.2立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 空间角空间角1、两条直线的夹角：、两条直线的夹角：lamlamb 所以 与 所成角的余弦值为A1AB1BC1C1D1Fxyz解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系 ,如图所示，设 则： Cxyz11CC(1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0,1),( ,1)22 2FD所以：11(,0,1),2 AF111( ,1)22 BD11cos, AF BD1111| AF BDAFBD113041053421BD1AF3010.,111111111111所成的角的余弦值和求，、的中点、取中，在直三棱柱AFBDFDCABACC
2、CABCACBCCBAABC例：例：直直线线l与与平平面面 所所成成的的角角为为( (02 ) ), ,sina ua u ； 2、直线与平面的夹角：、直线与平面的夹角： ua ula ABCD1A1B1C1DMNxyz.24, 851111111111的夹角的正弦值与平面求上，在线段，上，在，中，在长方体AMNADANDADANMBCBMAAADABDCBAABCD例：例：lcoscos,AB CDAB CDAB CD DCBA3、二面角：、二面角：方向向量法：方向向量法：二面角的范围：0, ll法向量法法向量法 1n 1n 2n 2n 12n n ，12n n ，12n n ，12n n
3、，cos12cos, n ncos12cos, n n法向量的方向：法向量的方向：一进一出一进一出，二面角等于法向量夹角；，二面角等于法向量夹角；同进同出同进同出，二面角等于法向量夹角的补角，二面角等于法向量夹角的补角ABCDSxzyA- xyz解： 建立空直角坐系如所示,A( 0, 0, 0) ,C ( -1, 1, 0) ,1,0),2D ( 0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易知面的法向量11(1,0),(0, 1)22 CDSD2( , , ), SCDnx y z的法向量22, nCD nSD由得：设平面设平面0202yxyz22yxyz2(1,2,1) n任取1212
4、126cos,3| n nn nnn63即所求二面角得余弦值是.,211,所成二面角的余弦值与面求面，平面是直角梯形，如图所示，SBASCDADBCABSAABCDSABCABABCD例：例：1. 三棱锥三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC, ,E为为PC中点中点 ,则则PA与与BE所成角的所成角的余弦值为余弦值为_ . 2. 直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1中中, A1A=2, AB=AC=1, 则则AC1与截面与截面BB1CC1所成所成角的余弦值为角的余弦值为_ . 3.正方体正方体中中ABCD-A1B1C1D1中中E为为A1D1的的中点中点, 则二面角则二面角E-BC-A的
5、大小是的大小是_090BAC090BAC6631 01 0045 利用利用“方向向量方向向量”与与“法向量法向量”来解决来解决距离距离问题问题.第三问题：第三问题：1、点与点的距离、点与点的距离：221221221)()()(zzyyxxAB2、点与直线的距离、点与直线的距离：A P O ),cos(sinaAPAPd先求alA1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求中点，求:点点F到直线到直线AE的距离的距离.1111DCBAABCD 例：例：在正方体在正方体中，中，E、F分别是分别是BB1,1,， n A P O 3、点到平面的距离、点到平面的距离： n A P O 3、点到平面的距离
6、、点到平面的距离：nnPAdDABCGFExyz(2, 2,0),( 2, 4,2),EFEG nEF nEG ，|BE|2 11.11ndn 2202420 xyxyZ B(2,0,0)E ),3 , 1 , 1 (nAPDCBMN nabCDABCD为为a,b的公垂线的公垂线,A，B分别在直线分别在直线a,b上上已知已知a,b是异面直线是异面直线,4. 异面直线间的距离异面直线间的距离 的方向向量，是直线CDnnABnCDd111101.4,2,90 ,ABCABCAAABCACBCBCAEABCEAB例已知：直三棱柱的侧棱底面中为的中点。求与的距离。zxyABCC1).4 , 2 , 0
7、(),0 , 0 , 2(),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0(,1BAECxyzC则解：如图建立坐标系),4 , 2 , 2(),0 , 1 , 1 (1BAEC则的公垂线的方向向量为设).,(,1zyxnBAEC001BAnECn即即04220zyxyx取x=1,则y=-1,z=1,所以) 1 , 1, 1 ( n).0,0, 2(,ACAC在两直线上各取点.332|1nACndBAEC的距离与EA1B15. 其它距离问题：其它距离问题：（1）平行线的距离）平行线的距离(转化为点到直线的距离）转化为点到直线的距离）（2）直线与平面的距离（转化为点到平面的距离）直线与平面的距离（
8、转化为点到平面的距离）（3）平面与平面的距离（转化为点到平面的距离）平面与平面的距离（转化为点到平面的距离）练习练习1：如图，四面体如图，四面体ABCD中，中，O、E分别是分别是BD、BC的中点，的中点，（I）求证：）求证：AO平面平面BCD；（II）求异面直线）求异面直线AB与与CD所成角的大小；所成角的大小；（III）求点）求点E到平面到平面ACD的距离的距离.2BDCDCBCA2 ADAB C A D B O E x C A B O D y z E解：（解：（I）略）略 （II）解：以）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，为原点，如图建立空间直角坐标系，(1,0,0),( 1,0,0
9、),BD 则13(0, 3,0), (0,0,1),( ,0),( 1,0,1),( 1,3,0).22CAEBACD .2cos,4BACDBA CDBA CD 所以异面直线所以异面直线AB与与CD所成角的所成角的余弦值为余弦值为 2.4（III）解：设平面）解：设平面ACD的法向量为的法向量为( , , ),nx y z则则.( , , ).( 1,0, 1)0,.( , , ).(0, 3, 1)0,n ADx y zn ACx y z 0,30.xzyz1,y (3,1, 3)n 13(,0),22EC 令令得得是平面是平面ACD的一个法向量，又的一个法向量，又.321.77EC nh
10、n 所以点所以点E到平面到平面ACD的距离的距离 x C A B O D y z E如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中， OABC,AOC=90，SO面面OABC， 且且OS=OC=BC=1，OA=2.求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的角的余弦值所成的角的余弦值; (2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值; (3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值.OABCSxyz练习练习2 2： OABCSxyz(1)OAOC OS 解：以， ， 为正交基底建立空间直角坐标系如图。(0 0 0)(0 01)(2 0 0)(110)OSAB则， ， ， ， ，(
11、2 01)(110)SAOB ， ， ， ，20010cos552SAOB ，如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中， OABC,AOC=90，SO面面OABC， 且且OS=OC=BC=1，OA=2.求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的所成的 角的余弦值角的余弦值; OABCSxyz如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中， OABC,AOC=90，SO面面OABC， 且且OS=OC=BC=1，OA=2.求：求：(2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值 ; (2)(2 01)(111)SASB解：， ， ， ，()SABnxyz设平面的一个
12、法向量为， ，201120 xzxyzxyz 取，则，(112)(0 01)SABnOS 故平面的一个法向量为， ，又， ，0026cos316nOS ，所以所以OS与面与面SAB所成角的余弦值为所成角的余弦值为33OABCSxyz(112)SABn 解：由(2)知平面的一个法向量为， ，OCSAOOCSAO又由平面知是平面的法向量(010)OC 且， ，0 1 06cos66 1n OC ，所以二面角所以二面角BASO的余弦值为的余弦值为66如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中， OABC,AOC=90，SO面面OABC， 且且OS=OC=BC=1，OA=2.求：求：(3)
13、二面角二面角BASO的余弦值的余弦值.练习练习3：如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PD 底面底面ABCD，PD=DC，E是是PC的的中点中点.(1)证明：证明：PA/平面平面EDB；(2)求求EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值所成的角的正切值.ABCDPEGxyzABCDPEGxyz(1)证明：设正方形边长为证明：设正方形边长为1，则，则PD=DC=DA=1.连连AC、BD交于交于G点点DADC DP 以， ， 为正交基底建立空间直角坐标系。如图所示。则(0 0 0)(0 01)(10 0)(010)(110)DPACB
14、， ， ， ， ， ，(101)PA ， ，1 1(0)2 2EPCE又 为中点，点坐标为 ，1 1(0)2 2GBDG 为中点，点坐标为，11(0)22EG ， ，2/PAEGPAEGPAEGPAEG 可得。因为与不共线，所以/PAEDBEGEDBPAEDB又平面，平面平面(2)求求EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。ABCDPEGxyz(1)(0 0 0)(0 01)1 1(110)(0)2 2DPBE由知， ， ， ， ，PDABCDPDABCD 解：因为平面，所以是平面的法向量。11(0 01)(1)22PDEB ， ， ，10062cos6312PD EB ，所以所以EB与底面与底面ABCD所成的角的正弦值为所成的角的正弦值为66所以所以EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值为所成的角的正切值为55练习练习5： 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC,E是是PC的中的中点，作点，作EFPB交交PB于点于点F.(1)求证：求证：PA/平面平面EDB(2)求证：求证：PB平面平面EFD(3)求二面角求二面角C-PB-D的大小的大小.ABCDP PE EF Fzxy