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1、相应的函数极限存在的夹逼准相应的函数极限存在的夹逼准则则准则准则I且且 利用函数极限与数列极限的关系及数列极限存利用函数极限与数列极限的关系及数列极限存在的夹逼准则证明在的夹逼准则证明.第1页/共14页圆扇形圆扇形AOB的面积的面积二、二、第一个重要极第一个重要极限限 证证:当当即即时，时，显然有显然有AOB 的面积的面积AOD的面积的面积B单位圆单位圆第2页/共14页例例1.解解:例例2.解解:则则因此因此原式原式第3页/共14页例例3.解解:原式原式=例例4.已知圆内接正已知圆内接正 n 边形面积为边形面积为证明证明:证证:注注:计算中注意利用计算中注意利用第4页/共14页三、单调有界数列
2、的收敛准三、单调有界数列的收敛准则则准则准则II：单调有界数列必有极限。：单调有界数列必有极限。相应的单调有界函数的收敛准则相应的单调有界函数的收敛准则准则准则II：设函数：设函数 f(x)在在 x0 的某个左邻域内单调并且的某个左邻域内单调并且有界，则函数有界，则函数 f(x)在在 x0的左极限的左极限 f(x0-)必存在。必存在。若数列若数列xn满足满足则称数列则称数列xn单调增加；单调增加；若数列若数列 xn 满足满足则称数列则称数列xn单调减少；单调增加和单调减少的数列单调减少；单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。统称为单调数列。第5页/共14页四、四、第二个重要极第二个重要极限限
3、证明思路证明思路:1.首先证明数列首先证明数列xn是单调有界数列从而极限存在，是单调有界数列从而极限存在，其中其中,2.其次利用夹逼准则证明其次利用夹逼准则证明3.再用变量代换法证明再用变量代换法证明4.联合上面两个结论可得联合上面两个结论可得第6页/共14页先证：先证：第一步，证明数列第一步，证明数列xn是单调增加的。是单调增加的。易见易见,第7页/共14页第二步第二步,证明数列证明数列xn有有界界.从而从而,其中我们用了不等式其中我们用了不等式(数学归纳法数学归纳法)于是于是,由单调增加和有界性知数列由单调增加和有界性知数列xn 极限存在极限存在,记记第8页/共14页下证下证:函数极限函数
4、极限一方面一方面,当当 x 0 时时,设设则则第9页/共14页则则从而有从而有故故时时,另一方面另一方面,当当令令第10页/共14页例例5.解解:则则另证另证:则则 原式原式利用利用第11页/共14页小结小结 1.数列极限存在的夹逼准则数列极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则 2.单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限在点在点 x0 的某左的某左(右右)邻域内单调且有界的邻域内单调且有界的函数有左函数有左(右右)极限极限3.两个重要极限两个重要极限或或(形如形如1 的情形要注意用此极限并的情形要注意用此极限并“凑凑”)第12页/共14页课堂练习课堂练习求极限求极限:第13页/共14页感谢您的欣赏！第14页/共14页