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1、关于抛物线的简单几何性质第一页，讲稿共十九页哦定义：在平面定义：在平面内内,与一个定点与一个定点F和一条定直线和一条定直线l(l不经过点不经过点F)的的距离相等距离相等的点的的点的轨迹叫轨迹叫抛物线抛物线.抛物线的定义及标准方程抛物线的定义及标准方程准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程图图 形形x xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yly y2 2=-2px(p0)x x2=2py=2py(p0)(p0)y y2 2=2px(p0)(p0)x2=-2py(p0)一、温故知新一、温故知新第二页，讲稿共十九页哦范围范围1、由抛物线由抛物线y2=
2、2px（p0）有有所以抛物线的范围为所以抛物线的范围为二、探索新知二、探索新知如何研究抛物线如何研究抛物线y2=2px（p0）的几何性质）的几何性质?抛物线在抛物线在y轴的右侧，当轴的右侧，当x的值增大时，的值增大时，y也增也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。第三页，讲稿共十九页哦对称性对称性2、关于关于x轴轴对称对称即点即点(x,-y)也在抛物线上也在抛物线上,故故 抛物线抛物线y2=2px(p0)关于关于x轴轴对称对称.则则 (-y)2=2px若点若点(x,y)在抛物线上在抛物线上,即满足即满足y2=2px，第四页，讲稿共十九页哦顶点顶点
3、3、定义：定义：抛物线与它抛物线与它的对称轴的交点叫做抛的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。物线的顶点。y2=2px (p0)中，中，令令y=0,则则x=0.即：抛物线即：抛物线y2=2px (p0)的的顶点（顶点（0，0）.只有一个只有一个注注:这与椭圆有四个顶点这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。双曲线有两个顶点不同。第五页，讲稿共十九页哦离心率离心率4、P(x,y)抛物线上的点与抛物线上的点与焦点的距离和它到准焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做线的距离之比，叫做抛抛物线的离心率。物线的离心率。由定义知，由定义知，抛物线抛物线y2=2px (p0)的离心率为的离心率为e=1.下面请大家
4、得出其余三种标准方程抛物线下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。的几何性质。第六页，讲稿共十九页哦（二）归纳：抛物线（二）归纳：抛物线的的几何性质几何性质图图 形形方程方程焦点焦点准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）x0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴轴y轴轴1第七页，讲稿共十九页哦特点：特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延虽然它可以无限延伸伸,但它没有渐近线但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对
5、称轴抛物线只有一条对称轴,没有没有对称中心对称中心;3.抛物线只有一个顶点、抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率是确定的,为为1;思考思考：抛物线标准方程中的：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响.P(x,y)P越大越大,开口越开阔开口越开阔第八页，讲稿共十九页哦y2=2pxxyoFlAB过焦点且垂直于对称轴的直线被过焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段抛物线截得的线段AB叫做抛物线叫做抛物线的通径，的通径，长度为长度为2pP越大，开口越阔越大，开口越阔补充补充（1）通径：）通径：（标准方程中（标准方程中2
6、p的几何意义）的几何意义）利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通径的两个、通径的两个端点端点可较准确画出反映抛可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。物线基本特征的草图。第九页，讲稿共十九页哦补充补充（1）通径：）通径：|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：2PP越大越大,开口越开阔开口越开阔（2）焦半径：）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的抛物线的焦半径焦半径。焦半径公式：焦半径公式：（标准方程中（标准方程中2p的几何意义）的几何意义）第十页，讲稿共十九页哦总结总结抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无抛物线只位于半个坐标平面
7、内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为抛物线的通径为2P,2p越大，抛物线的张口越大越大，抛物线的张口越大.1、范围：、范围：2、对称性：、对称性：3、顶点：、顶点：4、离心率：、离心率：5、通径：、通径：第十一页，讲稿共十九页哦因为抛物线关于因为抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标原轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点点，并且经过点M M（，），
8、（，），解解:所以设方程为：所以设方程为：又因为点又因为点M M在抛物线上在抛物线上：所以：所以：因此所求抛物线标准方程为：因此所求抛物线标准方程为：例例：已知抛物线关于：已知抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点原点，并且经过点M M（，），求它的标准方程（，），求它的标准方程.三、典例精析三、典例精析坐标轴坐标轴当焦点在当焦点在x(y)轴上轴上,开口方向不定时开口方向不定时,设为设为y2=2mx(m 0)(x2=2my(m0),可避免讨论可避免讨论第十二页，讲稿共十九页哦练习：练习：1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为
9、x轴，焦点在直线轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是上，那么抛物线通径长是 .2、已知点、已知点A（-2，3）与抛物线）与抛物线 的焦点的距离是的焦点的距离是5，则，则P=。4第十三页，讲稿共十九页哦例例2、斜率为、斜率为1的直线的直线 经过抛物线经过抛物线 的的焦点焦点F，且与抛物线相交于，且与抛物线相交于A，B两点，求线段两点，求线段AB的长。的长。第十四页，讲稿共十九页哦xyOFABBA第十五页，讲稿共十九页哦xyOFABBA第十六页，讲稿共十九页哦抛物线的焦点弦的特征抛物线的焦点弦的特征1、已知、已知AB是抛物线是抛物线y22px的任意一条焦点弦，且的任意一条焦点弦
10、，且A（x1，y1）、）、B（x2，y2）1）求证：）求证：y1y2P2，x1x2p2/4。2）设）设为直线为直线AB的倾斜角，求证：当的倾斜角，求证：当90o时，取得时，取得AB的最小值的最小值2p。3）若弦）若弦AB过焦点，求证：以过焦点，求证：以AB为直径的圆与准线相切。为直径的圆与准线相切。第十七页，讲稿共十九页哦四、归纳总结四、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为抛物线的通径为2P,2p越大，抛物线的张口越越大，抛物线的张口越大大.1、范围：、范围：2、对称性：、对称性：3、顶点：、顶点：4、离心率：、离心率：5、通径：、通径：第十八页，讲稿共十九页哦感感谢谢大大家家观观看看第十九页，讲稿共十九页哦