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1、关于导数微分及其应关于导数微分及其应用用05.04.20231第一张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.20232 微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。的发展。微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子的竭法。这是微积
2、分的先驱，而我国庄子的天下篇天下篇中也有中也有“一尺之锤，日取其半，万世不竭一尺之锤，日取其半，万世不竭”的极限思想，公元的极限思想，公元263年，刘徽为年，刘徽为九间算术九间算术作注时提出了作注时提出了“割圆术割圆术”，用正多，用正多边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家阿基米德在数学家阿基米德在抛物线求积法抛物线求积法中用究竭法求出抛物线中用究竭法求出抛物线弓形的面积，没有用极限，是弓形的面积，没有用极限，是“有限有限”开工的穷竭法。开工的穷竭
3、法。微积分的创始人是微积分的创始人是牛顿和莱布尼茨牛顿和莱布尼茨。解析几何为微积分的创立奠定了基础解析几何为微积分的创立奠定了基础。第二张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.20233第一节第一节第一节第一节 函函函函 数数数数1.区间区间一、预备知识一、预备知识设a，b是两个实数，且ab开区间开区间 ：满足不等式 axb一切实数的全 体。闭区间闭区间 ：满足不等式 axb的一切实数的 全体。半开区间半开区间 ：满足不等式 axb的一切实数的 全体。：a x b第三张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.20234表示全体实数，或写成 x；表示大于a的全体实数
4、，或写成a x+；表示小于a的全体实数，或写成 x a；表示 a x+；表示N的一切的一切an，有不等式，有不等式|an a|称数列称数列an以有限数以有限数a为极限，常数为极限，常数a叫作数列叫作数列 an 当当n时的极限。或称数列时的极限。或称数列 an 收敛到收敛到a，记作，记作第十六张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202317(2)、单调数列、单调数列单调增加数列和单调减少数列统称单调数列。(3)、有界数列、有界数列对于数列an，如果存在正数M，使得数列中的每一项an(n=1,2,3,)都满足不等式-M an0，总存在一个，总存在一个0，0|x-x0|时，有时，
5、有|f(x)-A|0，作直线 y=A+，y=A-,这两条直线形成一横条区域.对于这个,存在点x0的一个邻域(x0-，x0+)，当x(x0-，x0+)但xx0时，有不等式：点（x,f(x)）落在上面所做的一横条区域内。第二十五张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202326第二十六张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202327第二十七张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202328、当当x时函数时函数f(x)的极限的极限第二十八张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202329解解第二十九张，PPT共一百零一页，创作
6、于2022年6月05.04.202330、极限的四则运算法则极限的四则运算法则当当x时，性质也成立。时，性质也成立。第三十张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202331数列极限四则运算也有类似的定理:第三十一张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202332第三十二张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202333所以 解解 注意到第三十三张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202334分母的极限不为零。解解第三十四张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.2023354、两个重要、两个重要极限极限第三
7、十五张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202336解解因此第三十六张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202337解解第三十七张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202338解解先用x去除分母及分子，然后取极限.第三十八张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202339解解第三十九张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.2023405 5、无穷小量和无穷大量、无穷小量和无穷大量、无穷小量、无穷小量例如例如一个函数一个函数 当当 时以时以0 0为极限，称该函数为极限，称该函数为当为当 时的无穷小量时的
8、无穷小量。第四十张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202341.定理定理无穷小量阶无穷小量阶 第四十一张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202342第四十二张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202343下面是几个常用的等价无穷小下面是几个常用的等价无穷小：第四十三张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202344、无穷大量、无穷大量第四十四张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202345第四十五张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202346第三节第三节第三节第三节 连连
9、连连 续续续续1 1、连续的定义、连续的定义第四十六张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202347第四十七张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202348区间连续的定义区间连续的定义第四十八张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202349连续函数的图象是一条连续的曲线。连续函数的图象是一条连续的曲线。第四十九张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202350第五十张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.2023512、初等函数的连续性、初等函数的连续性定理定理 基本初等函数在定义域内都连续。定理定理
10、 初等函数在定义域上的区间上连续。第五十一张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202352解解第五十二张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.2023533 3、闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质有有界界性性定定理理 闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数在在此此区区间间上上一一定有界。定有界。第五十三张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202354最最大大值值和和最最小小值值定定理理 在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数在在此此区区间间上上一定有最大值和最小值一定有最大值和最小值即：即：第五十四张，PPT共一百零一页，创作于
11、2022年6月05.04.202355第五十五张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202356第五十六张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202357证明证明 第五十七张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202358如果记f(x)在闭区间a,b上的最的大值为M，最小值为m,且mcM，那么存在一点a,b使得 f()=c。第五十八张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202359第五十九张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202360第四节第四节第四节第四节 函数的导数函数的导数函数的导数函数的导数一
12、、导数的概念导数的概念 两个例子(1)、切线问题设A点是曲线c上的一点。如何确定曲线c在A点的切线AT呢？第六十张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202361第六十一张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202362(2)、瞬时速度、瞬时速度 设物体A沿着一条直线运动，我们用s=s(t)表示t时刻物体A离开初始位置的距离。求A在t0时刻的瞬时速度v(t0)？第六十二张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.2023631、定义、定义存在，则称这个极限为函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数，并称函数函数f(x)在在x0处可导或有导数处
13、可导或有导数。(点导数点导数)第六十三张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202364如果这个极限不存在，就称函数f(x)在x0处不可导。解解：第六十四张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202365第六十五张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.2023662、定义、定义(区间导数区间导数)第六十六张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202367导函数的定义式为导函数的定义式为第六十七张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202368解解：第六十八张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.0
14、4.2023693、基本求导公式和求导法则基本求导公式和求导法则基本求导公式第六十九张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202370导数的四则运算 第七十张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202371解解：解解：第七十一张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202372解解：第七十二张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202373复合函数的求导法则链锁法则 第七十三张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202374解解：将函数分解的两个简单函数，根据链锁法则，有第七十四张，PPT共一百零一页，创作
15、于2022年6月05.04.202375解解：将函数分解的两个简单函数，根据链锁法则，有第七十五张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.2023764、高阶导数高阶导数 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数二阶及二阶以上的导数称为高阶导数 第七十六张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202377解解：先求函数的一阶导数 再求一阶导数的导数 二阶是一阶导数的导数二阶是一阶导数的导数 第七十七张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202378第七十八张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202379第五节第五节第五节第五节 函数的
16、微分函数的微分函数的微分函数的微分一、微分的概念微分的概念 1.定义定义 设y=f(x)在点x处可导，则 称为函数 y=f(x)在点x处的微分，记作dy，即：dy=。微分的表达式微分的表达式2.定理：定理：可导函数一定可微，可微函数一定可导可导函数一定可微，可微函数一定可导。第七十九张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202380二、微分的几何意义二、微分的几何意义AT是曲线y=f(x)上点A处的切线。其中 是切线AT和x轴正方向的夹角。当自变量从当自变量从x变到变到x+dx时，曲线时，曲线y=f(x)在点在点A处的切线的处的切线的改变量是改变量是TC=dy。这就是微分的几
17、何意义。这就是微分的几何意义。第八十张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202381解解：因为所以第八十一张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202382三、三、基本微分公式基本微分公式第八十二张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202383四、四、微分的运算微分的运算第八十三张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202384解解：用函数乘积的微分法则，第八十四张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202385第八十五张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202386第六节第六节第
18、六节第六节 导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用一、拉格朗日(Lagrange)中值定理xyOABlP第八十六张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202387第八十七张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202388二、洛必塔法则洛必塔法则 第八十八张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202389解解：因为所以第八十九张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202390第九十张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202391解解：因为所以第九十一张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04
19、.202392三、函数的单调性第九十二张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202393解解：第九十三张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202394四、函数的极值四、函数的极值函数的极大值和极小值都称为函数的极值函数的极值，函数的极大值点和极小值点都称为函数的极值点函数的极值点。第九十四张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202395称使 为零的点为函数的驻点函数的驻点。第九十五张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202396第九十六张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202397解解：下面列表考察导数的符号以及函数的单调性与极值：第九十七张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202398下面列表考察导数的符号以及函数的单调性与极值：第九十八张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.202399解解：第九十九张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.2023100第一百张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月05.04.2023感谢大家观看第一百零一张，PPT共一百零一页，创作于2022年6月