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1、关于导数微分及其应关于导数微分及其应用用02.10.20221第1页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.20222 微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。的发展。微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子的竭法。这是微积分的先驱，而
2、我国庄子的天下篇天下篇中也有中也有“一尺之锤，日取其半，万世不竭一尺之锤，日取其半，万世不竭”的极限思想，公元的极限思想，公元263年，刘徽为年，刘徽为九间算术九间算术作注时提出了作注时提出了“割圆术割圆术”，用正多，用正多边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家阿基米德在数学家阿基米德在抛物线求积法抛物线求积法中用究竭法求出抛物线中用究竭法求出抛物线弓形的面积，没有用极限，是弓形的面积，没有用极限，是“有限有限”开工的穷竭法。开工的穷竭法。微积分的
3、创始人是微积分的创始人是牛顿和莱布尼茨牛顿和莱布尼茨。解析几何为微积分的创立奠定了基础解析几何为微积分的创立奠定了基础。第2页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.20223第一节第一节第一节第一节 函函函函 数数数数1.区间区间一、预备知识一、预备知识设a，b是两个实数，且ab开区间开区间 ：满足不等式 axb一切实数的全 体。闭区间闭区间 ：满足不等式 axb的一切实数的 全体。半开区间半开区间 ：满足不等式 axb的一切实数的 全体。：a x b第3页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.20224表示全体实数，或写成 x；表示大于a的全体实数，或写成a x+；表示小于a的全体实
4、数，或写成 x a；表示 a x+；表示N的一切的一切an，有不等式，有不等式|an a|称数列称数列an以有限数以有限数a为极限，常数为极限，常数a叫作数列叫作数列 an 当当n时的极限。或称数列时的极限。或称数列 an 收敛到收敛到a，记作，记作第16页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202217(2)、单调数列、单调数列单调增加数列和单调减少数列统称单调数列。(3)、有界数列、有界数列对于数列an，如果存在正数M，使得数列中的每一项an(n=1,2,3,)都满足不等式-M an0，总存在一个，总存在一个0，0|x-x0|时，有时，有|f(x)-A|0，作直线 y=A+，y=A-
5、,这两条直线形成一横条区域.对于这个,存在点x0的一个邻域(x0-，x0+)，当x(x0-，x0+)但xx0时，有不等式：点（x,f(x)）落在上面所做的一横条区域内。第25页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202226第26页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202227第27页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202228、当当x时函数时函数f(x)的极限的极限第28页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202229解解第29页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202230、极限的四则运算法则极限的四则运算法则当当x时，性质也成立。时，性质也成立。第
6、30页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202231数列极限四则运算也有类似的定理:第31页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202232第32页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202233所以 解解 注意到第33页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202234分母的极限不为零。解解第34页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.2022354、两个重要、两个重要极限极限第35页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202236解解因此第36页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202237解解第37页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.20
7、2238解解先用x去除分母及分子，然后取极限.第38页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202239解解第39页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.2022405 5、无穷小量和无穷大量、无穷小量和无穷大量、无穷小量、无穷小量例如例如一个函数一个函数 当当 时以时以0 0为极限，称该函数为极限，称该函数为当为当 时的无穷小量时的无穷小量。第40页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202241.定理定理无穷小量阶无穷小量阶 第41页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202242第42页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202243下面是几个常用的等价无穷小下
8、面是几个常用的等价无穷小：第43页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202244、无穷大量、无穷大量第44页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202245第45页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202246第三节第三节第三节第三节 连连连连 续续续续1 1、连续的定义、连续的定义第46页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202247第47页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202248区间连续的定义区间连续的定义第48页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202249连续函数的图象是一条连续的曲线。连续函数的图象是一条连续的曲线。第49页，讲稿共
9、101张，创作于星期日02.10.202250第50页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.2022512、初等函数的连续性、初等函数的连续性定理定理 基本初等函数在定义域内都连续。定理定理 初等函数在定义域上的区间上连续。第51页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202252解解第52页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.2022533 3、闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质有有界界性性定定理理 闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数在在此此区区间间上上一一定定有界。有界。第53页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202254最最大大值值和和最最小小值值定定
10、理理 在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数在在此此区区间上一定有最大值和最小值间上一定有最大值和最小值即：即：第54页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202255第55页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202256第56页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202257证明证明 第57页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202258如果记f(x)在闭区间a,b上的最的大值为M，最小值为m,且mcM，那么存在一点a,b使得 f()=c。第58页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202259第59页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202260
11、第四节第四节第四节第四节 函数的导数函数的导数函数的导数函数的导数一、导数的概念导数的概念 两个例子(1)、切线问题设A点是曲线c上的一点。如何确定曲线c在A点的切线AT呢？第60页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202261第61页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202262(2)、瞬时速度、瞬时速度 设物体A沿着一条直线运动，我们用s=s(t)表示t时刻物体A离开初始位置的距离。求A在t0时刻的瞬时速度v(t0)？第62页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.2022631、定义、定义存在，则称这个极限为函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数，并称函数函数f(
12、x)在在x0处可导或有导数处可导或有导数。(点导数点导数)第63页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202264如果这个极限不存在，就称函数f(x)在x0处不可导。解解：第64页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202265第65页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.2022662、定义、定义(区间导数区间导数)第66页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202267导函数的定义式为导函数的定义式为第67页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202268解解：第68页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.2022693、基本求导公式和求导法则基本求导公式和
13、求导法则基本求导公式第69页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202270导数的四则运算 第70页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202271解解：解解：第71页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202272解解：第72页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202273复合函数的求导法则链锁法则 第73页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202274解解：将函数分解的两个简单函数，根据链锁法则，有第74页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202275解解：将函数分解的两个简单函数，根据链锁法则，有第75页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.
14、2022764、高阶导数高阶导数 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数二阶及二阶以上的导数称为高阶导数 第76页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202277解解：先求函数的一阶导数 再求一阶导数的导数 二阶是一阶导数的导数二阶是一阶导数的导数 第77页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202278第78页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202279第五节第五节第五节第五节 函数的微分函数的微分函数的微分函数的微分一、微分的概念微分的概念 1.定义定义 设y=f(x)在点x处可导，则 称为函数 y=f(x)在点x处的微分，记作dy，即：dy=。微分的表达式微分的表达式2.
15、定理：定理：可导函数一定可微，可微函数一定可导可导函数一定可微，可微函数一定可导。第79页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202280二、微分的几何意义二、微分的几何意义AT是曲线y=f(x)上点A处的切线。其中 是切线AT和x轴正方向的夹角。当自变量从当自变量从x变到变到x+dx时，曲线时，曲线y=f(x)在点在点A处的切线的处的切线的改变量是改变量是TC=dy。这就是微分的几何意义。这就是微分的几何意义。第80页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202281解解：因为所以第81页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202282三、三、基本微分公式基本微分公式第82页
16、，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202283四、四、微分的运算微分的运算第83页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202284解解：用函数乘积的微分法则，第84页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202285第85页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202286第六节第六节第六节第六节 导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用一、拉格朗日(Lagrange)中值定理xyOABlP第86页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202287第87页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202288二、洛必塔法则洛必塔法则 第88页，讲稿共101张，创作于星
17、期日02.10.202289解解：因为所以第89页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202290第90页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202291解解：因为所以第91页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202292三、函数的单调性第92页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202293解解：第93页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202294四、函数的极值四、函数的极值函数的极大值和极小值都称为函数的极值函数的极值，函数的极大值点和极小值点都称为函数的极值点函数的极值点。第94页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202295称使 为零的点为函数的驻点函数的驻点。第95页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202296第96页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202297解解：下面列表考察导数的符号以及函数的单调性与极值：第97页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202298下面列表考察导数的符号以及函数的单调性与极值：第98页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.202299解解：第99页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.2022100第100页，讲稿共101张，创作于星期日02.10.2022感感谢谢大大家家观观看看第101页，讲稿共101张，创作于星期日