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1、第二章第二章第二章第二章 导数微分及其应用导数微分及其应用导数微分及其应用导数微分及其应用10三月三月20232 微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。的发展。微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子的竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子
2、的天下篇天下篇中也有中也有“一尺之锤，日取其半，万世不竭一尺之锤，日取其半，万世不竭”的极限思想，公元的极限思想，公元263年，刘徽为年，刘徽为九间算术九间算术作注时提出了作注时提出了“割圆术割圆术”，用正多，用正多边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家阿基米德在数学家阿基米德在抛物线求积法抛物线求积法中用究竭法求出抛物线中用究竭法求出抛物线弓形的面积，没有用极限，是弓形的面积，没有用极限，是“有限有限”开工的穷竭法。开工的穷竭法。微积分的创始人是
3、微积分的创始人是牛顿和莱布尼茨牛顿和莱布尼茨。解析几何为微积分的创立奠定了基础解析几何为微积分的创立奠定了基础。10三月三月20233第一节第一节第一节第一节 函函函函 数数数数1.区间区间一、预备知识一、预备知识设a，b是两个实数，且ab开区间开区间 ：满足不等式 axb一切实数的全 体。闭区间闭区间 ：满足不等式 axb的一切实数的 全体。半开区间半开区间 ：满足不等式 axb的一切实数的 全体。：a x b10三月三月20234表示全体实数，或写成 x；表示大于a的全体实数，或写成a x+；表示小于a的全体实数，或写成 x a；表示 a x+；表示N的一切的一切an，有不等式，有不等式|
4、an a|称数列称数列an以有限数以有限数a为极限，常数为极限，常数a叫作数列叫作数列 an 当当n时的极限。或称数列时的极限。或称数列 an 收敛到收敛到a，记作，记作10三月三月202317(2)、单调数列、单调数列单调增加数列和单调减少数列统称单调数列。(3)、有界数列、有界数列对于数列an，如果存在正数M，使得数列中的每一项an(n=1,2,3,)都满足不等式-M an0，总存在一个，总存在一个0，0|x-x0|时，有时，有|f(x)-A|0，作直线 y=A+，y=A-,这两条直线形成一横条区域.对于这个,存在点x0的一个邻域(x0-，x0+)，当x(x0-，x0+)但xx0时，有不等
5、式：点（x,f(x)）落在上面所做的一横条区域内。10三月三月20232610三月三月20232710三月三月202328、当当x时函数时函数f(x)的极限的极限10三月三月202329解解10三月三月202330、极限的四则运算法则极限的四则运算法则当当x时，性质也成立。时，性质也成立。10三月三月202331数列极限四则运算也有类似的定理:10三月三月20233210三月三月202333所以 解解 注意到10三月三月202334分母的极限不为零。解解10三月三月2023354、两个重要、两个重要极限极限10三月三月202336解解因此10三月三月202337解解10三月三月202338解解
6、 先用x去除分母及分子，然后取极限.10三月三月202339解解10三月三月2023405 5、无穷小量和无穷大量、无穷小量和无穷大量、无穷小量、无穷小量例如例如一个函数一个函数 当当 时以时以0 0为极限，称该函数为极限，称该函数为当为当 时的无穷小量时的无穷小量。10三月三月202341.定理定理无穷小量阶无穷小量阶 10三月三月20234210三月三月202343下面是几个常用的等价无穷小下面是几个常用的等价无穷小：10三月三月202344、无穷大量、无穷大量10三月三月20234510三月三月202346第三节第三节第三节第三节 连连连连 续续续续1 1、连续的定义、连续的定义10三月
7、三月20234710三月三月202348区间连续的定义区间连续的定义10三月三月202349连续函数的图象是一条连续的曲线。连续函数的图象是一条连续的曲线。10三月三月20235010三月三月2023512、初等函数的连续性、初等函数的连续性定理定理 基本初等函数在定义域内都连续。定理定理 初等函数在定义域上的区间上连续。10三月三月202352解解10三月三月2023533 3、闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质有有界界性性定定理理 闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数在在此此区区间间上一定有界。上一定有界。10三月三月202354最最大大值值和和最最小小值值定定理理 在在闭闭区区
8、间间上上连连续续的的函函数数在在此此区间上一定有最大值和最小值区间上一定有最大值和最小值即：即：10三月三月20235510三月三月20235610三月三月202357证明证明 10三月三月202358如果记f(x)在闭区间a,b上的最的大值为M，最小值为m,且mcM，那么存在一点a,b使得 f()=c。10三月三月20235910三月三月202360第四节第四节第四节第四节 函数的导数函数的导数函数的导数函数的导数一、导数的概念导数的概念 两个例子(1)、切线问题设A点是曲线c上的一点。如何确定曲线c在A点的切线AT呢？10三月三月20236110三月三月202362(2)、瞬时速度、瞬时速
9、度 设物体A沿着一条直线运动，我们用s=s(t)表示t时刻物体A离开初始位置的距离。求A在t0时刻的瞬时速度v(t0)？10三月三月2023631、定义、定义存在，则称这个极限为函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数，并称函数函数f(x)在在x0处可导或有导数处可导或有导数。(点导数点导数)10三月三月202364如果这个极限不存在，就称函数f(x)在x0处不可导。解解：10三月三月20236510三月三月2023662、定义、定义(区间导数区间导数)10三月三月202367导函数的定义式为导函数的定义式为10三月三月202368解解：10三月三月2023693、基本求导公式和求导法则基
10、本求导公式和求导法则基本求导公式10三月三月202370导数的四则运算 10三月三月202371解解：解解：10三月三月202372解解：10三月三月202373复合函数的求导法则链锁法则 10三月三月202374解解：将函数分解的两个简单函数，根据链锁法则，有10三月三月202375解解：将函数分解的两个简单函数，根据链锁法则，有10三月三月2023764、高阶导数高阶导数 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数二阶及二阶以上的导数称为高阶导数 10三月三月202377解解：先求函数的一阶导数 再求一阶导数的导数 二阶是一阶导数的导数二阶是一阶导数的导数 10三月三月20237810三月三月202
11、379第五节第五节第五节第五节 函数的微分函数的微分函数的微分函数的微分一、微分的概念微分的概念 1.定义定义 设y=f(x)在点x处可导，则 称为函数 y=f(x)在点x处的微分，记作dy，即：dy=。微分的表达式微分的表达式2.定理：定理：可导函数一定可微，可微函数一定可导可导函数一定可微，可微函数一定可导。10三月三月202380二、微分的几何意义二、微分的几何意义AT是曲线y=f(x)上点A处的切线。其中 是切线AT和x轴正方向的夹角。当自变量从当自变量从x变到变到x+dx时，曲线时，曲线y=f(x)在点在点A处的切处的切线的改变量是线的改变量是TC=dy。这就是微分的几何意义。这就是
12、微分的几何意义。10三月三月202381解解：因为所以10三月三月202382三、三、基本微分公式基本微分公式10三月三月202383四、四、微分的运算微分的运算10三月三月202384解解：用函数乘积的微分法则，10三月三月20238510三月三月202386第六节第六节第六节第六节 导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用一、拉格朗日(Lagrange)中值定理xyOABlP10三月三月20238710三月三月202388二、洛必塔法则洛必塔法则 10三月三月202389解解：因为所以10三月三月20239010三月三月202391解解：因为所以10三月三月202392三、函数的单调性10三月三月202393解解：10三月三月202394四、函数的极值四、函数的极值函数的极大值和极小值都称为函数的极值函数的极值，函数的极大值点和极小值点都称为函数的极值点函数的极值点。10三月三月202395称使 为零的点为函数的驻点函数的驻点。10三月三月20239610三月三月202397解解：下面列表考察导数的符号以及函数的单调性与极值：10三月三月202398下面列表考察导数的符号以及函数的单调性与极值：10三月三月202399解解：10三月三月202310010三月三月2023101结结结结 束束束束