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1、二元一次方程二元一次方程组的应用组的应用罗江中学罗江中学张恩东一、行程问题一、行程问题基本数量关系基本数量关系路程路程=时间时间速度速度时间时间=路程路程/速度速度速度速度=路程路程/时间时间同时相向而行同时相向而行路程路程=时间时间速度之和速度之和同时同向而行同时同向而行路程路程=时间时间速度之差速度之差船在顺水中的速度船在顺水中的速度=船在静水中的速度船在静水中的速度+水流的速度水流的速度船在逆水中的速度船在逆水中的速度=船在静水中的速度船在静水中的速度-水流的速度水流的速度ABSV1V2S=T（+）V1V2AB同时同地同向在同一跑道进行比赛同时同地同向在同一跑道进行比赛当男生第一次赶上女
2、生时当男生第一次赶上女生时男生跑的路程男生跑的路程-女生跑的路程女生跑的路程=跑道的周长跑道的周长乙乙甲甲St同时异地追及问题同时异地追及问题乙的路程乙的路程-甲的路程甲的路程=甲乙之间的距离甲乙之间的距离T(-)=sV乙乙甲甲V例例1.某站有甲、乙两辆汽车，某站有甲、乙两辆汽车，若甲车先出发若甲车先出发1后乙车出发，后乙车出发，则乙车出发后则乙车出发后5追上甲车；若追上甲车；若甲车先开出甲车先开出30后乙车出发，后乙车出发，则乙车出发则乙车出发4后乙车所走的路后乙车所走的路程比甲车所走路程多程比甲车所走路程多10求两车速度求两车速度若甲车先出发若甲车先出发1后后乙车出发，则乙车出乙车出发，则
3、乙车出发后发后5追上甲车追上甲车解解:设甲乙两车的速度分别为设甲乙两车的速度分别为x Km/h、y Km/h根据题意，得根据题意，得x5x5y5y=6x若甲车先开出若甲车先开出30后乙后乙车出发，则乙车出发车出发，则乙车出发4后乙车所走的路程比甲车后乙车所走的路程比甲车所走路程多所走路程多1030km4x4y4y=4x+40解之得解之得X=50Y=6o答：甲乙两车的速度分别为50km、60km例例2.一列快车长一列快车长230米，一列慢米，一列慢车长车长220米，若两车同向而行，米，若两车同向而行，快车从追上慢车时开始到离开慢快车从追上慢车时开始到离开慢车，需车，需90秒钟；若两车相向而行，秒
4、钟；若两车相向而行，快车从与慢车相遇时到离开慢车，快车从与慢车相遇时到离开慢车，只需只需18秒钟，问快车和慢车的速秒钟，问快车和慢车的速度各是多少？度各是多少？快车长快车长230米，慢车长米，慢车长220米，若两车同向而行，快米，若两车同向而行，快车从追上慢车时开始到离车从追上慢车时开始到离开慢车，需开慢车，需90秒钟秒钟230m甲甲220m乙乙450m甲甲乙乙解：设快车、慢车的速解：设快车、慢车的速度分别为度分别为xm/s、ym/s根据题意，得90（x-y）=450若两车相向而行，快车若两车相向而行，快车从与慢车相遇时到离开从与慢车相遇时到离开慢车，只需慢车，只需18秒钟秒钟解：设快车、慢车
5、的速解：设快车、慢车的速度分别为度分别为xm/s、ym/s根据题意，得90（x-y）=450230m甲甲220m乙乙230m甲甲220m乙乙450m18s18（x+y）=450解之得解之得X=15Y=10答：快车、慢车的速度分别为答：快车、慢车的速度分别为15m/s、10m/s例例3甲、乙两人在周长为甲、乙两人在周长为400的的环形跑道上练跑，如果相向出发，每环形跑道上练跑，如果相向出发，每隔隔2.5min相遇一次；如果同向出发，相遇一次；如果同向出发，每隔每隔10min相遇一次，假定两人速度相遇一次，假定两人速度不变，且甲快乙慢，求甲、乙两人的不变，且甲快乙慢，求甲、乙两人的速度速度甲、乙两
6、人在周长为甲、乙两人在周长为400的环形跑道上练的环形跑道上练跑，如果相向出发，每跑，如果相向出发，每隔隔2.5min相遇一次相遇一次解：设甲乙两人的速度分解：设甲乙两人的速度分别为别为xm/min、ym/min根据题意，得根据题意，得2.5(x+y)=400AB解：设甲乙两人的速度分解：设甲乙两人的速度分别为别为xm/min、ym/min根据题意，得根据题意，得2.5(x+y)=400甲、乙两人在周长为甲、乙两人在周长为400的环的环形跑道上练跑，如果同向出发，形跑道上练跑，如果同向出发，每隔每隔10min相遇一次相遇一次甲甲乙乙A10(X-Y)=400解之得解之得X=100Y=60答答:甲
7、乙两人的速度分别甲乙两人的速度分别为为100m/min、60m/minB乙乙甲甲ABC环形跑道追及问题等环形跑道追及问题等同于异地追及问题同于异地追及问题例例4.已知已知A、B两码头之间的距离为两码头之间的距离为240km,一艏船航行于一艏船航行于A、B两码头之间两码头之间,顺流航行需顺流航行需4小时小时;逆流航行时需逆流航行时需6小时小时,求船在静水中的速度及水流的速度求船在静水中的速度及水流的速度.练习练习.一辆汽车从甲地驶往乙地，途中要过一桥。用一辆汽车从甲地驶往乙地，途中要过一桥。用相同时间，若车速每小时相同时间，若车速每小时60千米，就能越过桥千米，就能越过桥2千米；千米；若车速每小
8、时若车速每小时50千米，就差千米，就差3千米才到桥。问甲地与千米才到桥。问甲地与桥相距多远？用了多长时间？桥相距多远？用了多长时间？水流方向水流方向轮船航向轮船航向船在逆水中的速度船在逆水中的速度=船在船在静水中的速度静水中的速度-水流的速度水流的速度水流方向水流方向轮船航向轮船航向船在顺水中的速度船在顺水中的速度=船在船在静水中的速度静水中的速度+水流的速度水流的速度例例5.已知已知A、B两码头之间的距离为两码头之间的距离为240km,一艏一艏船航行于船航行于A、B两码头之间两码头之间,顺流航行需顺流航行需4小时小时;逆流航行时需逆流航行时需6小时小时,求船在静水中的速度及水求船在静水中的速
9、度及水流的速度流的速度.解:设船在静水中的速度及水流的速度分别为xkm/h、ykm/h，根据题意，得4（x+y）=2406（x-y）=240解之得X=50Y=10答：船在静水中的速度及水流的速度分别为50km/h、10km/h二、工程问题二、工程问题 工作量工作量=工作时间工作时间工作效率工作效率 工作效率工作效率=工作量工作量/工作时间、工作时间、工作时间工作时间=工作量工作量/工作效率工作效率 例例1.某工人原计划在限定时间内加工一批某工人原计划在限定时间内加工一批零件零件.如果每小时加工如果每小时加工10个零件个零件,就可以超就可以超额完成额完成3 个个;如果每小时加工如果每小时加工11
10、个零件就可个零件就可以提前以提前1h完成完成.问这批零件有多少个问这批零件有多少个?按原按原计划需多少小时计划需多少小时 完成完成?解解:设这批零件有设这批零件有x个个,按原计按原计划需划需y小时完成小时完成,根据题意根据题意,得得10y=x+311(y-1)=x解之得X=77Y=8答:这批零件有77个,按计划需8小时完成例例2.2.甲乙两家服装厂生产同一规格的上衣和裤甲乙两家服装厂生产同一规格的上衣和裤子子,甲厂每月甲厂每月(按按3030天计算天计算)用用1616天生产上衣天生产上衣,14,14天做裤子天做裤子,共生产共生产448448套衣服套衣服(每套上、下衣各每套上、下衣各一件）；乙厂每
11、月用一件）；乙厂每月用1212天生产上衣，天生产上衣，1818天生产天生产裤子，共生产裤子，共生产720720套衣服，两厂合并后，每月套衣服，两厂合并后，每月按现有能力最多能生产多少套衣服？按现有能力最多能生产多少套衣服？工厂工厂甲甲乙乙上衣（上衣（裤裤子）子）上衣上衣裤裤子子上衣上衣裤裤子子 生生产产天数天数 生生产产套数套数填写下表填写下表16144481218720 生生产产套数套数 生生产产天数天数裤裤子子上衣上衣裤裤子子上衣上衣上衣（上衣（裤裤子）子）乙乙甲甲 工厂工厂16144481218720解：设该厂用解：设该厂用x天生产上衣，天生产上衣，y天生产裤天生产裤子，则共生产子，则共
12、生产（）x套衣服，套衣服，由题意得由题意得448/16+720/12X+y=30（448/16+720/12）x=（448/14+720/18）y解之得X=13.5Y=16.5所以88x=8813.5=1188三、商品经济问题三、商品经济问题本息和=本金+利息利息利息=本金本金年利率年利率期期数数利息税利息税利息所得税利息所得税=利息金额利息金额20例例1 1李明以两种形式分别储蓄了李明以两种形式分别储蓄了20002000元和元和10001000元，一年元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得利息后全部取出，扣除利息所得税后可得利息43.9243.92元，已元，已知这两种储蓄的年利率的和为知这
13、两种储蓄的年利率的和为3.243.24，问这两种储蓄的，问这两种储蓄的年利率各是几分之几？（注：公民应交利息所得税年利率各是几分之几？（注：公民应交利息所得税=利利息金额息金额2020）解解:设这两种储蓄的年利率设这两种储蓄的年利率分别是分别是x x、y y，根据题意得，根据题意得x+y=3.24%2000 x80%+1000y80%=43.92解之得x=2.25%y=0.99%答答:这两种储蓄的年利蓄分别为这两种储蓄的年利蓄分别为2.25%、0.09%例例2 2。某超市在。某超市在“五一五一”期间寻顾客实行优惠，规定期间寻顾客实行优惠，规定如下：如下：（2 2）若顾客在该超市一次性购物）若顾
14、客在该超市一次性购物 x x元，当小于元，当小于500500元元但不小于但不小于200200元时，他实际付款元时，他实际付款 元；元；当当x x大于或等于大于或等于500500元时，他实际付款元时，他实际付款 元元（用的代数式表示）（用的代数式表示）一次性一次性购购物物 优优惠方法惠方法少于少于200元元不予不予优优惠惠低于低于500元但不低于元但不低于200元元九折九折优优惠惠500元或大于元或大于500元元其中其中500元部分元部分给给予九折予九折优优惠，惠，超超过过500部分部分给给予八折予八折优优惠惠（1 1）王老师一次购物）王老师一次购物600600元，他实际付款元，他实际付款 元元
15、 5300.9x0.8x+50（3 3）如果王老师两次购物合计）如果王老师两次购物合计820820元，他实际付款元，他实际付款共计共计728728元，且第一次购物的货款少于第二次购物元，且第一次购物的货款少于第二次购物的，求两次购物各多少元？的，求两次购物各多少元？其中其中500元部分元部分给给予九折予九折优优惠，惠，超超过过500部分部分给给予八折予八折优优惠惠500元或等于元或等于500元元九折九折优优惠惠低于低于500元但不低于元但不低于200元元不予不予优优惠惠少于少于200元元优优惠方法惠方法一次性一次性购购物物 解:设第一次购物的货款为x元,第二次购物的货款为y元当x200,则,y
16、500,由题意得x+y=820 x+0.8y+50=728解得x=110Y=710（3 3）如果王老师两次购物）如果王老师两次购物 合计合计820820元，他实际付款共计元，他实际付款共计728728元，且第一次购物的货款少于第二次购物的，求两次购物各元，且第一次购物的货款少于第二次购物的，求两次购物各多少元？多少元？其中其中500元部分元部分给给予九折予九折优优惠，超惠，超过过500部分部分给给予八折予八折优优惠惠500元或大于元或大于500元元九折九折优优惠惠低于低于500元但不低于元但不低于200元元不予不予优优惠惠少于少于200元元优优惠方法惠方法一次性一次性购购物物 当x小于500元
17、但不小于200元时,y500,由题意得x+y=8200.9x+0.8y+50=728解得X=220Y=600当均小于500元但不小于200元时,且,由题意得综上所述,两次购物的分别为110元、710元或220元、600元x+y=8200.9x+0.9y=728此方程组无解.四、配套问题四、配套问题（一）配套与人员分配问题（一）配套与人员分配问题例例1.1.某车间某车间2222名工人生产螺钉与螺母，每人每天名工人生产螺钉与螺母，每人每天平均生产螺钉平均生产螺钉12001200个或螺母个或螺母20002000个，一个螺钉要个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天生产的产品刚好配套，配两个螺母，为了使每
18、天生产的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？螺母？一个螺钉配两个螺母螺钉数:螺母数=1:2解解:设分配名设分配名x工人生产螺钉工人生产螺钉,y名工人生产螺母名工人生产螺母,则一天则一天生产的螺钉数为生产的螺钉数为1200 x个个,生产的螺母数为生产的螺母数为2000y个个.所以为了使每天生产的产品刚好配套,应安排10人生产螺钉,12人生产螺母根据题意,得x+y=2221200 x=2000y解得x=10Y=12例例2.2.某工地需雪派某工地需雪派4848人去挖土和运土人去挖土和运土,如果如果每人每天平均挖土每人每天平均挖土5
19、5方或运土方或运土3 3方方,那么应该那么应该怎样安排人员怎样安排人员,正好能使挖的土能及时运走正好能使挖的土能及时运走?每天挖的土等于每天运的土解:设安排x人挖土,y人动土,则一天挖土5x,一天动土3y方根据题意,得x+y=485x=3y解得X=18Y=30所以每天安排18人挖土，30人运土正好能使挖的土及时运走五、配套与物质分配问题五、配套与物质分配问题例例1.1.用白钢铁皮做头，每张铁皮可做盒身用白钢铁皮做头，每张铁皮可做盒身25 25 个，或做盒底个，或做盒底4040个，一个盒身与两个盒个，一个盒身与两个盒 底底配成一套，现有配成一套，现有3636张白铁皮，用多少张做张白铁皮，用多少张
20、做盒盒 身，多少张做盒身，多少张做盒 底，可使盒底，可使盒 身与盒身与盒 底底正好配套？正好配套？解解:设用设用x x张白铁皮做盒身张白铁皮做盒身,用用y y张制盒底张制盒底,则共制盒身则共制盒身25x25x个个,共制盒底共制盒底40y40y个个.所以用所以用1616张制盒张制盒 身身,20,20张制盒张制盒 底底正好使盒身与盒底配套正好使盒身与盒底配套根据题意,得x+y=36225x=40y解得X=16Y=20例例2.2.一张方桌由一张方桌由1 1 个桌面、个桌面、4 4条桌腿组成，条桌腿组成，如果如果1 1立方米木料可以做方桌的桌面立方米木料可以做方桌的桌面5050个，个，或桌腿或桌腿30
21、0300条，现有条，现有5 5立方米的木料，那么用立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好配成方桌？能桌腿，做出的桌面和桌腿恰好配成方桌？能配成配成 多少方桌？多少方桌？解：设用解：设用x x立方米做桌面，立方米做桌面，y y立方米做桌腿，则可以做立方米做桌腿，则可以做桌面桌面50 x50 x个，做桌腿个，做桌腿300y300y条条根据题意根据题意 ，得，得x+y=5450 x=300y所以用所以用3 3立方米做桌面立方米做桌面 ，2 2立方米做桌腿，立方米做桌腿，恰能配成方桌，共可做成恰能配成方桌，共可做成15
22、0150张方桌。张方桌。解得解得X=3Y=2例例3.某车间每天能生产甲种零件某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种个，或者乙种零件零件100个，或者丙种零件个，或者丙种零件200个，甲，乙，丙个，甲，乙，丙3种零件分别取种零件分别取3个，个，2个，个，1个，才能配一套，要个，才能配一套，要在在30天内生产最多的成套产品，问甲，乙，丙天内生产最多的成套产品，问甲，乙，丙3种零件各应生产多少天？种零件各应生产多少天？六、比例问题例例1.1.现有甲乙两种金属的合金现有甲乙两种金属的合金10kg,10kg,如果加入甲如果加入甲种金属若干千克种金属若干千克,那么这块金属中乙种金属占那么这块金属中乙种
23、金属占2 2份份,甲种金属占甲种金属占3 3份份;如果加入的甲的金属增加如果加入的甲的金属增加1 1倍倍,那那么合金中乙种金属占么合金中乙种金属占3 3份份,甲种金属占甲种金属占7 7份份,问第一问第一次加入的甲种金属有多少次加入的甲种金属有多少?原来这块合金种含甲原来这块合金种含甲种金属的百分比是多少种金属的百分比是多少?解解:设原来这块合金中含甲金属设原来这块合金中含甲金属x xkgkg,这块合金中含乙种这块合金中含乙种金属金属(10-x10-x)kg,)kg,第一次加入的甲种金属第一次加入的甲种金属y ykgkg.根据题意根据题意,得得x+yx+y=3/5(10+y)=3/5(10+y)
24、x+2y=7/10(10+2y)x+2y=7/10(10+2y)x=4y=5解得解得所以第一次加入所以第一次加入 的金属的金属5kg,5kg,原来这块合金原来这块合金中含种甲金属中含种甲金属40%40%甲对乙说：甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才当我的岁数是你现在的岁数时，你才4 4岁岁”乙对甲说：乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数当我的岁数是你现在的岁数时，你将时，你将6161岁岁”问甲、乙现在各多少岁？问甲、乙现在各多少岁？从问题情境可以知知道甲从问题情境可以知知道甲的年龄大于乙的年龄的年龄大于乙的年龄解：设甲、乙现在的年龄分解：设甲、乙现在的年龄分别是别是x x、y y岁根据
25、题意，得岁根据题意，得y-y-（x-yx-y）=4=4X+X+（x-yx-y）=61=61解得x=42x=42y=23y=23答：甲、乙现在的年龄分别是答：甲、乙现在的年龄分别是4242、2323岁岁甲比乙大的岁数甲比乙大的岁数 将来年将来年龄龄现现在年在年龄龄 甲甲乙乙X Xy yx-yx-yX+X+（x-yx-y）61Y-Y-（x-yx-y）42 2。中考链接。中考链接随着我国人口增长速度的减慢，初中入学学随着我国人口增长速度的减慢，初中入学学生数量每年按逐渐减少的趋势发展。某区生数量每年按逐渐减少的趋势发展。某区2003年和年和2004年初中入学学生人数之比是年初中入学学生人数之比是8：
26、7，且，且2003年入学人数的年入学人数的2倍比倍比2004年入学人数的年入学人数的3倍倍少少1500人，某人估计人，某人估计2005年入学学生人数将超年入学学生人数将超过过2300人，请你通过计算，判断他的估计是否人，请你通过计算，判断他的估计是否符合当前的变化趋势。符合当前的变化趋势。探究探究1养牛场原有养牛场原有30只母牛和只母牛和15只小牛，天约需用饲料只小牛，天约需用饲料；一周后又购进支母牛和只小牛，这时一天约需用；一周后又购进支母牛和只小牛，这时一天约需用饲料。饲养员李大叔估计平均每只母牛天约需饲饲料。饲养员李大叔估计平均每只母牛天约需饲料，每只小牛天约需饲料，料，每只小牛天约需饲
27、料，你能否通过计算检验他的估计？你能否通过计算检验他的估计？解：设：解：设：（相等关系）（相等关系）列列解得：解得：答：答：平均每只母牛天约需饲料平均每只母牛天约需饲料，每只小牛天约需饲料，每只小牛天约需饲料，30只母牛和只母牛和15只小牛，天约需用饲料只小牛，天约需用饲料只母牛和只小牛，天约需用饲料只母牛和只小牛，天约需用饲料平均每只母牛天约需饲料，每只小牛天约需饲料，平均每只母牛天约需饲料，每只小牛天约需饲料，李大叔对母牛的估计较准确，对小牛的估计偏高。李大叔对母牛的估计较准确，对小牛的估计偏高。探究二据以往统计资料据以往统计资料,甲甲,乙两种作物的单位面积产量的比是乙两种作物的单位面积产
28、量的比是1:1.5，现要在一块长，现要在一块长200m，宽，宽100m的长方形土地上的长方形土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形,使甲使甲,乙两种作物的总产量的比是乙两种作物的总产量的比是3:4(结果取整数结果取整数)?3 3。开放性问题。开放性问题联想集团有联想集团有A型、型、B型、型、C型三种型号的电脑，型三种型号的电脑，其价格分别为其价格分别为A型每台型每台6000元，元，B型每台型每台4000元，元，C型每台型每台2500元，我市某中学计划将元，我市某中学计划将100500元钱全部用于购进其中两种不同型号元钱全部用于购进其中两种不同
29、型号的电脑共的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方台，请你设计出几种不同的购买方案，并说明理由。案，并说明理由。反思反思：未知数不只两个，为了解决问题方便，所以：未知数不只两个，为了解决问题方便，所以设三个未知数以帮助解决问题，把问题割裂开来看，设三个未知数以帮助解决问题，把问题割裂开来看，仍属于二元一次方程组，在一个问题里面设三个未仍属于二元一次方程组，在一个问题里面设三个未知数，这本身就是一种创造性思维。知数，这本身就是一种创造性思维。例例4、用一些长短相同的小木棍按图所式，连续摆正方用一些长短相同的小木棍按图所式，连续摆正方形或六边形要求每两个相邻的图形只有一条公共边。已形或六边形要
30、求每两个相邻的图形只有一条公共边。已知摆放的正方形比六边形多知摆放的正方形比六边形多4个，并且一共用了个，并且一共用了110个小个小木棍，问连续摆放了正方形和六边形各多少个？木棍，问连续摆放了正方形和六边形各多少个？图形图形连续摆放的个数连续摆放的个数(单位：个单位：个)使用小木棒的根数使用小木棒的根数 (单位单位:根根)正方形正方形x4+3(x-1)=3x+1六边形六边形y6+5(y-1)=5y+1关系关系正反方形比六边形多正反方形比六边形多 4 个个共用了共用了 110 根小木棍根小木棍1.1.一个两位数的十位数字与个位数字的和一个两位数的十位数字与个位数字的和是是7 7，如果这个两位数加上，如果这个两位数加上4545，则恰好成，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位数。数，求这个两位数。一辆汽车从甲地驶往乙地，途中要过一桥。用一辆汽车从甲地驶往乙地，途中要过一桥。用相同时间，若车速每小时相同时间，若车速每小时60千米，就能越过桥千米，就能越过桥2千米；若车速每小时千米；若车速每小时50千米，就差千米，就差3千米才到千米才到桥。问甲地与桥相距多远？用了多长时间？桥。问甲地与桥相距多远？用了多长时间？祝同学们学习进步祝同学们学习进步