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1、3.1.3函数的奇偶性1.了解函数奇偶性的含义.2.掌握判断函数奇偶性的方法.3.了解函数奇偶性与图像的对称性之间的关系.4.熟练运用函数的奇偶性研究函数的其他性质,如单调性.前提一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-xD条件f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)结论f(x)是奇函数f(x)是偶函数奇函数、偶函数的概念奇函数、偶函数的图像特征(1)奇函数图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形.(2)偶函数图像是以y轴为对称轴的轴对称图形.判断正误,正确的画“”,错误的画“”.1.f(x)是定义在R上的函数.若f(-1)=f(1),则f(x)一定是偶函数.(
2、)2.若f(x)为奇函数,则f(0)=0.()3.若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(|x|).()4.函数y=x2在x(0,+)上是偶函数.()5.若偶函数的图像不过原点,则它与x轴交点的个数一定是偶数.()6.不存在既是奇函数,又是偶函数的函数.()存在,f(x)=0,xR既是奇函数,又是偶函数.7.若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数就是偶函数.()函数f(x)=x2-2x,xR的定义域关于原点对称,但它既不是奇函数,也不是偶函数.已知函数f(x)=(x+1)(x-1),g(x)=x3-x,h(x)=.问题1.判断各个函数的奇偶性时,关键要注意什么?提示:注意函数的定义域.
3、2.函数f(x)=+的奇偶性是怎样的呢?提示:既是奇函数又是偶函数.如何判断函数的奇偶性(2)图像法:判断函数奇偶性的常见方法(1)定义法:分段函数奇偶性的判断判断分段函数f(x)奇偶性的一般方法是在一个区间上任取自变量,再向对称区间转化.若函数在x=0处有定义,还要验证f(0),即判断分段函数的奇偶性时必须判断每一段上函数是否都具有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)的特征.也可以作出函数图像结合对称性判断.拔高问题3.定义在R上的函数f(x),对于任意实数a、b都有f(a+b)=f(a)+f(b).如何判断函数f(x)的奇偶性?提示:令a=b=0f(0)=0;令a=-x,b=xf(
4、-x)=-f(x).破疑典例1.()判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=;(2)f(x)=|x-2|+|x+2|;(3)f(x)=思路点拨:先求函数的定义域,必要时化简函数解析式,再计算f(-x)并判断f(-x)与f(x)的关系,从而得出结论.解析(1)由1-x20,得-1x1,又|x+2|-20,x0,且x-4,函数f(x)的定义域D=x|-1x1,且x0,函数f(x)的定义域关于原点对称,且x+20,f(x)=,于是任取xD,都有f(-x)=-=-f(x),f(x)为奇函数.(2)函数f(x)=|x-2|+|x+2|的定义域为实数集R,关于原点对称.因为f(-x)=|-x-2|+|-x+
5、2|=|x+2|+|x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以函数f(x)=|x-2|+|x+2|是偶函数.(3)函数的定义域M=(-,0)(0,+),关于原点对称.任取xM,当x0时,-x0,则f(-x)=-=f(x);当x0,则f(-x)=-=f(x).综上可知,函数f(x)=是偶函数.易错警示判断奇偶性应先求定义域,必要时在定义域内化简解析式.解题时既要防止不化简解析式,判断不出f(-x)与f(x)的关系;又要防止不求定义域就化简解析式,导致不恒等变形得到错误结论.2.()设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明:f(x)+f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数.思路点
6、拨:先确定函数的定义域,再利用定义证明奇偶性.证明由于x(-l,l),因此也必有-x(-l,l),所以f(-x)的定义域也是(-l,l).设F(x)=f(x)+f(-x),G(x)=f(x)-f(-x),则F(x)与G(x)的定义域也是(-l,l),显然是关于原点对称的.又F(-x)=f(-x)+f(-(-x)=f(x)+f(-x)=F(x),G(-x)=f(-x)-f(-(-x)=f(-x)-f(x)=-f(x)-f(-x)=-G(x),所以F(x)为偶函数,G(x)为奇函数,即f(x)+f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数.3.()定义在R上的函数f(x),对于任意实数x1、x
7、2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)f(x2).判断f(x)的奇偶性.解析令x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x);令x2=0,x1=x,得f(x)+f(x)=2f(0)f(x).所以f(x)=f(-x),又f(x)的定义域为R,所以f(x)是偶函数.函数奇偶性的应用1.由函数的奇偶性求参数(1)函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法,也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质,要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数.2.根据函数的奇偶性求函数值利用函数的奇偶性求函数值时,
8、若所给函数具有奇偶性,则利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解;若所给的函数不具有奇偶性,一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数,然后利用其奇偶性求值.3.利用奇偶性求函数解析式的一般步骤(1)在哪个区间上求解析式,x就设在哪个区间.(2)把x对称转化到已知区间上,利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用函数的奇偶性把f(-x)改写成-f(x)或f(x),从而求出f(x).破疑典例1.()(1)若函数f(x)=为奇函数,则实数a=()A.B.C.D.1(2)已知f(x)=x5+ax3+bx-8且f(-2)=10,那么f(2)=.思路点拨:(1)利用奇函数的定义得到f(-1)
9、=-f(1),列出方程求出a;(2)构造出函数g(x)=f(x)+8,易得g(x)为奇函数,由f(-2)=10逐次求出g(-2)、g(2),可求f(2).答案(1)A(2)-26解析(1)f(x)为奇函数,f(-1)=-f(1),=,1+a=3(1-a),解得a=,故选A.(2)令g(x)=f(x)+8=x5+ax3+bx,易得g(x)为奇函数,f(-2)=10,g(-2)=10+8=18,g(2)=-18,f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.2.()函数f(x)在R上为奇函数,当x0时,f(x)=+1,求f(x)的解析式.思路点拨:设x0,结合f(-x)=-f(x),f(0)=0,可
10、求f(x)的解析式.解析设x0,f(-x)=+1,f(x)是R上的奇函数,f(-x)=-f(x),即-f(x)=+1,f(x)=-1,f(x)是R上的奇函数,f(0)=0,f(x)=1.函数的奇偶性与单调性的差异:奇偶性可理解为函数图像在定义域上的对称性,单调性反映函数在某一区间上函数值的变化趋势,奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的,这一点与函数的单调性不同,从这个意义上来讲,函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质,只有对定义域中的每一个x,都有f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x),才说f(x)是奇(偶)函数.2.奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数
11、在关于原点对称的区间上单调性相反.函数奇偶性与单调性的综合应用3.区间a,b和-b,-a关于原点对称.(1)若f(x)为奇函数,且在a,b上有最大值M,则f(x)在-b,-a上有最小值-M.(2)若f(x)为奇函数,f(x)+2在a,b上有最大值M,则f(x)+2在-b,-a上有最小值-M+4.4.利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小,关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的一个单调区间内,然后利用单调性比较.破疑典例()(1)定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1、x2(-,0(x1x2),有(x2-x1)f(x2)-f(x1)0,则当nN*时,有()A.f(-n)f(n-1)f(n+
12、1)B.f(n+1)f(-n)f(n-1)C.f(n-1)f(-n)f(n+1)D.f(n+1)f(n-1)f(-n)(2)若偶函数f(x)在区间0,+)上单调递增,则满足f(2x-1)f的x的取值范围是;(3)已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,其图像关于原点对称,且f(1-a)+f(1-2a)0,若x2-x10,则f(x2)-f(x1)0,即若x2x1,则f(x2)f(x1);若x2-x10,则f(x2)-f(x1)0,即若x2x1,则f(x2)nn-10,f(n+1)f(n)f(n-1),即f(n+1)f(-n)f(n-1),故选B.(2)f(x)是偶函数,f(x)=f(|x|),f(|2x-1|)f,f(x)在0,+)上单调递增,|2x-1|,解得x.(3)y=f(x)的图像关于原点对称,函数f(x)是奇函数.f(1-a)+f(1-2a)0,f(1-a)-f(1-2a)=f(2a-1),又y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,解得0a.a的取值范围是0a.