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1、3.3函数的应用(一)3.4数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点1.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题.2.了解如何从现实生活中发现问题,并通过数学建模解决实际问题.常见的函数模型(1)直线型:即一次函数模型;(2)抛物线型:即二次函数模型,二次函数的最值问题是高考中的永恒话题,现实生活中的最优、最省等问题也离不开二次函数;(3)分段函数型:由于实际问题在不同的范围内有不同的理解和意义,因此这种模型的应用也比较广泛.函数应用问题的解法流程数学建模活动流程判断正误,正确的画“”,错误的画“”.1.若一辆汽车匀速行驶2h,路程为140km,则该汽车0.5h行驶了35km.()
2、2.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则:(1)甲比乙先出发.()(2)乙比甲跑的路程多.()(3)甲、乙两人的速度相同.()(4)甲先到达终点.()商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(6-x),其中3x0,能否判断函数y=+10(6-x)的单调性?提示:能.当a0时,y=与y=10(6-x)在(3,6)上均为减函数,从而y=+10(6-x)在(3,6)上为减函数.2.当销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.如何确定函数的解析式?提示:依题意得x=5时,y=11,即+10=11,解
3、得a=2,所以函数的解析式为y=+10(6-x)(3-x6).如何解决已知函数模型的实际应用问题在实际问题中,涉及的两个变量之间的关系大多符合已知函数模型,如一次函数、二次函数、反比例函数等,解决这种函数应用问题的常见步骤如下:1.利用待定系数法求出函数解析式;2.根据函数解析式,结合题中需要研究的函数的性质解决实际问题.在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位.在根据实际问题得到二次函数的解析式后,可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.例如某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销量m(件)与每件
4、商品的售价x(元)满足一次函数m=162-3x.若要每天获得最大的销售利润,则每件商品的售价应定为()A.30元B.42元C.54元D.越高越好解析设日销售利润为y元,则y=(x-30)(162-3x),30 x54,将上式配方得y=-3(x-42)2+432,所以当x=42时,利润最大.答案B破疑典例()某个体经营者把开始六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.250.490.7611.261.51该经营者准备下月投入12万元经
5、营这两种商品,请你帮助制订一个资金投入方案,使该经营者获得最大纯利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).思路点拨:先利用已知数据画出散点图,然后根据散点图的形状选择函数模型,结合条件求出函数的解析式及定义域,最后由函数的解析式解决相关问题.解析以投资金额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图所示.由散点图可以看出A种商品所获纯利润y1(万元)与投资金额x(万元)之间的变化规律可以用二次函数模型拟合.取最高点(4,2),设y1=a(x-4)2+2(a0),把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0.15,所以
6、y1=-0.15(x-4)2+2(0 x12).B种商品所获纯利润y2(万元)与投资金额x(万元)之间的变化规律可以用一次函数模型拟合.设y2=kx+b(k0),将点(1,0.25)和(4,1)代入,得解得所以y2=0.25x(0 x12).设下个月投入A、B两种商品的资金分别为xA、xB(万元),获得的纯利润分别为yA、yB(万元),总利润为W(万元),则xA+xB=12,W=yA+yB=-0.15(xA-4)2+2+0.25xB,所以W=-+(0 xA0,还要使得自变量表示的其他量也有意义,如0等,防止出现定义域求错导致解题错误.2.()商场销售某一品牌的羊毛衫,购买人数是羊毛衫标价的一次
7、函数,标价越高,购买人数越少.把购买人数为零时的标价称为无效价格,已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件,商场以高于成本价的价格(标价)出售.(1)若商场要获得最大利润,则羊毛衫的标价应定为每件多少元?(2)通常情况下,获取最大利润只是一种“理想结果”,如果商场要获得最大利润的75%,那么羊毛衫的标价应为每件多少元?思路点拨:选择自变量与函数值求出解析式与定义域利用函数知识解决实际问题.解析(1)设购买人数为n,羊毛衫的标价为每件x元,利润为y元,则x(100,300,可设n=kx+b,易知k0,由题意知0=300k+b,即b=-300k,n=k(x-300),y=k
8、(x-300)(x-100)=k(x-200)2-10000k(x(100,300).k0,当x=200时,y最大,ymax=-10000k,即若商场要获得最大利润,则羊毛衫的标价应定为每件200元.(2)由题意及(1),知k(x-100)(x-300)=-10000k75%,化简得x2-400 x+37500=0,解得x=250或x=150,所以商场要获得最大利润的75%,羊毛衫每件的标价应为250元或150元.如何利用分段函数模型解决实际应用问题学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现,在40min的一节课中,注意力指数y与听课时间x(单位:min)之间的关系满足如图
9、所示的图像.当x(0,12时,图像是二次函数图像的一部分,其中顶点A的坐标为(10,80),图像过点B(12,78);当x12,40时,图像是线段BC,其中点C的坐标为(40,50).问题1.由图像确定注意力指数y与听课时间x之间的变化情况.提示:由题中图像知,当x(0,10时,y随x的增加而增大;当x(10,40时,y随x的增加而减小.2.如何确定当x(0,12时,函数f(x)的解析式?提示:当x(0,12时,依题意可设f(x)=a(x-10)2+80(a0).因为该部分图像过点B(12,78),将点B的坐标代入上式,解得a=-,所以f(x)=-(x-10)2+80(0 x12).3.如何确
10、定当x(12,40时,函数f(x)的解析式?提示:当x(12,40时,设f(x)=kx+b(k0).因为线段BC过点B(12,78),C(40,50),将它们的坐标分别代入上式,得方程组解得所以f(x)=-x+90(12x40).分段函数的解析式由几个不同的函数解析式组成,根据自变量取值范围的不同,由题设条件确定出不同的函数解析式.分段函数模型应用的关键是确定分段的边界点,即明确自变量的取值区间,对每一区间进行分类讨论,从而写出函数解析式.需注意分段函数的最值是各区间上所有最值中的最值.要注意结合实际问题的实际意义,有时还可结合图像求解.应用分段函数时的三个注意点:1.分段函数的“段”一定要分
11、得合理,不重不漏.2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.3.分段函数值域的求法:逐段求函数值的范围,经过比较后再下结论.拔高问题4.如何确定函数f(x)的解析式?提示:将函数用分段形式表示为f(x)=5.根据专家研究,当注意力指数大于62时,学习效果最佳.教师在什么时间段安排核心内容教学,能使得学生学习效果最佳?提示:由题意,得或解得4x12或12x28,即4x4时,4时,x,y=241.8+(3x-4)3+(5x-4)3=24x-9.6.所以y=(2)设y=f(x),由(1)知y=f(x)在各段区间上均单调递增,因此,当x时,yf26.4;当x时,yf26.4;当x时,令24
12、x-9.6=26.4,解得x=1.5.所以甲户该月的用水量为51.5=7.5(立方米),水费为41.8+3.53=17.7(元);乙户该月的用水量为31.5=4.5(立方米),水费为41.8+0.53=8.7(元).2.()提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时.研究表明:当20 x200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0 x200时,求函数v(x)的表
13、达式;(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时,f(x)=xv(x)可以达到最大?并求出最大值.(精确到1辆/时)思路点拨:自变量取不同值时,函数值有不同的求法选分段函数模型利用分段函数解决问题.解析(1)由题意,当0 x20时,v(x)=60;当20 x200时,设v(x)=ax+b(a0),由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)=(2)由题意及(1)可得f(x)=当0 x20时,f(x)为增函数,故当x=20时,f(x)取得最大值,最大值为6020=1200;当20 x200时,f(x)=x(200-x)=-x2+x=-(x2-200 x)=-(x-100)2+,所以当x=100时,f(x)在区间(20,200上取得最大值,最大值为.综上,当x=100时,f(x)在区间0,200上取得最大值3333,即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/时.