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1、3.1函数的概念与性质3.1.1函数及其表示方法1.理解函数的概念,了解函数构成的三要素.2.会求一些简单函数的定义域、值域.3.会用列表法、图像法、解析法来表示一个函数.函数的概念一般地,给定两个非空实数集A与B,以及对应关系f,如果对于集合A中的每一个实数x,在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应,则称f为定义在集合A上的一个函数函数的记法记作y=f(x),xA定义域x称为自变量,自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域值域所有函数值组成的集合yB|y=f(x),xA称为函数的值域函数的概念特别提醒:对于函数的概念,需注意以下几点:集合A,B都是非空实数集;集合A中元素的无剩余性;
2、集合B中元素的可剩余性,即集合B不一定是函数的值域,函数的值域一定是B的子集.同一个函数一般地,函数有三个要素:定义域,对应关系与值域.如果两个函数表达式表示的函数定义域相同,对应关系也相同(即对自变量的每一个值,两个函数表达式得到的函数值都相等),则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.特别提醒:两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同.函数的表示方法表示方法定义解析法用代数式或解析式来表示函数的方法列表法用列表的形式给出函数的对应关系的方法图像法用函数的图像表示函数的方法分段函数(1)概念如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为
3、分段函数.(2)三要素定义域:每一段上自变量的取值范围的并集.值域:所有函数值组成的集合.对应关系:在每一段上的对应关系不同.取整函数与常数函数函数代表形式定义域值域(高斯)取整函数f(x)=xRZ常数函数f(x)=CRC(常数)判断正误,正确的画“”,错误的画“”.1.已知定义域和对应关系就可以确定一个函数.()2.对于函数f(x),x1,x2A,当x1x2时,可能有f(x1)=f(x2).()3.函数的定义域和值域一定是无限集.()定义域和值域可以是有限集也可以是无限集.4.根据函数的概念,定义域中的一个自变量x可以对应着不同的函数值y.()根据函数的概念可知,对于定义域中的一个x值在值域
4、中只有唯一的y值和它对应.5.f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量.()6.y=是函数.()因为x的取值范围为空集,所以不是函数.7.利用解析法可以表示任意的函数.()8.函数的图像一定是定义域上一条连续不断的曲线.()9.分段函数就是多个函数.()10.任何一个函数都能用列表法表示.()如何求函数的定义域已知函数解析式求定义域(1)如果函数式是整式,那么在设有指明它的定义域的情况下,函数的定义域是实数集R.(2)如果函数式是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.(3)如果函数式是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.(4)如果函数式是
5、由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即求各部分范围的交集).(5)对于由实际背景确定的函数,其定义域要受实际问题的制约.求抽象函数的定义域求抽象函数的定义域,要明确以下几点:(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围.(2)函数f(x)的定义域是指x的取值范围,而不是(x)的取值范围.(3)f(t),f(x),f(h(x)三个函数中的t,(x),h(x)在对应关系f下的取值范围相同.(4)已知f(x)的定义域为A,求f(x)的定义域,实质是已知(x)的取值范围为A,求x的取值范围.(5)已知f(x)的定义域为B,求f(x)的定义域,实质是已知(x)中
6、的x的取值范围为B,求(x)的取值范围,此范围就是f(x)的定义域.(6)已知f(x)的定义域为C,求f(g(x)的定义域,实质是已知(x)中的x的取值范围为C,求出(x)的取值范围D,再令g(x)的取值范围为D,求出x的取值范围,此范围就是f(g(x)的定义域.破疑典例1.()求下列函数的定义域:(1)f(x)=+;(2)f(x)=;(3)y=;(4)y=-+.思路点拨:求函数的定义域就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围,可考虑列不等式或不等式组.解析(1)要使函数有意义,只需解得x,则函数的定义域为xx.(2)要使函数有意义,只需解得-2x2,且x1.则函数的定义域为x|-2x2且x
7、1.(3)依题意得解得x-2,且x-1,所以函数y=的定义域为x|x-2且x-1.(4)依题意得解得-x2,且x0,所以函数y=-+的定义域为x-x0)的定义域.思路点拨:根据抽象函数定义域的实质列出不等式(组)求解,对于含参数的抽象函数注意分类讨论.解析(1)由题意知函数f(2x+1)中2x+1的范围与函数f(x)中x的范围相同,1x3,2x+11,3,即x0,1,f(2x+1)的定义域为0,1.(2)x1,3,2x+13,7,f(x)的定义域为3,7.(3)x1,3,2x+13,7,3x3,7,即x,f(3x)的定义域为.(4)依题意有m0,-m0,1-m1+m,但m与1-m的大小不确定,
8、对m与1-m的大小讨论.若m=1-m,即m=,则x=m=;若m1-m,即m1-m,即m,则x,与题意不符.综上,0 x,求实数x的取值范围.思路点拨:根据y=f(x)与y=x的图像求解.解析由题意,只需y=f(x)的图像在y=x图像的上方即可.易知y=x与y=f(x)图像的交点坐标为(-1,-1),则只有当xx.2.()已知a0,f(x)=若f(1-a)=f(1+a),求a的值.思路点拨:分a0和a0时,1-a1,f(1-a)=f(1+a),2(1-a)+a=-1-a-2a,解得a=-(舍去);当a1,1+a1或x-1时,f(x)=1-x,则x-1.故x的取值范围是(-,-1).易错警示解决分段函数问题时,要防止选错解析式导致解题错误,对含参数的问题要进行适当的分类讨论.