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1、3.2函数与方程、不等式之间的关系1.理解函数零点的概念.2.初步了解函数的零点、方程的根、函数图像与x轴交点的横坐标之间的关系.3.掌握利用连续函数变号零点的性质求函数零点的近似解的一种计算方法二分法.4.在明确算法的情况下,能借助计算器用二分法求连续函数零点的近似解.函数的零点函数的零点定义如果函数y=f(x)在实数处的函数值等于零,即f()=0,则称为函数y=f(x)的零点等价关系方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零点二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像与零点的关系判别式0=00图像与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)(或(x
2、2,0)无交点零点个数210二次函数的图像与零点的关系函数零点存在定理函数零点的性质(1)当函数图像通过零点且穿过x轴时,函数值变号.(2)两个零点把x轴分为三个区间,在每个区间上所有函数值保持同号.函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间a,b上的图像是连续不断的,并且f(a)f(b)0(即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间(a,b)中至少有一个零点,即x0(a,b),f(x0)=0变号零点与不变号零点如果函数图像通过零点时穿过x轴,则称这样的零点为变号零点;如果函数图像通过零点时没有穿过x轴,则称这样的零点为不变号零点.二分法二分法的定义条件函数y=f(x)在区间a
3、,b上的图像是连续不断的,且f(a)f(b)0过程通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值.这种求函数零点近似值的方法称为二分法二分法的步骤1.开始确定区间a,b,验证f(a)f(b)0,给定近似的精度2.中点求区间a,b的中点c3.计算f(c)若f(c)=0,则c就是函数的零点若f(a)f(c)0,则令b=c(此时零点x0(a,c)若f(c)f(b)0,则令a=c(此时零点x0(c,b)4.判断是否达到精度:即若|b-a|2,则得到零点近似值;否则重复步骤24判断正误,正确的画“”,错误的画“”.1.任何函数都有零点.()例如y=这个
4、函数不存在零点.2.若函数f(x)满足f(a)f(b)0,则函数在区间a,b上至少有一个零点.()3.若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,则函数y=f(x)的零点为(x1,0),(x2,0).()由函数零点的定义可知,函数y=f(x)的零点为x1,x2,它们是实数,不是点.4.f(x)=x-只有一个零点.()由f(x)=0得x-=0,解得x1=1或x2=-1,所以函数f(x)=x-有两个零点.5.二分法所求出的方程的解都是近似解.()当区间中点的函数值为零时,用二分法求出的解就是精确解.6.函数f(x)=|x|可以用二分法求零点.()对于函数f(x)=|x|,不存在区间(a,b),使f
5、(a)f(b)0,则函数y=f(x)在(a,b)上一定没有零点吗?提示:这种说法不正确.如f(x)=(x-1)(x+1)在区间-2,2上满足f(-2)f(2)0,但f(x)在(-2,2)上存在两个零点.2.如何求函数的零点?提示:根据函数零点与方程根的关系知,函数的零点就是函数对应方程的根,所以可以通过求方程f(x)=0的根,得到函数的零点.函数的零点1.函数的零点、方程的根、函数图像与x轴的交点的横坐标,实质是同一个问题的三种不同表达形式,方程根的个数就是相应函数的零点的个数,也是该函数的图像与x轴交点的个数.对于零点应注意以下几点:(1)函数的零点是一个实数,当自变量取该值时,其函数值等于
6、零.(2)并不是所有函数的图像都与x轴有交点,因此不是所有的函数都有零点.如y=1,y=x2+1就没有零点.(3)若函数f(x)有零点,则零点一定在函数定义域内.(4)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标.2.函数图像的对称性与函数零点之和已知x0为函数f(x)的零点.(1)若函数f(x)为奇函数,则-x0也为函数f(x)的零点,故奇函数的所有零点之和为0.(2)若函数f(x)为偶函数,则-x0也为函数f(x)的零点,故偶函数的所有零点之和为0.(3)若函数f(x)的图像关于直线x=b对称,则2b-x0也为函数f(x)的零点,若该函数有2n个零点,
7、则该函数所有零点之和为2nb.破疑典例1.()(1)如果函数f(x)=ax-b(a0)有一个零点为3,那么函数g(x)=bx2+3ax的零点是;(2)若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是.思路点拨:先由函数的零点与方程的根的关系得出a,b的关系式或a,b的值,再解方程g(x)=0,即得零点.答案(1)0,-1(2)-,-解析(1)依题意知3a-b=0,即b=3a0,g(x)=bx2+3ax=3ax(x+1)=0,a0,x=0或x=-1.g(x)的两个零点为0,-1.(2)由题意知解得g(x)=-6x2-5x-1,令g(x)=0,即-6x2-
8、5x-1=0,解得x1=-,x2=-,g(x)的两个零点为-,-.2.()求下列函数的零点:(1)f(x)=x2-x-6;(2)f(x)=(3)f(x)=x3-2x2-x+2.思路点拨:求函数的零点就是求相应方程的根,三次方程一般可以借助因式分解求出方程的根.注意函数的零点是一个数,而不是一个点.解析(1)令x2-x-6=(x-3)(x+2)=0,解得x1=-2,x2=3,函数f(x)的零点是-2,3.(2)解法一(代数法):令x+1=0,得x=-1,但-10,+),故当x0时,函数f(x)无零点;令x-1=0,得x=1,但1(-,0),故当x0时,函数f(x)无零点.综上,函数f(x)=没有
9、零点.解法二(几何法):画出函数y=f(x)=的图像,如图所示.函数图像与x轴没有交点,函数f(x)=没有零点.(3)令x3-2x2-x+2=0,得x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x2-1)=(x-2)(x+1)(x-1)=0,解得x=-1或x=1或x=2,函数f(x)有3个零点,分别为-1,1,2.方法指导求函数零点的两种方法:(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根.(2)几何法:对于不易求根的方程,可以将它与函数的图像联系起来,图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.3.()讨论函数f(x)=(ax-1)(x-2)(aR)的零点.思路点拨:分别讨论a的值,求出f(x)=0的实数根
10、,得到零点.解析当a=0时,f(x)=-x+2,则零点为2.当a=时,由f(x)=(x-2)=0得x1=x2=2,则零点为2.当a0且a时,f(x)=(ax-1)(x-2)=0,解得x1=,x2=2,则零点为,2.观察函数y=f(x)的图像,并思考以下问题:问题1.函数y=f(x)有几个零点?提示:函数y=f(x)的图像与x轴有3个交点,所以函数y=f(x)有3个零点.2.函数y=f(x)在(0,3)上有几个零点?提示:函数y=f(x)在(0,3)上的图像与x轴有1个交点,所以函数y=f(x)在(0,3)上有1个零点.函数零点存在定理1.函数零点的性质如果函数的图像是连续不间断的,那么相邻两个
11、零点之间的所有函数值保持同号.2.如果连续函数(暂且理解为函数图像是一条连续不间断的曲线)在区间a,b上有f(a)f(b)0,那么存在c(a,b),使得f(c)=0,即方程f(x)=0必有一实数根x=c,c(a,b).注意:(1)存在只说明有零点,至于有几个需要结合其他知识来解决.(2)若函数f(x)满足:在区间a,b上的图像是连续的;f(a)f(b)0时,f(0)=2a,令2a1,解得0a.综上,a的取值范围是.(2)由题意可知,f(x)=令h1(x)=x2-(2a-1)x,其图像开口向上,对称轴为直线x=a-a,所以f(x)在(-,a)上单调递减.综上,f(x)在a,+)上单调递增,在(-
12、,a)上单调递减.(3)由(2)得f(x)在a,+)上单调递增,在(-,a)上单调递减,所以f(x)min=f(a)=a-a2.当a=2时,f(x)min=f(2)=-2,f(x)=令f(x)+=0,即f(x)=-(x0),当0 x-2.令g(x)=-(x0),则g(x)在(0,2)上单调递增,则g(x)=-2时,f(x)min=f(a)=a-a2,f(0)=2a4,而g(x)=-在x(0,a)上单调递增,当x=a时,g(a)=-,构造F(a)=f(a)-=a-a2+=.因为a2,所以F(a)0,所以f(a)=a-a22时,y=f(x)的图像与g(x)=-的图像在(0,+)内有两个交点.综上可
13、得,当a=2时,函数f(x)+在区间(0,+)内有一个零点;当a2时,f(x)+在区间(0,+)内有两个零点.方法指导判断函数零点个数的三种方法:(1)利用函数零点与对应方程根的关系,转化为解方程,有几个不同的实数根就有几个零点.(2)画出y=f(x)的图像,判断它与x轴交点的个数,从而判断零点的个数.(3)转化为两个函数图像交点问题.例如,函数F(x)=f(x)-g(x)的零点个数就是方程f(x)=g(x)的实数根的个数,也就是函数y=f(x)的图像与y=g(x)的图像交点的个数.2.()已知函数f(x)=|x2-2x-3|-a,求实数a取何值时,函数f(x):(1)有两个零点;(2)有三个
14、零点.思路点拨:画出函数图像,通过判断交点个数找出参数范围.解析令h(x)=|x2-2x-3|和g(x)=a,分别作出这两个函数的图像如图所示,它们交点的个数即函数f(x)=|x2-2x-3|-a的零点个数.(1)若函数有两个零点,则a=0或a4.(2)若函数有三个零点,则a=4.方法指导已知函数有零点(方程有根),求参数取值范围常用的方法:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离,然后转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图像,然后数形结合求解.二次函数零点的分布问
15、题二次函数零点问题可转化为一元二次方程根的分布问题,利用二次函数图像与x轴的交点情况来研究.一般从开口方向、对称轴位置、判别式的符号、端点函数值的符号等方面考虑.设f(x)=ax2+bx+c(a0),则f(x)的零点可用一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根来研究.设x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根(不妨设x1x2),判别式=b2-4ac,k,k1,k2,k3,k4(k1k2k3k4)是常数,则x1,x2的分布与系数之间的关系有以下几种情形:根的分布图像条件x1x2kkx1x2根的分布图像条件x1kx2f(k)0 x1,x2(k1,k2)续表x1,x2有且仅有一个在(
16、k1,k2)内f(k1)f(k2)0或或一个根在(k1,k2)内,另一个根在(k3,k4)内两个根均在(k1,k2)外破疑典例1.()已知二次函数f(x)=x2-2ax+4,分别求出下列条件成立的情况下,实数a的取值范围:(1)两个零点均大于1;(2)一个零点大于1,一个零点小于1;(3)一个零点在(0,1)内,另一个零点在(6,8)内.思路点拨:由零点的分布情况,结合二次函数的图像,从判别式、端点值、对称轴等因素列不等式(组),解不等式(组)得到参数的取值范围.解析(1)由已知并结合二次函数的图像,得解得2a,故实数a的取值范围是.(2)由已知并结合二次函数的图像得f(1)=5-2a,因此实
17、数a的取值范围是.(3)由已知并结合二次函数的图像与函数零点存在定理,得解得a,因此实数a的取值范围是.2.()已知x2+(m-3)x+m=0,分别求满足下列条件的实数m的取值范围.(1)程有两个正根;(2)方程有两个负根;(3)方程的两个根都小于1;(4)方程的一个根大于1,一个根小于1;(5)方程的两个根都在(0,2)内;(6)方程的两个根有且仅有一个在(0,2)内.解析(1)依题意有即0m1.(2)依题意有即m9.(3)依题意有即m9.(4)依题意有f(1)0,即2m-20,解得m1.(5)依题意有即m1.(6)依题意有即0m.方法指导解二次函数零点分布问题的策略:(1)首先画出符合题意
18、的草图.(2)结合草图考虑三个方面:与0的大小关系;对称轴与所给端点值的关系;端点的函数值与零的关系.(3)写出由题意得到的不等式(组).(4)由得到的不等式(组)去验证图像是否符合题意.观察图形,回答下列问题:问题1.若图中的线路出现故障,你能否设计一个维修方案来迅速查出故障所在?提示:能.循环减半,检验后保留可能有故障的段,继续减半检验,直到查出为止.2.解决此问题的方法体现了数学中的什么思想?提示:二分法思想.用二分法求方程的近似解或函数的零点给定精度,二分法求函数f(x)零点近似值的步骤:确定区间a,b:使区间长度尽量小;f(a)、f(b)的值比较容易计算,且f(a)、f(b)异号.求
19、区间(a,b)的中点x1:利用公式x1=即可.计算f(x1):若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;若f(a)f(x1)0,则零点x0(a,x1),此时令b=x1;若f(x1)f(b)0,则零点x0(x1,b),此时令a=x1.这一步的目的是缩小零点所在区间,也就是所谓的“二分”.判断是否达到精度:若|a-b|2,则得到零点近似值,否则重复第、步.助记法则:定区间,找中点,中值计算两边看;同号去,异号算,零点落在异号间;周而复始怎么办?精度上面来判断.拔高问题3.用二分法求方程的近似解时,如果给定了近似解所在的大致区间和精度,那么至少需要把区间一分为二的次数能否预判?预判的方法是什么?提示:
20、能.逐次计算把初始区间一分为二后的区间长度,计算达到精度时一分为二的次数即可.破疑典例1.()我国古代数学家秦九韶约在1247年发现了一种求高次方程根的近似解的算法,我们称之为秦九韶算法:在一定精度下,采用逐步分割含根区间使其分成许多小区间,并依次确定f(x)在分点处的符号,从而实现根的近似计算的方法.试用以上算法原理求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解(精度为0.1).思路点拨:构造函数f(x)=2x3+3x-3确定初始区间(a,b)二分法求方程的近似解验证|a-b|0.2是否成立下结论.解析令f(x)=2x3+3x-3,经计算,f(0)=-30,f(0)f(1)0,所以函数f(x)
21、在(0,1)内存在零点,即方程2x3+3x-3=0在(0,1)内有解.取(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)0,所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)内有解.如此继续下去,得到方程的正实数根所在的区间,如下表:(a,b)中点f(a)f(b)f(0,1)0.5f(0)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.6875f(0.625)0因为|0.75-0.625|=0.1250.2,所以方程2x3+3x-3=0的一个精度为0.1的正实数近似解为0.6875.方法指导根据函
22、数的零点与相应方程的解的关系,求函数的零点与求相应方程的解是等价的.求方程f(x)=0的近似解,即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解,可以通过移项转化成求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解,然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.2.()若函数y=f(x)在区间(a,b)上的零点用二分法按精度为求出的结果与精确到求出的结果相等,则称函数y=f(x)在区间(a,b)上的零点为“和谐零点”.试判断函数f(x)=x3+x2-2x-2在区间(1,1.5)上按=0.1用二分法逐次计算求出的零点是不是“和谐零点”.(参考数据:f(1.25
23、)-0.984,f(1.375)-0.260,f(1.4375)0.165,f(1.4065)-0.052)解析函数f(x)=x3+x2-2x-2在区间(1,1.5)上有f(1)=-20,f(1)f(1.5)0,故f(x)在(1,1.5)上有零点.令f(x)=0,即x3+x2-2x-2=0,所以(x+1)(x-)(x+)=0,解得x=-1或x=,所以f(x)在(1,1.5)上的零点为,故精确到0.1的零点为1.4.而根据二分法,将(1,1.5)分为(1,1.25),(1.25,1.5)两个区间,而f(1.25)-0.9842,继续下去,当f(x)的零点在区间(1.375,1.5)上时,区间长度为0.1252,此时零点的近似解可取=1.4375,显然不等于1.4,故求出的零点不是“和谐零点”.