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1、第第 4 4 章章线性控制系统的计算机辅助分析线性控制系统的计算机辅助分析4/8/20231系统的分析方法系统的分析方法n n充分利用计算机对线性系统进行分析n n更新系统分析的观念n n求解传统方法难以求解的问题n n离散系统稳定性如何分析？离散系统稳定性如何分析？n nNyquistNyquist图、图、NicholsNichols图没有频率信息，如何弥补？图没有频率信息，如何弥补？n n高阶系统的根轨迹如何绘制？高阶系统的根轨迹如何绘制？4/8/20232本章主要内容本章主要内容n n线性系统定性分析线性系统定性分析n n线性系统时域响应解析解法线性系统时域响应解析解法n n线性系统的数
2、字仿真分析线性系统的数字仿真分析n n根轨迹分析根轨迹分析n n线性系统频域分析线性系统频域分析4/8/202334.1 线性系统定性分析线性系统定性分析n n主要内容n n线性系统稳定性分析线性系统稳定性分析n n线性反馈系统内部稳定性分析线性反馈系统内部稳定性分析n n线性系统的相似变换线性系统的相似变换n n线性系统可控性分析线性系统可控性分析n n线性系统可观测性分析线性系统可观测性分析n nKalmanKalman分解分解n n系统状态方程的标准型系统状态方程的标准型4/8/202344.1.1 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析n n给定线性系统模型，如何分析稳定性？n n由
3、控制理论可知，用Routh表 可以判定该系统稳定性n nEdward John Routh(1831-1907)n n历史局限性4/8/20235状态方程系统的稳定性状态方程系统的稳定性n n连续线性状态方程n n解析阶n n稳定性：矩阵的特征根均有负实部4/8/20236离散系统的稳定性离散系统的稳定性n n离散系统状态方程n n离散系统时域响应解析阶n n稳定性判定：所有特征根均在单位圆内4/8/20237Routh 判据的历史局限性判据的历史局限性n nRouth判据提出时，没有求多项式根的方法n n现在求解矩阵特征根、求解多项式方程的根轻而易举，无需间接方法n nRouth判据只能得出
4、是否稳定，进一步信息得不出来，如系统是否振荡n n离散系统无法由Routh方法直接判定，得借助于Jury判据，更复杂n n稳定性分析方法不统一4/8/20238基于基于 MATLAB 的稳定性判定方法的稳定性判定方法n n直接判定n n状态方程模型状态方程模型n n由由 可以求出所有特征根可以求出所有特征根n n离散系统：离散系统：n n传递函数模型：完全同样方法传递函数模型：完全同样方法n n图解判定法n n连续系统：连续系统：n n离散系统：离散系统：，同时画出单位圆，同时画出单位圆4/8/20239例4-1 高阶系统稳定性判定n n直接分析方法n n零极点模型4/8/202310例4-2
5、 高阶离散单位负反馈系统模型n nMATLAB 求解4/8/2023114.1.2 线性反馈系统的内部稳定性线性反馈系统的内部稳定性n n输入、输出稳定是不够的，因为若内部信号可能过大，对系统的硬件破坏n n应该引入内部稳定性概念，保证内部信号也是稳定的。4/8/202312n n由给定稳定输入 到内部信号 都稳定的系统称为内部稳定系统n n传递函数矩阵 其中n n逐一判定每个子传递函数的稳定性很烦琐n n内部稳定性定理4/8/202313内部稳定性定理内部稳定性定理n n闭环系统内部稳定的充要条件为n n 没有不稳定零点没有不稳定零点n n 没有不稳定零极点对消没有不稳定零极点对消n n第一
6、个条件等效于输入输出稳定性n n判定第2条件即可n n可以编写MATLAB函数判定内部稳定性4/8/202314n n判定的 MATLAB 函数4/8/2023154.1.3 线性系统的线性相似变换线性系统的线性相似变换n n系统的状态方程表示称为系统实现n n不同状态选择下，状态方程不惟一n n相似变换n n非奇异矩阵非奇异矩阵n n状态变换状态变换n n新状态方程模型新状态方程模型4/8/202316n n状态变换公式n nMATLAB 求解方法4/8/202317例4-3 已知系统和转换矩阵n nMATLAB 求解4/8/202318n n变换结果n n可见，相似变换能改变系统的结构n
7、n引入相似变换矩阵，可以将已知系统转换成其他的形式4/8/2023194.1.4 线性系统的可控性分析线性系统的可控性分析n n可控性定义可控性定义n n n n系统的可控性就是指系统内部的状态是不是可以由外系统的可控性就是指系统内部的状态是不是可以由外部输出信号控制的性质，部输出信号控制的性质，4/8/202320线性系统的可控性判定线性系统的可控性判定n n可控性判定矩阵n n n n基于 MATLAB 的判定方法n n构造可控性判定矩阵4/8/202321例4-4 离散状态方程的可控性n nMATLAB 求解4/8/202322n n判定矩阵n n判定矩阵构造方法n n这样的判定方法同样
8、适合于连续系统和离散系统。也适用于多变量模型4/8/202323由由 Gram 矩阵判定可控性矩阵判定可控性n n引入可控 Gram 矩阵n n该矩阵满足 Lyapunov 方程n nMATLAB 求解n n矩阵构造4/8/202324例4-5 求 Gram 矩阵n nMATLAB 命令n nGram 矩阵4/8/202325可控性阶梯分解可控性阶梯分解n n对于不完全可控的系统阶梯分解n n阶梯标准型n nMATLAB 函数调用n n若原系统状态方程完全可控，则不必分解4/8/202326例4-6 不完全可控系统4/8/2023274.1.5 线性系统的可观测性分析线性系统的可观测性分析n
9、n可观测性定义可观测性定义n n n n系统的可观测性就是指系统内部的状态是不是可以系统的可观测性就是指系统内部的状态是不是可以由系统输出信号重建起来的性质由系统输出信号重建起来的性质4/8/202328可观测性判定可观测性判定n n判定矩阵n n等同于 系统可控性判定n nGram 矩阵n nMATLAB 求解4/8/202329n nGram 矩阵满足 Lyapunov 方程n n对偶问题4/8/2023304.1.6 Kalman 规范分解规范分解n nKalman 规范分解4/8/202331n n子空间n n示意图4/8/2023324.1.6 系统状态方程标准型的系统状态方程标准型
10、的MATLAB 求解求解n n常用标准型n n单变量系统的标准型单变量系统的标准型n nMATLAB MATLAB 默认的标准型默认的标准型n n可控标准型实现可控标准型实现n n可观测标准型实现可观测标准型实现n n和和 Jordan Jordan 标准型实现标准型实现n n多变量系统多变量系统 LeunbergeLeunberge 标准型标准型n n侧重点：如何用 MATLAB 直接获取标准型4/8/202333单变量系统的标准型单变量系统的标准型n n可控标准型n n可观测标准型4/8/202334n n可控可观测标准型转换4/8/202335n n可控标准型和可观测标准型，对偶关系4/
11、8/202336Jordan 标准型标准型n n n n n nMATLAB 变换 4/8/202337多变量系统的多变量系统的 Leunberge 标准型标准型n n由可控性判定矩阵n n构造矩阵4/8/202338n n得出 Leunberge 变换矩阵n n编写 leunberge.m 函数4/8/202339n nMATLAB 函数清单4/8/2023404/8/202341标准型的变换方法总结标准型的变换方法总结n n可控标准型n n可观测标准型n nJordan 标准型n nLeunberge 标准型4/8/202342例4-7n n求解可观测标准型n n标准型4/8/202343
12、例4-8 已知模型4/8/2023444.2 线性系统时域响应解析解法线性系统时域响应解析解法n n给线性系统一个激励信号，输出是什么？n n有两大类方法n n解析解方法解析解方法n n求解微分方程、差分方程解析解求解微分方程、差分方程解析解n n数值解方法数值解方法n n主要内容n n基于状态方程的解析解方法基于状态方程的解析解方法n n基于传递函数部分方式展开的解析解方法基于传递函数部分方式展开的解析解方法n n二阶系统的解析解方法二阶系统的解析解方法4/8/2023454.2.1 基于状态方程的解析解方法基于状态方程的解析解方法n n状态方程模型n n解析解n n求解难点4/8/2023
13、46状态增广方法状态增广方法n n消除B 矩阵，变成自治系统n n n n增广状态方程n n自治系统 可以直接求解析解4/8/202347一般输入信号的系统增广一般输入信号的系统增广n n一般输入信号模型n n引入增广状态变量4/8/202348n n增广状态方程模型其中n n解析解4/8/202349n nMATLAB 实现函数4/8/202350n n调用格式n n信号描述 4/8/202351例4-10 连续系统模型n n初值n n输入信号n n求解析解4/8/202352n n系统增广n n增广模型4/8/202353n n解析解求解n n解析解求解结果n n稳定性4/8/202354
14、4.2.2 基于部分分式展开方法求解基于部分分式展开方法求解n n连续系统的解析解法n n n n n n无重根时部分方式展开4/8/202355n n由 Laplace 反变换求解析解n n有重根时n n相应项的解析解为4/8/202356n n部分分式的 MATLAB 求解例4-10 输入信号为阶跃信号n n输出信号计算4/8/202357n nMATLAB 求解n n解析解n n解析解精确值（rat()）4/8/202358例4-11 带有复数极点的系统n n阶跃响应解析解n n解析解4/8/202359解析解的进一步化简解析解的进一步化简n n基于基于 Euler Euler 公式的化
15、简公式的化简其中其中n n新新 MATLAB MATLAB 函数函数n n n n 4/8/202360新新 MATLAB 函数清单函数清单4/8/202361例4-12 仍考虑n nMATLAB 求解n n解析解4/8/202362基于基于 Laplace 变换的求解变换的求解n n参附录 An n步骤：n n定义符号变量定义符号变量n n描述原函数表达式描述原函数表达式n n调用调用 laplacelaplace()()函数或函数或 ilaplaceilaplace()()函数求解函数求解n n结果化简，如结果化简，如 simple()simple()函数函数n n求解举例4/8/2023
16、63n n例1n nMATLAB 求解n n解析解4/8/202364n n例2n nMATLAB 求解n n解析解4/8/202365离散系统的解析解法离散系统的解析解法n nZ 变换n n无重根时无重根时n n部分分式展开部分分式展开n n解析解解析解4/8/202366n n考虑采样周期例4-134/8/202367n n输出信号n n解析解n nZ变换求解步骤n n定义符号变量定义符号变量n n调用调用 iztransiztrans()()函数求解函数求解n n化简化简4/8/202368n n利用符号运算工具箱求解n n求解结果n n方法更规范，结果更简单4/8/202369有重根问
17、题的解析解有重根问题的解析解n n部分分式表达式的Z反变换例4-15n n部分分式展开4/8/202370n n部分分式展开n n解析解4/8/202371n n符号运算求解n n解析解n n更直观，不建议用前者求解，而直接采用Z变换的符号运算方法求解4/8/202372时间延迟系统的解析解法时间延迟系统的解析解法n n n n n n n n 例4-16 4/8/202373n n无延迟解析解n n有延迟解析解4/8/2023744.2.3 二阶系统的阶跃响应及二阶系统的阶跃响应及 阶跃响应指标阶跃响应指标n n二阶系统模型n n闭环模型n n记 则4/8/202375阶跃响应的解析解阶跃响
18、应的解析解n n无阻尼振荡n n欠阻尼振荡n n临界阻尼振荡n n过阻尼振荡4/8/202376n n二阶系统阶跃响应曲线4/8/202377利用图形绘制功能，从新角度研究利用图形绘制功能，从新角度研究同样的问题同样的问题n n三维曲面绘制4/8/202378阶跃响应指标阶跃响应指标n n超调量超调量n n稳态值稳态值n n上升时间上升时间n n调节时间调节时间n n好的伺服控制系统，应该具有稳态误差小或没有稳态好的伺服控制系统，应该具有稳态误差小或没有稳态误差、超调量小或没有超调量、上升时间短、调节误差、超调量小或没有超调量、上升时间短、调节时间短等性能时间短等性能4/8/2023794.3
19、 线性系统的数字仿真分析线性系统的数字仿真分析n n线性系统的解析解可以求解的条件n n4 阶以上的系统需要求解 4 阶以上的多项式方程，根据 Abel 定理，无解析解。n n解析解和数值解结合n n实际应用需要数值解，需要阶跃响应曲线n n主要内容n n线性系统的阶跃响应与脉冲响应线性系统的阶跃响应与脉冲响应n n任意输入下系统的响应任意输入下系统的响应4/8/2023804.3.1 线性系统的阶跃响应与脉冲响应线性系统的阶跃响应与脉冲响应n n阶跃响应曲线绘制函数n n多系统曲线绘制4/8/202381例4-16 延迟系统n nMATLAB 语句n n利用 MATLAB 提供的功能，可以从
20、曲线上得到更多的信息，如超调量等4/8/202382n nMATLAB 求解解析解n n解析解n n数值解精度比较4/8/202383例4-17 离散化采样周期n n求解4/8/202384n nZOH 变换n nTustin 变换，不同采样周期4/8/202385系统的脉冲响应曲线系统的脉冲响应曲线n nMATLAB 下的 impulse()函数与 step()函数调用结构完全一致n nMATLAB 求解n n可以容易地研究系统的脉冲响应曲线4/8/2023864.3.2 任意输入下系统的响应任意输入下系统的响应n n可以利用 step()和 impulse()函数求解n n输出信号计算输出
21、信号计算n n如如 R(s)R(s)已知，则可以直接求解已知，则可以直接求解例4 斜坡响应4/8/202387n n n n n n n nMATLAB 求解n n其他输入的响应可以由 lsim()函数求取4/8/2023884.4 根轨迹分析根轨迹分析n n n n n n 单位负反馈n n 闭环系统特征方程n n 对 K 的不同取值，则可能绘制出每个特征 根变化的曲线，这样的曲线称为系统的根轨迹。n n 根轨迹用开环信息研究闭环特性4/8/202389n nMATLAB 求解n n该函数可以用于单变量不含有时间延迟的连续、离散系统的根轨迹绘制，也可以用于带有时间延迟的单变量离散系统的根轨迹
22、绘制。4/8/202390例4-24 开环系统n nMATLAB 求解n n如何求解临界增益？n n闭环系统稳定性如何变化4/8/202391例4-25 n n根轨迹求解n n求出阻尼在 处的增益n n临界增益处阶跃响应4/8/202392例4-26 离散系统根轨迹根轨迹绘制4/8/202393例4-27 离散系统模型n nMATLAB 求解 n n临界增益求取4/8/202394n n延迟系统用 Pade 近似处理例4-29 正反馈系统n nMATLAB 求解4/8/2023954.5 线性系统频域分析线性系统频域分析n n频域分析n n NyquistNyquist 1932 1932n
23、n Bode Bode，Nichols Nichols 提出的新图形方法提出的新图形方法n n主要内容n n单变量系统的频域分析单变量系统的频域分析n n利用频率特性分析系统的稳定性利用频率特性分析系统的稳定性n n系统的幅值裕度和相位裕度系统的幅值裕度和相位裕度n n多变量系统的频域分析多变量系统的频域分析4/8/2023964.5.1 单变量系统的频域分析单变量系统的频域分析n n n n三种表示方法n n 实部与虚部关系曲线即为实部与虚部关系曲线即为 NyquistNyquist 图图 NyquistNyquist 图图的缺陷：无对应频率信息的缺陷：无对应频率信息n n 横轴对数坐标横轴
24、对数坐标 rad/srad/s，纵轴分贝、度，纵轴分贝、度，Bode Bode 图图n n 幅值与相位关系，幅值与相位关系，Nichols Nichols 图，无频率信息图，无频率信息4/8/202397n n Nyquist 曲线绘制n n grid 命令绘制等 M 和等 N 圆4/8/202398n nBode 图绘制n nNichols 图由 nichols()函数绘制n n可以同样处理连续、离散、延迟、多变量系统，格式不变4/8/202399例4-30 开环传递函数n nNyquist 曲线绘制n nMATLAB 曲线特色n n 读取频率信息；频率范围读取频率信息；频率范围4/8/20
25、23100n nBode 图绘制n n快捷菜单读取特性快捷菜单读取特性n n Nichols 图的绘制n n用鼠标读取频率信息用鼠标读取频率信息n n弥补了传统弥补了传统 Nichols Nichols 图的不同图的不同其他频域响应曲线其他频域响应曲线4/8/2023101例4-31 对下面模型离散化，n nMATLAB 求解n n不同采样周期的离散模型 Bode 图4/8/2023102例4-32 离散系统n n Nyquist 图与 Nichols 图4/8/2023103例4-33 延迟系统模型n nMATLAB 求解4/8/20231044.5.2 利用频率特性分析系统利用频率特性分析
26、系统的稳定性的稳定性n n n nNyquist 定理可以进一步解释为n n 4/8/2023105n n n n n n可以用开环的系统模型，绘制 Nyquist 图并以此分析闭环系统的稳定性。4/8/2023106例4-34 n nNyquist 图n n闭环阶跃响应4/8/20231074.5.3 系统的幅值裕度和相位裕度系统的幅值裕度和相位裕度n n幅值裕度和相位裕度 相位裕度 幅值裕度4/8/2023108稳定性裕度分析稳定性裕度分析n n如果系统的 Nyquist 图不与负实轴相交，则系统的幅值裕度为无穷大。n n n n如果系统的 Nyquist 图不与单位圆相交，则系统的相位裕
27、度为无穷大。4/8/2023109n n如果系统的 Nyquist 图在第三象限与单位圆有若干个交点，则系统的相位裕度以与离负实轴最近的为准。n nMATLAB 求解方法n n如果某个裕度为无穷大，则返回 Inf，相应的频率值为 NaN。4/8/2023110例4-35n nMATLAB 求解n n n n由于幅相裕度小，系统闭环响应有强振荡4/8/2023111本章主要内容本章主要内容n n MATLAB 的使用为控制系统的分析提供了有力的工具，在控制系统发展初期，由于没有这样的强有力工具，出现了很多间接的方法，例如控制系统的稳定性分析以往的 Routh 判据可以完全由直接求根的方法取代，对
28、控制系统来说，用 eig()就可以直接求出系统的特征根，并给出了反馈控制系统的内部稳定性概念与判定方法。4/8/2023112n n利用 MATLAB 这样 的工具还可以直接对控制系统的可控性、可观测性等进行直接判定，还介绍了系统的可控性、可观测性阶梯分解、Kalman 分解、Leunberge 标准型转换等，并介绍系统的范数测度及计算。n n本章介绍了线性系统的解析解算法，包括基于状本章介绍了线性系统的解析解算法，包括基于状态方程的解析解方法和基于部分分式展开技术的态方程的解析解方法和基于部分分式展开技术的解析解方法，分别就连续系统和离散系统等问题解析解方法，分别就连续系统和离散系统等问题进
29、行了探讨，还介绍了改进的部分分式展开方法，进行了探讨，还介绍了改进的部分分式展开方法，从而可以得出更可读的解析解。从而可以得出更可读的解析解。n n由典型二阶系统的阶跃响应定义了系统的一些响由典型二阶系统的阶跃响应定义了系统的一些响应指标，如超调量、调节时间等，还介绍了这些应指标，如超调量、调节时间等，还介绍了这些指标的求解方法。指标的求解方法。4/8/2023113n n连续和离散系统的阶跃响应曲线可以直接由连续和离散系统的阶跃响应曲线可以直接由MATLAB MATLAB 给出的给出的 step()step()函数直接绘制出来，还可函数直接绘制出来，还可以用函数就可以绘制出系统的脉冲响应曲线
30、，还以用函数就可以绘制出系统的脉冲响应曲线，还可以用函数都可以用于系统在任意输入下的时域可以用函数都可以用于系统在任意输入下的时域响应，这些函数均可以用于所有能用响应，这些函数均可以用于所有能用 MATLAB MATLAB 下下线性时不变对象描述的线性系统时域分析。线性时不变对象描述的线性系统时域分析。n n根轨迹分析是单变量系统稳定性分析与控制系统根轨迹分析是单变量系统稳定性分析与控制系统校正的一种有用方法，用校正的一种有用方法，用 rlocusrlocus()()函数就可以直函数就可以直接绘制出单变量连续与离散系统的根轨迹曲线，接绘制出单变量连续与离散系统的根轨迹曲线，并可以直接从根轨迹上读取临界稳定增益值。这并可以直接从根轨迹上读取临界稳定增益值。这样的方法还可以直接应用于绘制带有时间延迟的样的方法还可以直接应用于绘制带有时间延迟的离散系统根轨迹绘制中。离散系统根轨迹绘制中。4/8/2023114n n从频域响应中复数的几种表示方法引入了 Nyquist图、Bode 图和 Nichols 图，并介绍了在 MATLAB控制系统工具箱中如何绘制这些图形的方法，介绍了应用频域响应进行闭环系统稳定性分析的方法，还介绍了幅值裕度和相位裕度的求取函数 margin()，这些方法可以直接求解连续和离散单变量系统的频域响应分析。4/8/2023115