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1、第4章 基于状态空间模型的极点配置设计方法1、连续控制对象模型的离散化 （1）不带延时的连续控制对象模型的离散化 （2）包含延时的连续控制对象模型的离散化2、矩阵指数及其积分的计算3、按极点配置设计控制规律4、按极点配置设计观测器 （1）预报观测器 （2）现时观测器 （3）降阶观测器4.4 控制器的设计问题：设计控制规律时：则实际闭环系统是否具有按极点配置设计控制规律时所要求的性能？即设计控制规律时所给定的n个极点，是否仍是实际闭环系统的极点？控制对象：（1）观测器（预报观测器）：实际应用时：（2）控制规律：（3）求闭环系统状态方程。令闭环系统的状态为：于是得到：结合（5）（6）式，可以得到闭
2、环系统的状态方程为：其中（4）（5）（6）（7）（8）从而得到闭环系统的特征方程为：（第二列加到第一列）（第二行减去第一行）结论：闭环系统的2n个极点由两部分组成：一部分是设计控制规律时所给定 的n个极点即控制极点；另一部分是设计观测器时所给定的n个极点即 观测器极点。此即为分离性原理。（9）说明：1、控制极点决定闭环系统的主要性能，是整个闭环系统的主导极点；观测器 极点通常将使系统的性能变坏，因此为减小其影响，应使得观测器极点所 决定的状态重构的跟随速度远远大于控制极点所决定的系统的响应速度，极限情况下可将观测器极点均放置在原点，这时状态重构具有最快的跟随 速度。2、若测量输出存在误差或测量
3、噪声，则状态重构的跟随速度越快，测量误差 对系统的影响也越大。如下式：则闭环系统状态方程为：其中因此观测器的极点应根据对闭环系统的整个性能要求来综合考虑。极点配置设计调节系统控制器步骤：1、按对系统性能要求给定n个控制极点；2、按极点配置设计出控制规律L；3、合适地给定观测器的极点：（1）对于全阶观测器需给定n个极点，对于降阶观测器需给定n-1个极点；（2）若测量中不存在较大的误差或噪声，则可将所有观测器极点放置在 原点；（3）若测量中包含较大的误差或噪声，则可考虑按状态重构的跟随速度 比控制极点所对应的系统响应速度快45的要求给定观测器的极点。4、选择观测器的类型：（1）若测量比较准确，而且
4、测量量是状态向量的一个状态，则考虑用降阶 观测器；（2）若控制器的计算延时与采样周期的大小处于同一量级，则可考虑用 预报观测器；（3）若控制器的计算延时远远小于采样周期，则可考虑用现时观测器。5、根据给定的观测器极点及所选定的观测器类型计算增益矩阵K。例4.6：控制对象：要求按极点配置的方法设计控制器。解：（1）连续对象状态方程：取则系统状态为：其中系统存在测量噪声，计算延时远远小于采样周期。（2）离散化状态方程为：其中（3）控制规律L：由得到：于是控制规律特征多项式为：所以控制规律：（4）观测器：根据已知条件，选用全阶现时观测器，即由于存在噪声，按观测器极点所对应的衰减速度比控制极点所对应的
5、衰减速度快约5倍。选观测器所对应的极点为：从而得到观测器的特征方程为：从而得到：4.5 跟踪系统设计一、调节系统与跟踪系统控制器控制对象u(k)y(k)图 1 调节系统结构图控制对象：（1）控制器方程：（预报观测器）（2）控制器控制对象u(k)y(k)图 2 跟踪系统结构图设计路线：r(k)1、用设计调节系统的方法，按极点配置设计观测器和控制规律，保证 系统具有满意的稳定性和调节性能；2、在控制器内以适当的方式引入参考输入，以使系统具有满意的跟踪 性能和稳态精度。引入参考输入r(k)后控制器的形式：（3）其中 L-按极点配置设计的控制规律K-按极点配置设计的观测器的增益矩阵M、N-矩阵系数设系
6、统为单输入/单输出系统，则r(k)、u(k)和y(k)的维数为1，x(k)的维数为n，系数矩阵M为 列向量，N为标量。问题：1、按（3）式引入参考输入，系统是否具有按极点配置所具有的性能？2、如何确定系数矩阵M和N？问题1的解决：结合（1）（3）式，（1）式可重写为：（4）式（3）重写为：（5）结合上面两式，并令：（6）于是闭环系统的状态方程为：（7）其中：则闭环系统的特征方程为：（8）（9）结论：外界参考输入的引入并没有影响闭环系统的极点，亦即闭环系统的 极点仍然是按极点配置设计控制规律和设计观测器的极点。问题2解决思路：二、参考输入的引入方式方式1：合适地选择M和N，以使上式中的 仍为系统
7、的状态重构，即 状态重构误差不依赖与 r，此为比较常用的引入参考输入的方式。引入参考输入r(k)后控制器的形式，即式（3）：该方式没有改变 的含义，即为系统状态x(k)的状态重构，某些情况下可以通过 的某些分量来监视实际系统的状态。确定参考输入引入方式确定M/N确定N确定M方式1对系数矩阵M和N的要求：合适地选择M和N，以使它们不影响状态重构误差。（10）为使状态重构误差不依赖于r(k)，则必须有：或（11）（12）通过对系统静态增益的要求来确定N，进而确定系数矩阵M。方式2：合适地选择M和N，以使得控制器方程中只用到参考输入与输出之间 的误差量 。方式2中，要求控制器方程中只出现误差项，由（
8、3）式得到：（13）于是，控制器的方程变为：（14）控制器控制对象+_r(k)e(k)y(k)图 3 仅用误差控制的跟踪系统结构图u(k)此即为利用误差进行控制的形式。该方式中，系数矩阵M和N为确定的方式，无需进一步选择。于是，图2跟踪系统的结构图变为：方式3：任意选择系数矩阵M和N，以使系统具有满意的动态和静态跟踪性能。由于参考输入的引入不影响闭环系统的特征方程，因此M和N的选择不影响闭环系统的极点，其作用是调整闭环系统的零点位置以使系统具有满意的静态精度。闭环零点越接近z=1，越大，小，但超调量增大。系统速度品质系数与闭环系统零点的关系：结论：1、方式1-已确定，需进一步确定N；2、方式2
9、-M和N完全确定（确定）；3、方式3-需要进一步确定（M和N都不确定）。三、根据零点配置选择 （方式3中的 ）D1(z)G(z)+r(k)y(k)图 4 跟踪系统的传递函数结构图u(k)D2(z)控制器图2所示的跟踪系统的结构图可以表示成如下形式：由式（1），有（15）由式（3），有（16）（17）于是，有（18）由图4，得到：（19）可见，闭环系统的零点由两部分组成：（1）控制对象固有的零点（B(z)的根）（2）输入前馈传递函数D1(z)的零点（B1(z)的根）闭环系统的极点则由式（19）的分母多项式决定。由于参考输入的引入不影响闭环系统的极点，因此：（20）由于闭环系统的零点等于B(z)和
10、B1(z)的零点，由于B(z)式是对象固有的零点，与参考输入无关，因此问题归结为：如何选择 ，使B1(z)具有所需要的零点（即D1(z)的零点）。亦即根据D1(z)零点配置，求出 。求D1(z)零点与 的关系：由（16）式，得到D1(z)的零点多项式方程为：即其中 为D1(z)的零点多项式，（21）（22）（23）（24）由（22）式，参考求解观测器增益K的计算机辅助求解算法，即 得到：（25）根据闭环系统跟踪性能的要求（如 ）给定D1(z)的零点，即给定 ，则由上式进而求出 。方式1 中D1(z)零点的情况：对于方式1，有将其代入（22）式，得到（26）即（27）于是有（28）因此，对于方式
11、1，即参考输入的引入不影响状态重构的情况，D1(z)的零点完全抵消了观测器的极点。从物理意义上来说，因为状态重构的误差不依赖于参考输入r(k)，也就是说，观测器的状态重构误差 不受r(k)的控制，或者说，观测器是不能控的子系统，因此反映在闭环传递函数中，观测器的极点被零点抵消。四、根据静态增益选择N（方式1和方式3）解决方案：根据对闭环系统静态增益的要求来确定N。对于跟踪系统，要求对于阶跃输入无稳态误差，即满足：（29）根据式（19）（16）（17）及（24），得到（30）其中（根据式（15）（31）由式（30）及H(1)=1的要求，得到（32）若对象中包含积分环节，即 ，则（32）式简化为：
12、（33）总结：不同参考输入引入方式下M和N的选择：（1）对于方式1，即参考输入引入不影响状态重构的情况，N由式（32）或（33）确定。（2）对于方式2，即仅利用误差控制的情况，。（3）对于方式3，根据对D1(z)的零点配置由式（25）确定，N由式 （32）或（33）确定。五、一般控制器结构时M和N的选择问题：以上只是对于采用预报观测器结构形式的控制器时M和N的选择，对于 一般结构的控制器，如何引入参考输入及选择相应的M和N？一般结构控制器标准状态方程：（34）对于具有预报观测器的控制器：（35）其对应关系为：（36）对于具有现时观测器的控制器：（37）令，则对应关系为：（38）对于具有降阶观测
13、器的控制器：（39）其对应关系为：（40）根据一般结构控制器标准状态方程，针对三种参考输入的引入方式，M和N的选择方法如下：1、方式1，即参考输入的引入不影响观测器的状态重构的情况。对于预报观测器，有（41）对于现时观测器，有对于降阶观测器，有（42）（43）（1）的选择：（2）N的选择：（44）若对象中包含积分环节，上式简化为：（45）2、方式2，即仅用误差进行控制，此时有（46）3、方式3，任意选择M和N，以满足零点配置及静态精度的要求。若给定D1(z)的零点多项式 ，则有由此得到：（47）（48）N值由（44）式或（45）式确定。六、设计举例例 4.7：对象为双积分环节，要求按跟踪系统进
14、行设计，并希望参考输入的引入 不影响系统的状态重构，控制器采用降阶观测器结构。解：根据以前的计算结果，有化成具有降阶观测器结构的控制器标准状态方程，有由于采用参考输入引入方式1，即状态重构不受 r 的影响，从而有：由于控制对象中包含有积分环节，从而可以得到：进一步得到：从而求得前馈控制器为：反馈控制器为：例 4.8：控制对象为：根据以前的计算结果，有L为按极点配制设计的反馈控制规律，K为现时观测器矩阵。要求：进行跟踪系统的设计，以方式1和方式2分别引入参考输入，确定M和N。化成具有现时观测器结构的控制器标准状态方程，有（1）方式1，求M和N，进而求出控制器D1(z)和D2(z)。控制对象中包含积分环节，故进一步，有：从而求得前馈控制器为：反馈控制器为：（2）方式2，求M和N，进而求出控制器D1(z)和D2(z)。从而求得前馈控制器为：反馈控制器为：显然第4章第45节结束