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1、第二讲第二讲 积分学积分学一、不定积分一、不定积分 1.原函数原函数定义定义 对函数对函数若存在函数若存在函数使得使得则称函数则称函数 是函数是函数 的原函数的原函数;原函数的全体原函数的全体称为函数称为函数 的不定积分的不定积分,记为记为即即:注意注意:涉及到原函数的问题是涉及到原函数的问题是若若 是是 的原函数的原函数例例1 若若 是函数是函数 的原函数的原函数,则则解解 由定义得由定义得所以所以例例2 设设 有原函数有原函数求求 解解 因因所以所以从而从而 2.不定积分的基本方法不定积分的基本方法第一类换元积分法第一类换元积分法凑微分法凑微分法第二类换元积分法第二类换元积分法变量替换法变
2、量替换法 使用变量替换时应注意的几个问题使用变量替换时应注意的几个问题:对根式问题处理的有效方法对根式问题处理的有效方法;替换表达式必须是个单调函数替换表达式必须是个单调函数;最终的形式必须写成关于最终的形式必须写成关于 的函数的函数.分部积分法分部积分法 分部积分法使用的几个要点分部积分法使用的几个要点:函数函数 的选择的选择;换元积分法和分部积分法的交替使用换元积分法和分部积分法的交替使用;积分表达式的重复出现积分表达式的重复出现.有理函数的积分有理函数的积分高斯分解高斯分解三角函数的积分三角函数的积分万能代换万能代换 尤其注意三种特殊形式下的代换形式尤其注意三种特殊形式下的代换形式若若
3、则可用代换则可用代换:若若 则可用代换则可用代换:若若 则可用代换则可用代换:例例3 计算不定积分计算不定积分解解 当当 时时,令令则有则有标准代换标准代换反代换反代换当当 时时,令令由上面计算结果有由上面计算结果有 例例4 求积分求积分解解 令令则则两式相加后得两式相加后得例例5 求积分求积分解解1 用变量替换法用变量替换法又又所以所以从而从而解解2 用分部积分法用分部积分法所以所以例例6 求求解解 例例7 求积分求积分解解 从而有从而有令令同理同理即有即有继续分解有继续分解有两边积分之有两边积分之有例例8 求积分求积分解解 因因故原积分为故原积分为 例例9 求积分求积分解解 令令故原积分为
4、故原积分为 例例10 求积分求积分解解 因因所以原积分为所以原积分为 注注 积化和差公式积化和差公式例例11 求积分求积分解解 解解2即有即有从而有从而有因此上面积分为因此上面积分为因此原积分为因此原积分为二、定积分二、定积分 1.定积分的定义及性质定积分的定义及性质基本性质基本性质性质性质 设设 及及 分别是分别是 在在 上的最大值和最上的最大值和最小值小值,则则续续,则在区间则在区间 上至少存在点上至少存在点 使得下式成立使得下式成立:性质（定积分中值定理）性质（定积分中值定理）如果函数如果函数 在在 上连上连积分中值定理的几何解释积分中值定理的几何解释:解解 令令例例12 求极限求极限从
5、而从而例例13 证明不等式证明不等式解解 此问题是一个极值问题此问题是一个极值问题.令令则则注意到该函数是个开口向上的抛物线注意到该函数是个开口向上的抛物线,故驻点即为函数故驻点即为函数的极小值点的极小值点,因而是被积函数的最大值点因而是被积函数的最大值点.又又所以所以故由积分性质得故由积分性质得例例14 设设 是区间是区间 上的连续函数上的连续函数,且且证明证明证证 对任意的对任意的在区间在区间 使用使用中值定理中值定理.记记则有则有 再由积分性质得再由积分性质得即即例例15 设设 是区间是区间 上的单调增加连续函数上的单调增加连续函数,证明证明证证 由积分中值定理由积分中值定理由此证明了原
6、不等式由此证明了原不等式.2.变限积分函数及导数变限积分函数及导数 设设 是区间是区间 上的连续函数上的连续函数,记记则则 是区间是区间 上的可导函数上的可导函数,且且 上式的更一般形式是上式的更一般形式是则则 若若 为连续函数为连续函数,是可导函数是可导函数,更一般的是更一般的是则则 若若例例16 求连续函数求连续函数 使得使得且且解解 因因所以原式变形为所以原式变形为两边求导后得到两边求导后得到即有即有两边做两边做 上的积分上的积分,则有则有即即例例17 求常数求常数使得使得解解 容易看到该极限为容易看到该极限为 型型.由罗比达法则由罗比达法则欲使极限存在且不为零欲使极限存在且不为零,则必
7、有则必有此时有此时有例例18 设设证明证明 在在上有界上有界.证证 因因即即为偶函数为偶函数.故只需证明函数故只需证明函数 在在 上有界即可上有界即可.注意到函数注意到函数 在在 上连续上连续,故只需证明故只需证明存在即可存在即可.又又故函数故函数 在在 上有界上有界,又函数在又函数在上上连续连续,从而有界从而有界,所以函数所以函数 在在 上有界上有界.3.定积分的计算定积分的计算 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 如果函数如果函数 函数函数 是是 的一个原的一个原函数函数,则则 换元积分法换元积分法注意四种基本类型和相应的换元方法注意四种基本类型和相应的换元方法.分部积分法分部积分法 常用的
8、几个积分公式常用的几个积分公式1.若若 则则2.若若并注意到右边的积分与并注意到右边的积分与 无关无关.3.若若 且是周期为且是周期为 的周期函数的周期函数,则则4.5.例例18 求积分求积分解解记记则则所以原积分为所以原积分为例例19 设设求求解解 由分部积分法由分部积分法又有积分上限函数的求导公式又有积分上限函数的求导公式,得得而上式的前一项为零而上式的前一项为零,所以所以例例20 设设且满足且满足求求解解 令令等式两边积分等式两边积分例例21 求积分求积分解解 因因所以该积分仅为无穷区间上的所以该积分仅为无穷区间上的广义积分广义积分.又又又又所以所以例例22 计算积分计算积分解解 该函数
9、形式上是反常积分该函数形式上是反常积分,本质上还是常义积分本质上还是常义积分.但要注意符号上的问题但要注意符号上的问题.又又所以所以,原积分为原积分为三、典三、典 型型 例例 题题 选选 讲讲例例1 已知已知 的一个原函数为的一个原函数为求求解解 由已知条件及原函数的定义知由已知条件及原函数的定义知而而例例2 求积分求积分解解 例例3 求积分求积分解解 令令所以原式为所以原式为例例4 求积分求积分解解 例例5 求积分求积分解解 例例6 设设 在在 上连续上连续,且且证明证明:证证 由由故对于任意的故对于任意的 存在存在当当 时时,有有 又又注意到注意到所以所以例例7 求极限求极限解解 在区间在区间 中有中有注意到注意到同理同理所以所以例例8 设设 为连续可微函数为连续可微函数,求求并由此求积分并由此求积分解解 所以所以例例9 证明证明证证 因因 为单调减少函数为单调减少函数,所以所以即有即有相加后有相加后有即即 由由得得注意到注意到 所以所以