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1、第三章微微分分法法:积积分分法法:互互逆逆运运算算一元函数积分学 第一节不定积分 例例1.定定义义：一、原函数与不定积分的概念2.原原函函数数存存在在定定理理：简简言言之之：连连续续函函数数一一定定有有原原函函数数.问问题题：(1)原原函函数数是是否否唯唯一一？例例（为为任任意意常常数数）(2)若若不不唯唯一一它它们们之之间间有有什什么么联联系系？3.注注意意：（1）若若 ，则则对对于于任任意意常常数数 ，（2）若若 和和 都都是是 的的原原函函数数，则则（为为任任意意常常数数）证证（为为任任意意常常数数）任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数4.不不定定积积分分的的定定义义：被被积积表
2、表达达式式积积分分变变量量例例1 1 求求解解解解例例2 2 求求例例3 3 设设曲曲线线通通过过点点（1，2），且且其其上上任任一一点点处处的的切切线线斜斜率率等等于于这这点点横横坐坐标标的的两两倍倍，求求此此曲曲线线方方程程.解解设设曲曲线线方方程程为为根根据据题题意意知知由由曲曲线线通通过过点点（1，2）所所求求曲曲线线方方程程为为5.不不定定积积分分的的几几何何意意义义：显显然然，求求不不定定积积分分得得到到一一积积分分曲曲线线族族.由由不不定定积积分分的的定定义义，可可知知结结论论：微微分分运运算算与与求求不不定定积积分分的的运运算算是是互互互互逆逆逆逆的的.实实例例启启示示能能否否
3、根根据据求求导导公公式式得得出出积积分分公公式式？结结论论既既然然积积分分运运算算和和微微分分运运算算是是互互逆逆的的，因因此此可可以以根根据据求求导导公公式式得得出出积积分分公公式式.二、基本积分表基基本本积积分分表表是是常常数数);说说明明：简简写写为为例例4 4 求求积积分分解解根根据据积积分分公公式式（2）练练习习 求求积积分分三、不定积分的性质例例5 5 求求积积分分解解例例6 6 求求积积分分解解例例7 7 求求积积分分解解例例8 8 求求积积分分解解练练习习 问问题题解解决决方方法法利利用用复复合合函函数数，设设置置中中间间变变量量.过过程程令令四、第一类换元法在在一一般般情情况
4、况下下：设设则则如如果果（可可微微）由由此此可可得得换换元元法法定定理理第第一一类类换换元元公公式式（凑凑微微分分法法）说说明明使使用用此此公公式式的的关关键键在在于于将将化化为为观观察察重重点点不不同同，所所得得结结论论不不同同.定定理理1 1例例1 1 求求解解一一般般地地例例2 2 求求解解例例3 3 求求解解（一一）解解（二二）解解（三三）例例4 4 求求解解例例5 5 求求解解例例6 6 求求解解练练习习 求求例例7 7 求求解解例例8 8 求求问问题题解解决决方方法法改改变变中中间间变变量量的的设设置置方方法法.过过程程令令（应应用用“凑凑微微分分”即即可可求求出出结结果果）五、第
5、二类换元法则则有有换换元元公公式式定定理理第第二二类类积积分分换换元元公公式式例例 求求解解 令令1 1、代代数数换换元元法法例例 求求解解 令令例例 求求解解 令令说说明明当当被被积积函函数数含含有有两两种种或或两两种种以以上上的的根根式式 时时，可可采采用用令令 （其其中中 为为各各根根指指数数的的最最小小公公倍倍数数）练练习习 求求解解令令例例 求求解解2 2、三三角角换换元元法法例例 求求解解 令令例例 求求解解 令令说说明明(1)(1)以以上上几几例例所所使使用用的的均均为为三三角角代代换换.三三角角代代换换的的目目的的是是化化掉掉根根式式.一一般般规规律律如如下下：当当被被积积函函
6、数数中中含含有有可可令令可可令令可可令令基基本本积积分分表表问问题题解解决决思思路路利利用用两两个个函函数数乘乘积积的的求求导导法法则则.分分部部积积分分公公式式六、分部积分例例1 1 求求积积分分解解（一一）令令显显然然，选选择择不不当当，积积分分更更难难进进行行.解解（二二）令令练练习习 求求积积分分解解 令令例例2 2 求求积积分分解解（再再次次使使用用分分部部积积分分法法）总总结结 (1)若若被被积积函函数数是是幂幂函函数数和和正正(余余)弦弦函函数数或或幂幂函函数数和和指指数数函函数数的的乘乘积积,就就考考虑虑设设幂幂函函数数为为 ,使使其其降降幂幂一一次次(假假定定幂幂指指数数是是
7、正正整整数数)(2)在在接接连连几几次次应应用用分分部部积积分分公公式式时时,前前后后几几次次所所选选的的 应应为为同同类类型型函函数数.例例3 3 求求积积分分解解注注意意循循环环形形式式例例4 4 求求积积分分解解总总结结 若若被被积积函函数数是是幂幂函函数数和和对对数数函函数数或或幂幂函函数数和和反反三三角角函函数数的的乘乘积积，就就考考虑虑设设对对数数函函数数或或反反三三角角函函数数为为 .例例5 5 求求积积分分解解1.使使用用原原则则:易易求求出出,易易积积分分2.使使用用经经验验:“反反对对幂幂指指三三”,前前 u 后后v 3.题题目目类类型型:分分部部化化简简 降降幂幂法法；转
8、转换换法法；循循环环法法.【注注意意】循循环环法法两两次次分分部部选选择择的的 u,v 函函数数类类型型不不变变,解解出出积积分分后后加加 C.合合理理选选择择 ，正正确确使使用用分分部部积积分分公公式式1.【有有理理函函数数】两两个个多多项项式式的的商商表表示示的的函函数数称称之之(有有理理分分式式).).七、有理函数的积分时时,为为假假分分式式;时时,为为真真分分式式有有理理函函数数相相除除多多项项式式+真真分分 式式分分解解若若干干最最简简分分式式之之和和【例例】【难难点点】将将真真分分 式式化化为为最最简简分分式式之之和和.例1 求解解待待定定系系数数法法特特点点：分分母母可可以以分分解解为为两两个个一一次次因因式式之之积积真真分分式式积积分分举举例例故故例例2 求求解解于于是是 原原式式=方方法法具具有有一一般般性性特特点点：分分母母含含有有二二次次质质因因式式 例例3 求求积积分分 解解 特特点点：分分母母中中两两个个因因式式有有公公因因式式解解得得于于是是方方法法具具有有一一般般性性化化成成含含有有重重因因式式原原式式