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1、 第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学(20%(20%）一、一、不定积分不定积分二、定积分二、定积分三、定积分的应用三、定积分的应用本讲出题在本讲出题在10分分18分之间，考点不多，分之间，考点不多，一般在选择题、填空题、计算题中出现，一般在选择题、填空题、计算题中出现，不定积分是定积分的基础，定积分又是二不定积分是定积分的基础，定积分又是二重积分、曲线积分的基础，技巧性比较大，重积分、曲线积分的基础，技巧性比较大，希望同学们多练习。希望同学们多练习。本讲重点：本讲重点：（1）原函数、不定积分的概念）原函数、不定积分的概念和性质。（和性质。（2）直接积分方法、换元积分法。）直接积分方法、
2、换元积分法。（3）凑微分技巧。）凑微分技巧。本讲难点：综合利用积分方法求不定积分本讲难点：综合利用积分方法求不定积分。考试点津：1原函数的概念；2不定积分的两个性质及一个推论；3分项积分法；4换元积分法；又可细分为凑微分法（重点）与变量代换法（主要是去根号）；5分部积分法。有理函数积分、三角函数积分基本不考。即便考，用前面的方法也可解决。本章重点考核的知识点本章重点考核的知识点第一节第一节 不定积分不定积分（一）、不定积分的概念与性质（一）、不定积分的概念与性质（二）、不定积分的基本公式（二）、不定积分的基本公式第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学2011年考了年考了16分分（三）、换元
3、积分法（三）、换元积分法（四）、分部积分法（四）、分部积分法（一）（一）不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 1.1.原函数原函数 设设 是定义在某区间上的已知函数，如果是定义在某区间上的已知函数，如果存在一个函数存在一个函数 ，使对于该区间任意，使对于该区间任意 ，都有关系式：都有关系式：或或成立，则称函数成立，则称函数 为函数为函数 在该区间上在该区间上的一个的一个原函数原函数。例例又因为：又因为：所以显然所以显然 ，都是都是 的一个原函数。的一个原函数。由此不难得出：由此不难得出：（1）一个函数的原函数不惟一，且有无穷多个。）一个函数的原函数不惟一，且有无穷多个。（2）同一函数的原函
4、数之间只相差一个常数。）同一函数的原函数之间只相差一个常数。（3）若）若 为为 的一个原函数，则的一个原函数，则 表示表示 的所有原函数。的所有原函数。任任意意常常数数积积分分符符号号被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量称为称为 在该区间在该区间I上的不定积分。上的不定积分。即：即：设设 是是 在区间在区间I上的一个原函数，则函上的一个原函数，则函数数 的全体原函数的全体原函数 （c为任意常数）为任意常数）2.2.不定积分不定积分（一）（一）不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 设函数设函数在某区间上的一个原函数为在某区间上的一个原函数为，则，则 在几何上表示一条曲线，称为
5、积分曲线。而在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而的全部积分曲线的全部积分曲线所组成的积分曲线族。其方程为所组成的积分曲线族。其方程为的图象显然可由这条曲线沿的图象显然可由这条曲线沿或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线，或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线，因此，不定积分的几何意义是因此，不定积分的几何意义是轴向上轴向上 设函数设函数在某区间上的一个原函数为在某区间上的一个原函数为，则，则 在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而所组成的积分曲线族。其方程为所组成的积分曲线族。其方程为的图象显然可由这条曲线沿的图象显然可由这条曲线沿或向下平行
6、移动就可以得到，这样就得到一族曲线，或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线，因此，不定积分的几何意义是因此，不定积分的几何意义是轴向上轴向上 设函数设函数在某区间上的一个原函数为在某区间上的一个原函数为，则，则 在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而如下图所示：如下图所示：（一）（一）不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 3.3.不定积分的几何意义不定积分的几何意义 （一）（一）不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 4.4.原函数存在定理原函数存在定理 在在 定义区间上的定义区间上的连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数（即：（即：一定有不
7、定积分）。一定有不定积分）。定理定理1 微分运算与积分运算互为逆运算，即微分运算与积分运算互为逆运算，即 定理定理2定理定理3（一）（一）不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 5.5.不定积分的性质不定积分的性质基基本本积积分分表表是常数是常数);（二）（二）不定积分的基本积分公式不定积分的基本积分公式 基基本本积积分分表表（二）（二）不定积分的基本积分公式不定积分的基本积分公式 A.A.B B C C.D.D.提示公式：提示公式：故选B 提示公式：提示公式：提示公式：提示公式：（三）换元积分法（三）换元积分法（重点掌握第一换元积分法）（重点掌握第一换元积分法）2008年解答、8分（四）（
8、四）分部积分法分部积分法 2010年解答、8分内容小结内容小结1.不定积分的概念不定积分的概念 原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分的性质 基本积分表基本积分表 2.直接积分法直接积分法:利用恒等变形利用恒等变形,及及 基本积分公式进行积分基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式,代数公式代数公式,积分性质积分性质第二节第二节 定积分定积分（一）基本概念与基本性质（一）基本概念与基本性质（二）牛顿（二）牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学（三）定积分的换元积
9、分法和分部积（三）定积分的换元积分法和分部积 分法分法（四）无穷区间上的反常积分（四）无穷区间上的反常积分abxyo实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）（一）基本概念与基本性质（一）基本概念与基本性质1 1、定积分的定义、定积分的定义abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形面积和越接近显然，小矩形越多，矩形面积和越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，b,xxxxxaba,n1n210=-L个分点，内插入若干在区间1.分割分割2.近
10、似近似曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为曲边梯形面积为3.求和求和4.取极限取极限定义定义被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和注意：注意：定理定理1 1定理定理2 22.定积分存在定理定积分存在定理对定积分的对定积分的补充规定补充规定:说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小在，且不考虑积分上下限的大小曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值3.定积分的几何意义定积分的几何意义几何意义：几何意义：小结定积分的实质定积分
11、的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限（此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况）性质性质1 14.定积分的性质（定积分的性质（证明略证明略）性质性质2 2补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.例例 若若（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则则性质性质3 3证证性质性质4 4性质性质5 5性质性质5
12、 5的推论：的推论：证证（1）证证说明：说明：可积性是显然的可积性是显然的.性质性质5 5的推论：的推论：（2）证证（此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质性质6 6证证由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式使使即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：定积分的性质定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）（注意估值性质、积分中值定理的应用）典型问题典型问题（）估计积分值；（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小（）不计算定积分比较积分大小小结
13、1.1.积分上限函数积分上限函数2.2.牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式（二（二 ）牛顿）牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式考察定积分考察定积分称为积分上限函数。称为积分上限函数。1.积分上限函数积分上限函数积分上限函数的定义积分上限函数的定义积分上限函数的性质积分上限函数的性质证证由积分中值定理得由积分中值定理得例例1 1 求求解解定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）证证2.牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式(Newton-Leibnitz Formula)令令令令牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：注意注意求定积分问题转化为求原函数的问题求定
14、积分问题转化为求原函数的问题.例例 求求 解解例例7 7 求求 解解解解 面积面积3.微积分基本公式微积分基本公式1.积分上限函数积分上限函数2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数小结小结 牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系学之间的关系 1.1.定积分的换元法定积分的换元法（三）（三）定积分的换元法定积分的换元法 2.2.定积分的对称性定积分的对称性3.3.定积分的分部积分法定积分的分部积分法定理定理1.定积分的换元法定积分的换元法例例 计算计算解解令令又解例又解例 计算计算解解应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）（2）注意注意换元才
15、需换上下限换元才需换上下限换元才需换上下限换元才需换上下限注意注意:（1）（2）不可以！证证2.定积分的对称性定积分的对称性奇函数奇函数例例解解原式原式所以选所以选D对称上下限，奇偶定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导3.定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式几个特殊积分、定积分的几个等式几个特殊积分、定积分的几个等式定积分的换元法定积分的换元法小结小结定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式（注意与不定积分分部积分法的区别）（注意与不定积分分部积分法的区别）（四）（四）无穷区间上的反常积分（了解）无穷区间上的反常积分（了解）例计算例计算解解解解.sin20 -xdx计算计算例例
16、（一）求平面图形的面积（一）求平面图形的面积第三节第三节 定积分的应用定积分的应用（二重积分和该项内容考到可能性（二重积分和该项内容考到可能性极大）极大）（二）求旋转体的体积（二）求旋转体的体积回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题1、定积分的元素法、定积分的元素法ab xyo（一）求平面图形的面积（一）求平面图形的面积面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得）求和，得A的近似值的近似值（4）求极限，得）求极限，得A的精确值的精确值ab xyo提示提示面面积积元元素素元素法的一般步骤：元素法的一般步骤：这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法应用方向：
17、应用方向：平面图形的面积，体积。平面图形的面积，体积。经济应用。其他应用。经济应用。其他应用。2、求平面图形的面积如何用元素法分析？如何用元素法分析？，2、求平面图形的面积如何用元素法分析？如何用元素法分析？2、求平面图形的面积如何用元素法分析？如何用元素法分析？第二步：写出面积第二步：写出面积表达式。表达式。2、求平面图形的面积如何用元素法分析？如何用元素法分析？2、求平面图形的面积如何用元素法分析？如何用元素法分析？2、求平面图形的面积如何用元素法分析？如何用元素法分析？2、求平面图形的面积第二步：写出面积第二步：写出面积表达式。表达式。如何用元素法分析？如何用元素法分析？解解两曲线的交点
18、两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量于是所求面积于是所求面积于是所求面积于是所求面积xyoxyo观察下列图形，选择合适的积分变量求其面积：观察下列图形，选择合适的积分变量求其面积：考虑选择考虑选择x为积分变量，如何分析面积表达式？为积分变量，如何分析面积表达式？xyoxyo观察下列图形，选择合适的积分变量：观察下列图形，选择合适的积分变量：考虑选择考虑选择y为积分变量，如何分析面积表达式？为积分变量，如何分析面积表达式？解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量平面图形的面积的计算步骤平面图形的面积的计算步骤:(1)画草图画草
19、图(2)选择合适的积分变量选择合适的积分变量(3)求交点求交点,确定积分限确定积分限.(4)列式列式原则原则:尽可能使分的块数越少越好尽可能使分的块数越少越好.极坐标情形极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应 从 0 变例例.计算阿基米德螺线解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 到 2 所围图形面积.旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转
20、轴圆圆柱柱2、求旋转体的体积、求旋转体的体积(volume of body)（1）圆圆锥锥圆圆台台2、求旋转体的体积、求旋转体的体积(volume of body)（3）（2）xyo旋转体的体积为旋转体的体积为例例 由由 1.1.求其所围成的图形的面积求其所围成的图形的面积.所围的平面图形如图所示所围的平面图形如图所示0 xy12.2.它绕它绕x轴旋转而成的轴旋转而成的 旋转体体积旋转体体积解解1.2.例例 设设 1.1.求求D D的面积的面积S.S.0 xy（1，1）2.2.求求D D绕绕x轴旋转一周轴旋转一周所得旋转体的体所得旋转体的体积积V V2011年解答、10分解解1.2.小结小结定积分的元素法定积分的元素法平面图形的面积平面图形的面积旋转体的体积旋转体的体积