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1、引引 言言第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学积分学分为积分学分为不定积分不定积分与与定积分定积分两部分。两部分。不定积分不定积分是作为函数导数的反问题提出的，而是作为函数导数的反问题提出的，而定积分定积分是作为微是作为微分的无限求和引进的，两者概念不相同，但在计算上分的无限求和引进的，两者概念不相同，但在计算上却有着紧密的内在联系。却有着紧密的内在联系。本章主要探讨不定积分和定积分的概念、性质本章主要探讨不定积分和定积分的概念、性质及基本积分方法，并揭示二者的联系，从而着重论及基本积分方法，并揭示二者的联系，从而着重论证微积分学核心定理证微积分学核心定理(牛顿牛顿-莱布尼茨式公式莱布尼
2、茨式公式)，解确，解确定积分的计算问题，同时探讨定积分在几何、物理定积分的计算问题，同时探讨定积分在几何、物理及医学等方面的应用，最终简洁探讨广义积分。及医学等方面的应用，最终简洁探讨广义积分。本章主要内容本章主要内容3.1不定积分不定积分3.2不定积分的计算不定积分的计算3.3定积分定积分3.4定积分的计算定积分的计算3.5广义积分广义积分3.1.1 不定积分的概念不定积分的概念3.1.2不定积分的基本公式和运算法则不定积分的基本公式和运算法则3.1.1 3.1.1 不定积分的概念不定积分的概念3.1.2 3.1.2 不定积分的基本公式和不定积分的基本公式和 运算法则运算法则3.1 3.1
3、不定积分不定积分微分法微分法:积分法积分法:互逆运算互逆运算 不定积分的概念不定积分的概念问题提出问题提出定义定义1 若在某一区间上，若在某一区间上，F(x)=f(x)，则在这个，则在这个区间上，函数区间上，函数 F(x)叫做函数叫做函数 f(x)的的一一个原函数。个原函数。一、不定积分的定义一、不定积分的定义定理定理1 1 若函数若函数f(x)f(x)在某区间上连续，那么在某区间上连续，那么f(x)f(x)在该区间在该区间上的原函数确定存在。上的原函数确定存在。定理定理2 2 若函数若函数f(x)f(x)有原函数，那么它就有多数多个原函有原函数，那么它就有多数多个原函数数.定理定理3 3 函
4、数函数f(x)f(x)的随意两个原函数的差是一个常数。的随意两个原函数的差是一个常数。关于原函数，先探讨三个问题：关于原函数，先探讨三个问题：a.函数函数f(x)应具备什么条件，才能保证其原函数确定存在？应具备什么条件，才能保证其原函数确定存在？b.若函数若函数f(x)有原函数，那么原函数一共有多少个有原函数，那么原函数一共有多少个？c.函数函数f(x)的随意两个原函数之间有什么关系？的随意两个原函数之间有什么关系？定理定理1 1：若：若F(x)F(x)是是f(x)f(x)的一个原函数，则的一个原函数，则f(x)f(x)的全部原的全部原函数都可以表示成函数都可以表示成F(x)+CF(x)+C（
5、C C为随意常数）。为随意常数）。思索：如何证明？思索：如何证明？定义定义2 2 若若F(x)F(x)是是f(x)f(x)的一个原函数，则的一个原函数，则f(x)f(x)的的全部原函数全部原函数F(x)F(x)C C称为称为f(x)f(x)的不定积分，记为的不定积分，记为x 称为积分变量称为积分变量f(x)称为被积函数，称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式称为被积表达式其中其中 称为积分号，称为积分号，C 称为积分常数称为积分常数例例1 1 求下列不定积分求下列不定积分(1)(2)解：解：(2)(3)(3)(1)例例2 2 用微分法验证等式：用微分法验证等式：证明：证明：因为因为是是co
6、s(2x+3)的一个原函数，的一个原函数，所以所以即即几何意义：几何意义：不定积分不定积分 表示积分曲线表示积分曲线y=F(x)沿沿y轴上下平移而得到的一族积分曲线轴上下平移而得到的一族积分曲线。二二、不定积分的几何意义不定积分的几何意义例例3 求经过点求经过点(1,3)，且其切线的斜率为，且其切线的斜率为2x的曲线方程。的曲线方程。解：解：由曲线切线斜率为由曲线切线斜率为2x且不定积分定义可知且不定积分定义可知得曲线簇得曲线簇 y=x2+C,将将x=1,y=3代入，得代入，得 C=2所以所以 y=x2+23.1.2 3.1.2 不定积分的基本公式和运算法则不定积分的基本公式和运算法则一一、不
7、定积分的基本公式不定积分的基本公式 由不定积分的定义可知由不定积分的定义可知，不定积分不定积分就是就是微分微分运算的逆运算运算的逆运算。因此因此，有一个导数或微分公式有一个导数或微分公式，就对应地有一个不定积分公式就对应地有一个不定积分公式。基本积分表基本积分表例例4 4求下列不定积分求下列不定积分(1)(2)(3)解：解：(1)(2)(3)例例5 5 验证验证解：解：当当x0时，时，当当x0时，时，所以所以 关于不定积分，还有如下等式成立：关于不定积分，还有如下等式成立：2.2.1.1.或或或或.不为零的常数因子，可移动到积分号前。不为零的常数因子，可移动到积分号前。.两个函数的代数两个函数
8、的代数和和的的积分积分等于函数等于函数积分积分的代数的代数和和（k0）二、不定积分的运算法则二、不定积分的运算法则（可推广到有限多个函数之和的状况）（可推广到有限多个函数之和的状况）例例6 6 求求解：原式原式=干脆积分法：利用不定积分的运算性质和积分干脆积分法：利用不定积分的运算性质和积分基本公式干脆计算出不定积分的方法。基本公式干脆计算出不定积分的方法。例例7 7 求求解解：原式原式例例8 8 求求解解：原式原式=例例9 9 求求解解：原式：原式=说明：说明：以上几例中的被积函数都须要进行恒等变形，以上几例中的被积函数都须要进行恒等变形，才能运用基本积分公式。才能运用基本积分公式。课堂思索
9、课堂思索不对，例如3.2 3.2 不定积分的计算不定积分的计算 利用基本积分公式及不定积分的性利用基本积分公式及不定积分的性质干脆计算不定积分，有时很困难，质干脆计算不定积分，有时很困难，因此，须要引进一些方法和技巧。下因此，须要引进一些方法和技巧。下面介绍不定积分的两大积分方法面介绍不定积分的两大积分方法:换元换元积分法与分部积分法积分法与分部积分法3.2.1 3.2.1 换元积分法换元积分法 一、第一类换元积分法（凑微分法）一、第一类换元积分法（凑微分法）有一些不定积分，将积分变量进行有一些不定积分，将积分变量进行确定的变换后，积分表达式由于引进中确定的变换后，积分表达式由于引进中间变量而
10、变为新的形式，而新的积分表间变量而变为新的形式，而新的积分表达式和新的积分变量可干脆由基本积分达式和新的积分变量可干脆由基本积分公式求出不定积分来。公式求出不定积分来。例如例如想到基本积分公式想到基本积分公式若令若令u2x，把，把2x看成一个整体（新的积分变量），看成一个整体（新的积分变量），这个积分可利用基本积分公式算出来这个积分可利用基本积分公式算出来定理定理1 设设f(u)具有原函数具有原函数F(u)，u(x)可导可导 则有则有第一类换元积分法第一类换元积分法第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）则有换元公式则有换元公式留意留意 运用此公式的关键在于将运用此公式的关键在于将第一
11、类换元法又称为凑微分法。第一类换元法又称为凑微分法。例例1010 求求解：解：原式原式=推广推广解解：例例1111 求求解解：原式原式=例例1212 求求解：解：原式原式=例例1313 求求解：解：原式原式=同理可得同理可得例例1414 求求解：解：说明说明：正余弦三角函数积分的正余弦三角函数积分的偶次幂偶次幂时，一般应时，一般应先先降幂降幂。例例1515 求求解解说明说明：正余弦三角函数积分正余弦三角函数积分奇次幂奇次幂，拆开拆开奇次奇次项去项去凑微分凑微分。例例1616 求求解解说明说明：正余弦三角函数相乘积分时，拆开正余弦三角函数相乘积分时，拆开奇次奇次项去项去凑凑微分微分。例例1717
12、 求求解：解：利用三角学中的积化和差公式，得利用三角学中的积化和差公式，得例例1818 求求解法一解法一解法二解法二解法三解法三凑微分常见类型凑微分常见类型二、其次类换元积分法二、其次类换元积分法 第一类换元积分法是利用凑微分的方法，第一类换元积分法是利用凑微分的方法，把一个较困难的积分化成便于利用基本积分把一个较困难的积分化成便于利用基本积分公式的形式。但是，有时不易找出凑微分式，公式的形式。但是，有时不易找出凑微分式，却可以设法作一个代换却可以设法作一个代换 x(t)，而积分，而积分目的目的：去根号或化为基本积分公式：去根号或化为基本积分公式可用基本积分公式求解。可用基本积分公式求解。定理
13、定理2 设设f(x)连续，连续，x(t)是单调可导的连续是单调可导的连续函数，且其导数函数，且其导数(t)0，x(t)的反函数的反函数t=-1(x)存在且可导，并且存在且可导，并且则则根式代换根式代换例例1919 求求解：解：考虑到被积函数中的根号是困难所在，故考虑到被积函数中的根号是困难所在，故令令当被积函数含有两种或两种以上的根式当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，时，可采用令可采用令x=tn（其中（其中n为各根指数的最小公倍数）为各根指数的最小公倍数）例例2020 求求解：解：令令例例2121 求求解解:令令则则 原式原式三角代换三角代换例例2222 求求解解:令则则原式原式小小 结
14、结留意：三角代换的目的是化掉根式。留意：三角代换的目的是化掉根式。三角代换常有下列规律三角代换常有下列规律可令可令可令可令可令可令例例2323 求求解解令令分母的次幂太高分母的次幂太高例例2424 求求令令解解倒数代换倒数代换小结小结两类积分换元法：两类积分换元法：（一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、根式代换、倒数代换三角代换、根式代换、倒数代换三角代换常有下列规律三角代换常有下列规律可令可令可令可令可令可令考虑积分考虑积分解决思路解决思路利用分部积分法利用分部积分法问题的提出问题的提出3.2.2 3.2.2 分部积分法分部积分法分部积分公式分部积分公式下面利用两个函数乘积的求导法则
15、，得出求积下面利用两个函数乘积的求导法则，得出求积分的基本方法分的基本方法分部积分法分部积分法。对此不等式两边求不定积分对此不等式两边求不定积分即即分部积分过程：分部积分过程：应用分部积分法时，可按下述步骤计算：应用分部积分法时，可按下述步骤计算：(凑微凑微：定出：定出)(分部分部：利用分部积分公式：利用分部积分公式)（积分积分）例例2525 求积分求积分解解:令令若令若令明显，明显，选择不当，积分更难进行。选择不当，积分更难进行。若若u和和dv选取不当，就求不出结果，所以应用选取不当，就求不出结果，所以应用分部积分法时，恰当选取分部积分法时，恰当选取u和和dv是一个关键。是一个关键。选取选取
16、u和和dv一般要考虑下面两点：一般要考虑下面两点：(1)v要简洁求得；要简洁求得；(2)要比要比简洁积出简洁积出例例2626 求积分求积分解解若被积函数是若被积函数是幂函数幂函数和和对数函数对数函数的乘积，的乘积，就考虑设就考虑设对数函数对数函数为为u。思索：如何求思索：如何求例例27 27 求积分求积分解解:令令若被积函数是若被积函数是幂函数幂函数和和反三角函数反三角函数的乘积，的乘积，就考虑设就考虑设反三角函数反三角函数为为u。例例2626 求积分求积分解解复原法在求不定积分时有着广泛的应用。复原法在求不定积分时有着广泛的应用。在计算方法在计算方法娴熟后，分娴熟后，分部积分法的部积分法的替
17、换过程可替换过程可以省略。以省略。被积函数类型及被积函数类型及u和和dv的选取法的选取法类型类型：类型类型：类型类型：随意选取随意选取3.3 3.3 定积分定积分(Definite Integrals)定积分是积分学的一个重要概念，在科学探定积分是积分学的一个重要概念，在科学探讨和生产实践中应用特别广泛，如平面图形面积、讨和生产实践中应用特别广泛，如平面图形面积、变力所作的功等均可归结为定积分问题。变力所作的功等均可归结为定积分问题。本节从求曲边梯形的面积和变速直线运动的本节从求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程入手，引出定积分的概念，接着考虑其性质、路程入手，引出定积分的概念，接着考虑其性质
18、、计算及其应用。计算及其应用。abxyo实例实例1 1(求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积)一、定积分的概念一、定积分的概念abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积明显，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积明显，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）视察下列演示过程，留意当分割加细时，视察下列演示过程，留意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。播放播放播放播放曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，近似近似分割分割曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为曲
19、边梯形面积为曲边梯形面积为求和求和取极限取极限实例实例2 2 变速直线运动的路程变速直线运动的路程 把整段时间分割成若干小时间段，每小把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程的段上速度看作不变，求出各小段的路程的近似值近似值,再相加，便得到路程的近似值，最再相加，便得到路程的近似值，最终通过对时间的无限细分过程求得路程的终通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值。精确值。对于匀速运动，有公式对于匀速运动，有公式 路程路程=速度速度时间时间解决变速干脆运动的路程的基本思路解决变速干脆运动的路程的基本思路设某物体作直线运行，速度设某物体作直线运行，速度v=v(t)是时间
20、间隔是时间间隔T1,T2上上t的一个连续函数，求物体在这段时间内的一个连续函数，求物体在这段时间内所经过的路程。所经过的路程。(1)分割分割部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度(3)求和求和(4)取极取极限限路程的精确值路程的精确值(2)近似近似上述两个问题的上述两个问题的共性共性：解决问题的方法步骤相同：解决问题的方法步骤相同：“分割，近似，求和，取极限分割，近似，求和，取极限”所求量极限结构式相同：所求量极限结构式相同：特殊乘积和式的极限特殊乘积和式的极限很多问题的解决都可以化为上述特定和式的极很多问题的解决都可以化为上述特定和式的极限问题，将其一般化，就得到定积分的概念。限问题，
21、将其一般化，就得到定积分的概念。曲边梯形的面积曲边梯形的面积变速直线运动的路程变速直线运动的路程 2 2、定积分的定义、定积分的定义定义定义1被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和 (2)(2)定积分的定积分的值值只与只与被积函数被积函数及及积分区间积分区间有关，而与有关，而与积分变量的记法积分变量的记法无关，即无关，即依据定积分的定义，曲边梯形的面积为依据定积分的定义，曲边梯形的面积为变速直线运动的路程为变速直线运动的路程为留意留意:(1):(1)定义中区间的分法和定义中区间的分法和 的取法是随意的。的取法是随意的。曲边梯形的
22、面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的曲边梯形的面积的负值负值3 3、定积分的几何意义、定积分的几何意义abxyooyabxO y x一般状况下，定积分一般状况下，定积分 表示曲线表示曲线y=f(x)与与x 轴介于轴介于a、b之间的各部分面积的代数和。之间的各部分面积的代数和。b y=f(x)a例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分xy01接受接受“以以直代曲直代曲”的方法的方法解：解：(1)分割分割(2)(2)近似近似(3)(3)求和求和(4)(4)取极限取极限例例2 2面积值为圆的面积的面积值为圆的面积的x1y小小 结结.定积分的实质：特殊和式的极限定积分的实质：特殊和式的极限.定积
23、分的思想和方法：定积分的思想和方法：求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分化整为零化整为零分割分割直（不变）代曲（变）直（不变）代曲（变）近似近似对定积分的对定积分的补充规定补充规定:二、定积分的性质二、定积分的性质性质性质1 1性质性质2 2(k为常数为常数)补充补充：不论：不论a,b,c的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立。上式总成立。(积分区间的可加性积分区间的可加性)性质性质3 3性质性质4 4性质性质5 5推论推论证明：证明：（此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质性质6 6证明：证明：由闭区间上连续函数的介值定理知，在区
24、间由闭区间上连续函数的介值定理知，在区间a,b上上性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）至少存在一个点至少存在一个点，使，使若函数若函数f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续，则在积分区上连续，则在积分区间间a,b上至少存在一点上至少存在一点，使，使积分中值公式积分中值公式积分中值公式的几何说明：积分中值公式的几何说明：3.4 定积分的计算定积分的计算3.4.1 3.4.1 微积分基本定理微积分基本定理3.4.3 3.4.3 定积分的分部积分法定积分的分部积分法3.4.2 3.4.2 定积分的换元积分法定积分的换元积分法3.4.4 3.4.4 定积分的应用定积分的应用3.4.13.4
25、.1微积分基本定理微积分基本定理 为了得到微积分基本定理，先探讨为了得到微积分基本定理，先探讨积分上限函数的导数。积分上限函数的导数。设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上连续，并且设上连续，并且设x为为a,b上的一点，考察定积分上的一点，考察定积分记作记作积分上限函数积分上限函数一、积分上限函数及其导数一、积分上限函数及其导数是是x的函数的函数（或称（或称可变上限积分可变上限积分）注注积分上限函数的性质积分上限函数的性质 定理定理1 若若 在在a,b上连续，则积分上限函数上连续，则积分上限函数 在在a,b上具有导数，且它的导上具有导数，且它的导数是数是证明：证明：给给x以变更量以变更量x，
26、则函数，则函数(x)的相应变更量为的相应变更量为由由积分中值定理积分中值定理得得从而有从而有由于由于f(x)在在a,b上连续，又因上连续，又因x0时，时，0。故。故例例3 3 设设解：解：，求，求例例4 4 设设 ，求，求 解：设解：设u=2x，依据复合函数求导法则，依据复合函数求导法则分析分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则。型不定式，应用洛必达法则。解：解：例例5 5 求求 思索题思索题答案答案二二、微积分基本定理微积分基本定理微积分基本定理也可叫做微积分基本定理也可叫做牛顿牛顿-莱布尼茨莱布尼茨公式，公式，它是用它是用求原函数的方法求原函数的方法计算计算定积分的数值定积分的数值。定理
27、定理 （微积分基本公式）（微积分基本公式）证明：证明：若若 F(x)是连续函数是连续函数 f(x)在区间在区间a,b上的一个上的一个原函数，则原函数，则令令令令牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：一个连续函数在区间一个连续函数在区间a,b上的定积分可用它的上的定积分可用它的随意一个原函数在区间随意一个原函数在区间a,b端点上的值来表示。端点上的值来表示。牛顿牛顿_ _艾萨克（艾萨克（1642172716421727）最负盛名的数学家、科学家最负盛名的数学家、科学家和哲学家。他在和哲学家。他在16871687年年7 7月月5 5日发日发表的自然哲学的数学原理里
28、表的自然哲学的数学原理里提出的万有引力定律以及他的牛提出的万有引力定律以及他的牛顿运动定律是经典力学的基石。顿运动定律是经典力学的基石。牛顿还和莱布尼茨各自独立地独牛顿还和莱布尼茨各自独立地独创了微积分。创了微积分。莱布尼兹（莱布尼兹（1646-1716）17、18世纪之交德国最重世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人。和牛顿同为微积分的创建人。他博览群书，涉猎百科，对丰他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学学问宝库做出了富人类的科学学问宝库做出了不行磨灭的贡献。不行磨灭的贡献。例例6
29、 6 求求 原式原式解：解：例例7 7 设设 ,求求 .解：解：例例8 8 求求 解：解：3.3.微积分基本公式微积分基本公式1.1.积分上限函数积分上限函数2.2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数小小结结牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式沟通了沟通了微分学微分学与与积分学积分学之之间的关系。间的关系。由牛顿莱布尼茨公式，定积分的求值问题由牛顿莱布尼茨公式，定积分的求值问题可以转化为不定积分的问题，但有时运算过程冗可以转化为不定积分的问题，但有时运算过程冗长困难。若接受定积分换元法，比较简便，下面长困难。若接受定积分换元法，比较简便，下面探讨定积分换元法。探讨定积分换元法。定积分的换元积分法
30、定积分的换元积分法的函数，而只要把新变量的函数，而只要把新变量积分限也相应的变更。积分限也相应的变更。换成新变量换成新变量把变量把变量(1)用用应用换元公式时应留意应用换元公式时应留意:时，时，(2)求出求出的一个原函数的一个原函数不必象计算不定积分那样再要把不必象计算不定积分那样再要把原变量原变量限分别代入限分别代入然后相减就行了。然后相减就行了。后，后，变换成变换成的上、下的上、下例例1 1 计算计算解解令令例例2 2 计算计算思索思索:几几何意义？何意义？axy解解：设证明：证明：例例5当当在在上连续，且有上连续，且有为奇函数，则为奇函数，则为偶函数，则为偶函数，则思索：几思索：几何意义
31、？何意义？几何说明：几何说明：偶函数偶函数 奇函数奇函数 奇函数奇函数例例4 4 计算计算解解原式原式偶函数偶函数单位圆的面积单位圆的面积定积分的换元法定积分的换元法小小结结定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导3.4.3 3.4.3 定积分的分部积分法定积分的分部积分法例例1 1 计算计算解：解：令令则则例例2 2 计算计算解：解：例例3 3 计算计算解解：设设定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式小小 结结（留意与不定积分分部积分法的区分）（留意与不定积分分部积分法的区分）3.4.4 定积分的应用定积分的应用 一、微元法一、微元法在应用定积分解决实际问题时，关键是在应用定积分解
32、决实际问题时，关键是将实际问题归结为定积分。定积分将实际问题归结为定积分。定积分 的定义导出有四步，先将的定义导出有四步，先将a,b分成分成n个小区个小区间，然后在每个小区间上作近似替代间，然后在每个小区间上作近似替代 ，再求代数和，再求代数和 ，最终取极限，最终取极限具体问题只要抓住如下两步便可：具体问题只要抓住如下两步便可：.在区间在区间a,b上任取一点上任取一点x，在区间，在区间x,xdx 作微元作微元dAf(x)dx，使得，使得 AdAo(x).对对a,b上每一点上每一点x的微元无限累加，即的微元无限累加，即 这种通过微元简化定积分定义的过程的作法这种通过微元简化定积分定义的过程的作法
33、称为微元法称为微元法AdAo(x)应用方向应用方向：平面图形的面积、体积、平面曲线的平面图形的面积、体积、平面曲线的弧长、功、水压力、引力和平均值等。弧长、功、水压力、引力和平均值等。曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积一、平面图形的面积一、平面图形的面积解：解：两曲线的交点两曲线的交点面积元素面积元素选选 为积分变量为积分变量例例1 1 计算由两条抛物线计算由两条抛物线和和所围成的所围成的图形的面积。图形的面积。解：解：两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量(2,-2)(2,-2)(8,4)(8,4)例例2 2 计算由曲线计算由曲线和直线和直线所围所围成的图形
34、的面积。成的图形的面积。解：解：两曲线的交点两曲线的交点将将x当作变量，当作变量，SS1S2，其中，其中 (2,-2)(2,-2)(8,4)(8,4)旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体，这直线叫做旋转一周而成的立体，这直线叫做旋转轴旋转轴。圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二、旋转体的体积二、旋转体的体积xy=f(x)ab 曲边梯形：曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 x 轴旋转轴旋转xyo旋转体的体积为旋转体的体积为例例3 3 求椭圆求椭圆 绕绕x轴旋转所形成的旋转体的体积轴旋转所形成的旋转体的体积解解：将椭圆方程化
35、为：将椭圆方程化为由公式由公式b-ba-aOx y得出所求的体积为得出所求的体积为例例4 求由抛物线求由抛物线y=x2及及x=2，x轴所围成的平面图形绕轴所围成的平面图形绕y轴轴旋转一周所形成的旋转体的体积旋转一周所形成的旋转体的体积.解解:取取y为积分变量，变量为积分变量，变量y的变更区间为的变更区间为0,4,利用公式：利用公式：所求的旋转体的体积为：所求的旋转体的体积为：小小 结结曲线曲线x=(y),直线直线y=c,y=d及及y轴轴所围成的曲边梯形所围成的曲边梯形绕绕y轴轴旋转所旋转所形成的旋转体的体积形成的旋转体的体积V为为:曲线曲线y=f(x),直线直线x=a,x=b及及x轴轴所所围成
36、的曲边梯形围成的曲边梯形绕绕x轴轴旋转所形旋转所形成的旋转体的体积成的旋转体的体积V为为:xydcOx=(y)dy三、平面曲线弧长三、平面曲线弧长设设yf(x)在在a,b上有连续导数上有连续导数f(x)，求曲线在，求曲线在a,b上的弧长。上的弧长。用微元法，在用微元法，在a,b上取小区间上取小区间x,x+dx，相应地截取一，相应地截取一小段弧小段弧AD，过，过A作切线作切线AC，则，则BCdy，若，若dx很小，则很小，则ACAD，而，而 例例5 5 证明：半径为证明：半径为a的圆的周长为的圆的周长为2a。解：解：设半径设半径a的圆的方程为的圆的方程为x2y2a2，则，则四四、变力做功变力做功
37、知道一个常力知道一个常力F(力的方向，大小都不变力的方向，大小都不变)将物体沿将物体沿力的方向从点力的方向从点a 推到点推到点b，所做的功，所做的功 WF(b-a)。如。如何求变力何求变力F(x)（方向不变）（方向不变）将物体沿力的方向从点将物体沿力的方向从点a移移到点到点b 所做的功所做的功W？在在a,b内任取一点内任取一点x，小区间，小区间x,x+dx上功的微元上功的微元 dWF(x)dx例例6 设一圆柱形的贮水池高为设一圆柱形的贮水池高为5米，底面半径为米，底面半径为3米，米，池内装满了水，试问把池内的水全部抽出需做功多池内装满了水，试问把池内的水全部抽出需做功多少？少？解解：小区间小区
38、间x,x+dx，这层，这层水的重力为水的重力为1000 g32dx，把这层水抽出池外需做功近把这层水抽出池外需做功近似为似为dW9000gdx于是所求的功为于是所求的功为五五、定积分在医药学中的应用定积分在医药学中的应用例例7 7 在测定病人胰岛素时，先让病人禁食以达到降在测定病人胰岛素时，先让病人禁食以达到降低体内血糖水平，然后通过给病人注射大量的糖，假低体内血糖水平，然后通过给病人注射大量的糖，假设测得病人血液中胰岛素的浓度设测得病人血液中胰岛素的浓度C(t)C(t)（单位（单位/ml/ml）符合）符合分段函数分段函数其中其中 ，时间，时间t t的单位为分钟，试求血的单位为分钟，试求血液中
39、胰岛素在一小时内的浓度变更的平均值液中胰岛素在一小时内的浓度变更的平均值解解：由函数的平均值公式由函数的平均值公式，有有(单位单位/ml)课堂练习课堂思索 椭圆 绕x轴与绕y轴旋转所成的体积是否相同，为什么？在一些实际问题中在一些实际问题中，常遇到积分区间为无穷区间常遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分或者被积函数为无界函数的积分，它们已经不属于前它们已经不属于前面所说的定积分了面所说的定积分了因此因此，我们对定积分作如下两种我们对定积分作如下两种推广推广，从而形成从而形成“广义积分广义积分”的概念的概念问题提出问题提出3.5 3.5 广义积分广义积分(improper int
40、egral)(improper integral)问题的提出问题的提出（Introduction)前面遇到的定积分前面遇到的定积分是确定的常数，且是确定的常数，且在在上连续。上连续。那么如何计算下列两种类型的积分？那么如何计算下列两种类型的积分？是一般的积分，是一般的积分，定义定义4设函数设函数f(x)在区间在区间a,+)内连续，内连续，b是是a,+)内任一实数，若极限内任一实数，若极限 存在，则称此极存在，则称此极限值为函数限值为函数f(x)在区间在区间a,+)内的广义积分，记做内的广义积分，记做并称此时广义积分收敛并称此时广义积分收敛，否则否则，若，若 不存在不存在，则称则称此时广义积分发
41、散此时广义积分发散.同样可定义在区间同样可定义在区间(-,b上的广义积分上的广义积分符号符号 称为称为f(x)f(x)在区间在区间(-(-，+)+)上的广上的广义积分，若对随意实数义积分，若对随意实数c c，广义积分，广义积分 和和 都收敛，则称广义积分收敛或存在，都收敛，则称广义积分收敛或存在，否则称为发散否则称为发散例例1 1 计算广义积分计算广义积分这个广义积分值的几何意义是：当这个广义积分值的几何意义是：当a-,b+时，时，虽然图中阴影部分向左、右无限延长，但面积却有虽然图中阴影部分向左、右无限延长，但面积却有极限值极限值。简洁地说，它是位于曲线。简洁地说，它是位于曲线 的下的下方，方
42、，x 轴上方的图形面积。轴上方的图形面积。例例2 2 探讨广义积分探讨广义积分 敛散性。敛散性。3.5.2无界函数的广义积分无界函数的广义积分定义定义5设函数设函数f(x)在在(a,b上连续，且上连续，且若对于随意若对于随意，极限，极限 存在，则称此极限值为函数存在，则称此极限值为函数f(x)在在a,b上的上的广义积分，记为广义积分，记为并称此时广义积分收敛，否则就说广义积分发散，其并称此时广义积分收敛，否则就说广义积分发散，其中中a称为瑕点，此积分也称为瑕积分。称为瑕点，此积分也称为瑕积分。同样，若设函数同样，若设函数f(x)在在a,b)上连续，且上连续，且 ，任取，任取，则定义广义积分，则
43、定义广义积分 只有当右边两个极限都存在时，广义积分只有当右边两个极限都存在时，广义积分才收敛，否则称此广义积分发散才收敛，否则称此广义积分发散.若函数若函数f(x)在区间在区间a,b内除内除xc外连续，且外连续，且 ，任取，任取1,2，则定义广义，则定义广义积分积分例例3 3 计算广义积分计算广义积分解解：因为因为 ，xa为瑕点为瑕点，例例4 4 判别判别 的敛散性的敛散性解：解：被积函数被积函数 在积分区间在积分区间上除上除x外皆连续，且外皆连续，且 ,并由于并由于即广义积分即广义积分 发散，所以原广义积分发散发散，所以原广义积分发散.留意：若疏忽于留意：若疏忽于x x 是被积函数的瑕点是被
44、积函数的瑕点(或无穷间或无穷间断点断点)，就会得到以下错误结果，就会得到以下错误结果广义积分是定积分的推广，熟悉无穷区间的广广义积分是定积分的推广，熟悉无穷区间的广义积分定义与计算，了解无界函数的广义积分。义积分定义与计算，了解无界函数的广义积分。课堂思考课堂思考课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习分部积分在广义积分中的应用分部积分在广义积分中的应用课堂思索课堂思索(广义积分在天体物理学中的应用广义积分在天体物理学中的应用)万有引力和宇宙速度万有引力和宇宙速度n空间技术的动力学原理基本上是牛顿力学。空间技术的动力学原理基本上是牛顿力学。n使物体绕地球作圆周运动的速度被称为第一宇宙速使物体绕地球作圆
45、周运动的速度被称为第一宇宙速度度(7.9km/s)(7.9km/s)；n使物体摆脱地球引力，飞离地球的速度被称为其次使物体摆脱地球引力，飞离地球的速度被称为其次宇宙速度宇宙速度(11.2 km/s)(11.2 km/s)；n使物体摆脱太阳引力，飞出太阳系的速度被称为第使物体摆脱太阳引力，飞出太阳系的速度被称为第三宇宙速度三宇宙速度(16.7km/s)(16.7km/s)。其次宇宙速度（宇宙飞船脱离地球引力所需速度）其次宇宙速度（宇宙飞船脱离地球引力所需速度）课堂思索课堂思索(广义积分在医药学中的应用广义积分在医药学中的应用)例 假设口服确定剂量的某种药物后，血药浓度与时间的关系为：C(t)40(e0.2t-e2.3t)探讨表明：血药浓度与时间曲线下的面积反映药物吸取程度代表药物的生物利用度大小试求c-t 曲线下的面积AUC