函数极限连续讲义.ppt

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1、模块一模块一 一元函数微积分一元函数微积分项目一项目一 函数函数 极限极限 连续连续任务一任务一 函数函数任务二任务二 极限的概念极限的概念 无穷小与无穷大无穷小与无穷大任务三任务三 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 任务四任务四 两个重要极限两个重要极限任务五任务五 函数的连续性函数的连续性 学习步骤二学习步骤二 分段函数分段函数学习步骤一学习步骤一 函数函数学习步骤三学习步骤三 函数的简单性质函数的简单性质 学习步骤四学习步骤四 初等函数初等函数学习步骤五学习步骤五 经济函数经济函数任务一任务一 函数函数任务一 函数学习步骤一 函数案例案例1 微波炉中食品的温度 将一碗冷饭放进微波炉中

2、，其温度T随着时间t的增加而升高 案例2 圆盘的面积一个圆盘的面积S由其半径r唯一确定其面积S随着半径r的增加而增大。由此可见，在实际问题中，一个变量的值往往取决于另一个变量的值，这种变量之间的一种确定的依赖关系就是函数关系。定义域与对应法则是构成函数的两个基本要素，值域则由对应法则和定义域完全确定，只有定义域和对应法则完全相同的两个函数才是相同的函数。定义定义1 设有两个变量 和，如果对于变量 在允许 取值范围内的每一个值，变量 按照某一对应规则，都 有唯一确定的值与之对应，则称 是 的函数，记作其中 为自变量，为因变量 的取值范围叫做函数 的定义域，的取值范围叫做函数的值域 进一步练习：进

3、一步练习：练习练习1 下列各对函数中（）不是同一函数解解 答案为D练习练习2 求下列函数的定义域(1)(2)(3)解解（1）要使 有意义，即 或定义域为（2）要使式子有意义，有，解得 定义域为（3）要使式子有意义，有，解得 定义域为 4.反正弦反余弦绝对值不超过1求定义域的几种方法求定义域的几种方法1.分母不为零2.根号下的偶数次方非负3.真数为正（3）用图形表示函数的方法叫做函数的图像法。其优点是直观形象且可清晰地看到函数的变换趋势，此法在工程技术、经济领域中应用普遍。学习步骤二学习步骤二 分段函数分段函数案例案例3【打车问题】在某市打出租车，起步价是4元（2公里）超出起步里程后，每公里价格

4、是1元/公里。由于油价的上涨，最后的打车费还要加1元的燃油附加费。某学院两校区的距离是6公里，王伟打车从老校区到新校区。问哪些是不变量，哪些是变量？求打车费 m 与路程s之间的函数关系。解 起步价是不变量;超出起步里程后，每公里价格是不变的，出租车运行路程是变量，乘客打车费是变量。根据题意可列出分段函数如下打车费与里程的函数关系就是分段函数.其定义域为概念的引出分段函数：分段函数：两个变量之间的函数关系要用两个或多于两个的数学式子来表达。分段函数的定义域为各段自变量取值集合的并集。约定：定义域是自变量所能取得使算式有意义的约定：定义域是自变量所能取得使算式有意义的 一切实数值。一切实数值。函数

5、的表示法函数的表示法常用的函数表示法有公式法、表格法、图像法（1）用数学式子表示函数的方法叫做函数的公式法（解析式法）。其优点是便于理论推导和计算，数学中的函数大多数采用此法。（2）用表格形式表示函数的方法叫做函数的表格法。其优点是所求的函数值容易查到，如所学过的三角函数表，对数表。进一步练习进一步练习练习练习3 设函数 求:（1）函数的定义域（2）（3）作出图像解：（1）定义域为（2）（3）函数图像如图1.1.1所示图1.1.1学习步骤三学习步骤三 函数的简单性质函数的简单性质单调性单调性 设函数 在区间I上有定义，如果 当 时，有，则称函数 在I上是单调增加单调增加的；当 时，有 则称函数

6、 在I上是单调减少单调减少的。单调增加的函数和单调减少的函数统称为单调函数单调函数；并称I是该函数的单调区间。奇偶性：奇偶性：设函数 的定义域I关于原点对称，如果对任意的,有，则称函数 为奇函数；奇函数；如果对任意的,有 ，则称函数 为偶函数。偶函数。既不是奇函数又不是偶函数的函数称为非奇非偶函数。奇函数的图非奇非偶函数。奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。轴对称。周期性：周期性：设函数 的定义域为I，如果存在一个不为零的常数T，对任意的，则称函数 为周期函数，周期函数，满足上式的最小正数T 称为函数 的最小正周期。的最小正周期。如 都是以 为周

7、期的周期函数；都是以 为周期的周期函数。有界性：有界性：设函数 的定义域为I,如果存在正数M,使得对于任意的,则称函数 为I上的有界函数；有界函数；否则称为无界函数。无界函数。如函数 在区间 内恒有 R上的有界函数。，故是学习步骤四学习步骤四 初等函数初等函数1、基本初等函数、基本初等函数我们常把常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。（1）常数函数 常数函数的定义域是，且无论 取什么值 都有，故其值域为。它的图像是一条过点 且与 轴平行（重合）的直线。当 时，它既是奇函数又是偶函数；当 时，它只是偶函数 另外，常数函数也是有界周期函数.（2）幂函数 当

8、取不同值时，幂函数的定义域不同。本书只讨论 的情形，而 时的图像，可根据函数的奇偶性确定。见图1.1.1（3）指数函数 指数函数 的定义域是实数集，值域为正实数集。（4）对数函数 对数函数 的定义域为 值域为 对数函数 与指数函数 互为反函数。（5）三角函数函数 依次叫做正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数。它们统称为三角函数。（6）反三角函数正弦函数 在区间 上的反函数称为反正 弦函数，记作。函数 的定义域为 值域为 。余弦函数 在区间 上的反函数称为 反余弦 函数，记作。函数 的定义域为 值域为 。正切函数 在区间 上的反函数称为反正 切函数，记作。函数 的定义域为，

9、值域为。余切函数 在区间 上的反函数称为反余 切函数，记作。函数 的定义域为，值域为。2、复合函数、复合函数 定义定义1.2 设函数 y=f(u)的定义域为，函数 u=的定义域为，值域为，如果 则y=f(u),u=,是可以复合的，记作 。称u为中间变量。注：（1），否则不能复合，如 与 就不能复合，因为，而（2）复合函数不仅可以有一个中间变量，还可以有多个中间变量。（3）复合函数通常不一定由基本初等函数复合而成，而更多的是由基本初等函数经过四则运算形成的简单函数所构成。这样，复合函数的合成与分解往往是对简单函数而言的。无中间变量的函数称为简单函数。练习练习4 设函数 的定义域为0,1,求 的定

10、义域。解 由 的定义域为0,1,可知必须满足 即 所以 的定义域为 练习练习5 指出下列函数的复合过程。（1）（2）（3）（4）解：（1）是由 复合而成.（2）是由 y=lnu 复合而成.（3）是由 复合而成.（4）是由 复合而成.3、初等函数、初等函数 由常数和基本初等函数经有限次的四则运算和有限次的复合运算，并能用一个数学式子表示的函数，称为初等函数。例如：等都是初等函数。而一般的分段函数，如 就不是初等函数，但并不是所有的分段函数都不是初等函数。例如，为分段函数，但 可看作是由 复合而成的函数，所以为初等函数。学习步骤五学习步骤五 经济函数经济函数 在社会经济活动中，往往会涉及一些经济变

11、量，它们之间有着各种依存关系。用数学方法解决经济问题，就要找出这些经济量之间的函数关系。下面我们介绍一些常见的经济函数。1、需求函数、需求函数市场对某种商品的需求量，主要受到该商品价格的影响，通常降低商品的价格会使得需求量增加，提高商品的价格会使需求量减少。在假定其他因素不变的条件下，市场需求量 可视为该商品价格 的函数，称为需求函数，记作：常见的需求函数有以下几种类型：（1）线性需求函数：（2）指数需求函数：需求函数 的反函数，就是价格函数，记作，也反映商品的需求与价格的关系。2、供给函数、供给函数 供给是与需求相对应的概念，需求是就市场中的消费者而言，供给是就市场中的生产销售者而言的。某种

12、商品的市场供给量 也受商品价格 的制约，价格上涨将刺激 生产者向市场提供更多的商品，供给量增加；反之，价格下跌将使供给量减少。在假定其他因素不变的条件下，供给量 也可看成价格 的函数，称为供给函数，记作常见的供给函数也有以下几种类型：（1）线性供给函数：（2）指数供给函数：一般地，需求函数是价格的单调减函数，供给函数是价格的单调增函数。3、成本函数、成本函数总成本由固定成本 和可变成本 两部分组成：其中固定成本 与产量 无关，如厂房、设备费等；变动成本 随产量 的增加而增加，如原材料费等。4、收入函数、收入函数 总收入函数与产品的单价、产量和销售量有关。如果产品的单 位售价为 产量或销售量为，

13、则总收入 函数为：5、利润函数、利润函数总利润等于总收入与总成本的差，于是总利润函数为：图1.1.1yx0C在第一象限内在第一象限内,函数图象的变化函数图象的变化趋势与指数有什趋势与指数有什么关系么关系?在第一象限内，在第一象限内，当当a0时，图象随时，图象随x增大而上升。增大而上升。当当a0a0时，图象随时，图象随x x增大而上升。增大而上升。当当a0a0时时,图象还都过点图象还都过点(0,0)点点的图象和性质：a1 0a1 0a y-11-1在函数在函数 的图象上，起关键作用的点有：的图象上，起关键作用的点有：最高点：最高点：最低点：最低点：与与x轴的交点：轴的交点：在精度要求不高的情况下

14、，我们可以利用这在精度要求不高的情况下，我们可以利用这5个点画出函数个点画出函数的简图，一般把这种画图方法叫的简图，一般把这种画图方法叫“五点法五点法”。-11-1在函数在函数 的图象上，起关键作用的点有：的图象上，起关键作用的点有：最高点：最高点：最低点：最低点：与与x轴的交点：轴的交点：正弦曲线：正弦曲线：余弦曲线：余弦曲线：xy1-1xy1-1正切函数的图象正切函数的图象0正切曲线正切曲线全体实数全体实数R R 正切函数是正切函数是周期函数周期函数，T=正切函数在正切函数在开区间内都是增函数开区间内都是增函数。正切函数是奇函数，正切曲线关于原点0对称xyo 反三角函数反三角函数xyo-2

15、-2 3 4 1-1 正弦函数正弦函数 有反函数吗？有反函数吗？没有没有,因为他不是一一对应函数，因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应同一个三角函数值会对应 许多角。许多角。正弦函数正弦函数 有反函数吗？有反函数吗？正弦函数正弦函数 有反函数吗？有反函数吗？有有,因为它是一一对应函数，因为它是一一对应函数，同一个三角函数值只对应一个角。同一个三角函数值只对应一个角。一、反正弦函数一、反正弦函数 1、定义：、定义：正弦函数正弦函数 的反函数的反函数 叫反正弦函数，记作叫反正弦函数，记作 (本义反函数本义反函数)习惯记作习惯记作 (矫正反函数矫正反函数)理解和掌握 符号（1）、）、表示一

16、个角表示一个角（2）、这个角的范围是）、这个角的范围是（3）、这个角的正弦值是）、这个角的正弦值是即即3、熟记特殊值的反正弦函数值、熟记特殊值的反正弦函数值例1：判断下列各式是否正确？并简述理由。对错错错错对例例2、求下列各式的值：、求下列各式的值：解：解：xyo-2-2 3 4 1-1 没有没有,因为他不是一一对应函数，因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应同一个三角函数值会对应 许多角。许多角。余弦函数余弦函数 有反函数吗？有反函数吗？余弦函数余弦函数 有反函数吗？有反函数吗？有有,因为它是一一对应函数，因为它是一一对应函数，同一个三角函数值只对应一个角。同一个三角函数值只对应一个

17、角。二、反余弦函数二、反余弦函数 1、定义：、定义：余弦函数余弦函数 的反函数的反函数 叫反余弦函数，记作叫反余弦函数，记作 (本义反函数本义反函数)习惯记作习惯记作 (矫正反函数矫正反函数)理解和掌握 符号（1）、）、表示一个角表示一个角（2）、这个角的范围是）、这个角的范围是（3）、这个角的余弦值是）、这个角的余弦值是即即3、熟记特殊值的反正弦函数值、熟记特殊值的反正弦函数值例1：判断下列各式是否正确？并简述理由。对错错错错对例例2、求下列各式的值：、求下列各式的值：解：解：没有没有,因为他不是一一对应函数，因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应同一个三角函数值会对应 许多角。许多

18、角。正切函数正切函数 有反函数吗？有反函数吗？正切函数正切函数 有反函数吗？有反函数吗？有有,因为它是一一对应函数，因为它是一一对应函数，同一个三角函数值只对应一个角。同一个三角函数值只对应一个角。三、反正切函数三、反正切函数 1、定义：、定义：正切函数正切函数 的反函数的反函数 叫反正切函数，记作叫反正切函数，记作 (本义反函数本义反函数)习惯记作习惯记作 (矫正反函数矫正反函数)理解和掌握 符号（1）、）、表示一个角表示一个角（2）、这个角的范围是）、这个角的范围是（3）、这个角的正切值是）、这个角的正切值是即即32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-3-4-3-2-11

19、2342、反正切函数、反正切函数y=arctanx,x R的图象与性质的图象与性质(1)定义域定义域R(2)值域值域:(3)奇偶性奇偶性:是奇函数是奇函数arctan(-x)=-arctanx(xR)其图象关于坐标原点对称。(4)单调性单调性:是增函数是增函数3、熟记特殊值的反正切函数值、熟记特殊值的反正切函数值例例1、求下列各式的值：、求下列各式的值：解：解：2、反余切函数、反余切函数y=arccotx,x R的图象与性质的图象与性质(1)定义域定义域R(3)单调性单调性:是减函数是减函数x0(2)值域值域:y任务二任务二 极限的概念极限的概念 无穷小与无穷大无穷小与无穷大学习步骤一学习步骤

20、一 数列的极限数列的极限案例案例1 中国古代庄子天下篇一书中著有“一尺 之棰，日取其半，万世不竭”（作者像见下图1.1.2）图1.1.2无穷数列自然的倒数列自然数列等比数列，极限不存在，或常数列 C，C，C，极限不存在。摆动数列定义定义1 如果无穷数列的项数 n无限增大时，数列 的一般项无限地趋向于一个确定的常数A，那么就称A为这个数列的极限，记作或 一个数列有极限，就称这个数列是收敛的，否则就称它是发散的.显然，即当 是收敛的。学习步骤二学习步骤二 函数的极限函数的极限时函数时函数 的极限的极限当 时，考察 的变化趋势。图1.1.3定义定义2 当 时，函数 无限靠近一个确定的常数 A，则称函

21、数 在 时以 为极限，记为；当 时，函数 无限靠近一个确定的常数,则称函数 在 时以 为极限，记为 进一步练习：进一步练习：练习练习1 观察函数 的图形，讨论 及 时，函数的极限。图1.1.4 解 图1.1.4所示，当 时，y逐渐靠近，即 当 逐渐靠近，即 由于 所以 不存在练习练习2 求函数 当 时的极限。解 因为不论 时，所以 2、时，函数时，函数f(x)的极限的极限 注：表示x无限靠近,x一般是不等于 案例案例2 如图1.1.5所示，讨论函数 y=f(x)=x-1，当 时的变化趋势。解：观察直线上的纵坐标y，当横坐标x从左侧无限接近1时，纵坐标y由负数逐渐增大到0；当横坐标x从右侧无限接

22、近1时，纵坐标y由正数逐渐减少到0.图1.1.5案例案例3 如图1.1.6所示，讨论函数，当 时的变化趋势。解，即它的图形是直线y=x+1上 去掉点 p（1,2）,观察直线上的纵坐标y，当横 坐标x从左侧无限接近1时，纵坐标y逐渐增大 到2；当横坐标x从右侧无限接近1时，纵坐标y逐渐减少到2.图1.1.6案例案例4 如图1.1.7所示，讨论函数 ,当 时的变化趋势。解 观察函数图形上的纵坐标y，当横坐标x从左侧无限接近0时，纵坐标 y沿抛物线逐渐减少到1；当横坐标x从右侧无限接近0时，纵坐标y沿直线逐渐减少到0.图1.1.7规定：表示x从左右两侧无限靠近 表示x从右侧无限靠近 表示x从左侧无限

23、靠近 定义定义3 如果x从左右两侧无限靠近 时，函数f(x)的函 数值都无限接近一个确定的数A，记为或 称为函数 在 处的左极限 称为函数 在 处的左极限 定理定理1、函数 在 处的极限存在的充分必要条件 在 处的左右极限存在且相等，即注注：（1）从 与 是否相等判断函数在 时的极限是否存在.（2）函数在 时的极限与函数在 点是否 有定义无关，也与函数在 点的函数值无关.进一步练习进一步练习练习练习3 函数，求当 时 的极限。解：因为 所以当 时，的极限不存在。学习步骤三学习步骤三 无穷小和无穷大无穷小和无穷大一、无穷小量一、无穷小量 1、无穷小量的定义、无穷小量的定义 若在自变量x的某种变化

24、过程中 函数 以0为极限，则称函数 为这一变化过程中的无穷小量无穷小量，简称为无穷小。如，所以函数 为 时的无穷小。，则函数 为 时的无穷小，则函数 为 时的无穷小注注：（1）不能单独说某个函数是无穷小，无穷小与自变量的某个变化过程是联系在一起的.（2）无穷小量是极限为零的变量，任何绝对值很小的常数都不是无穷小，常数中只有0是无穷小.2、极限与无穷小量的关系、极限与无穷小量的关系定理定理2、的充要条件是，其中 无穷小量还有以下性质：无穷小量还有以下性质：性质性质1、有限个无穷小的和（差）仍是无穷小.性质性质2 无穷小与有界变量的乘积仍是无穷小.推论推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小.性质性质3

25、 有限个无穷小的乘积是无穷小.注注：1、无穷个无穷小量的和不一定是无穷小 2、无穷小与无穷小的商不一定是无穷小 无穷多个无穷小的和不一定是无穷小举例：无穷小量的商无穷小量的商设在自变量的某一变化过程中，与 都是无穷小，且（c为常数）（1）若c=0，则称 是比高阶的无穷小，记为（2）若 则称是与同阶的无穷小，特别c=1时，则称 是与是等价的无穷小，记为 二、无穷大量二、无穷大量在自变量的某个变化过程中，函数 的绝对值 无限增大，则称 为这个变化过程中的无穷大量无穷大量。注注：（1）无穷大量是绝对值无限大的变量，任何绝对值很大的常数都不是无穷大量。f(x)=xsinx,当 时是无界变量，但它 不是

26、无穷大量，在 时，函数值始终在摆动。（2）无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大量，如（3）若，则称 是比 低阶的无穷小，此时 是比 高阶无穷小，记为 进一步练习：进一步练习：练习练习4 求 解 因为 为 时的无穷小量，而 为有界变量，由性质2得：练习练习5 比较下列无穷小量的阶 解（1）因为 所以（2）因为 所以 是同阶的无穷小。定理定理3、在相同的变化过程中，无穷大量的倒数是无、在相同的变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，恒不等于零的无穷小量的倒数是无穷大量。穷小量，恒不等于零的无穷小量的倒数是无穷大量。2、无穷大量和无穷小量的关系、无穷大量和无穷小量的关系任务三任务三 极限的

27、四则运算法则极限的四则运算法则学习步骤一、极限的运算法则学习步骤一、极限的运算法则定理定理1、设 与 都存在，则（x在相同的变化过程中）推论推论、存在，c为常数，则（n为正整数）（x在相同的变化过程中）进一步练习：进一步练习：练习练习1 求 解 练习练习2 求 解：因为 所以 讨论 若 ，则 分析 若 则 一般地，对于有理分式，如果 则练习练习3 求 解：因为 所以不能直接使用商的极限法则，注意到分子也趋向于零。注：对于 型的未定式极限，思路总是通过消去零因式，从而运用商的极限运算法则求解练习练习4 求 解：练习练习5求解：解：一般地有练习练习5 求 解 【运用平方差公式，分解出趋向于零的因式

28、，约 去后再求极限】一般地，设，m,n为正整数，则有练习练习6 求 解 【时，分子分母都趋向与无穷，为 型，分子分母同除以分子分母的最高次幂】练习练习9 求 解 【该极限为 型，先通过通分化为 型，再求极限】练习10 求练习练习11 求求 解：当 时 分子及分母的极限都不存在 故 关于商的极限的运算法则不能应用 因为 是无穷小与有界函数的乘积 所以 任务四任务四 两个重要极限两个重要极限学习步骤一学习步骤一 两个重要极限公式两个重要极限公式1、（第一个重要极限公式）（第一个重要极限公式）注：注：(1)式中的变量使用什么字母并不重要，只要它们是相同的无穷小即可，我们可以形象地把极限式写成(2)对

29、于不满足重要极限的式子可以通过添一些项使之满足式子从而求解进一步练习：进一步练习：练习练习 求极限 解:练习练习 求极限 解 练习练习 求极限 解:练习练习 求极限 解=1思考：（也可写成（也可写成（.第二个重要极限公式）第二个重要极限公式）练习练习 求极限 解：它可以形象的写成：它可以形象的写成：练习练习 求极限 解 法：令 t 练习练习10 求极限 解=e一些常用的三角公式一些常用的三角公式:同角三角函数的关系式同角三角函数的关系式:任务五任务五 函数的连续性函数的连续性学习步骤一学习步骤一 函数的连续性函数的连续性 变量的增量变量的增量设变量 从它的一个初值 变到终值 终值与初值 的差

30、就叫做变量 的增量 记作 即 设函数 在点 的某一个邻域内是有定义的 当自变量 在这邻域内从 变到 时 函数 相应地从 变到 因此函数 的对应增量为 点的某个邻域内有定义,则当 定义定义1 若函数 在 时，称函数 在 点连续，定义定义2 若函数 在 点的某个邻域内有定义，则当 在 点间断。否则称称函数 在 点连续 由定义1可以看出，函数要在 点连续，必须满足 三个条件：（1）必须在 点及附近有定义；（2）在 点的极限必须存在；（3）极限值必须等于函数值；连续函数的图形是一条连绵不断的曲线。进一步练习：进一步练习：练习练习1 讨论分段函数 在分段点 x=0 处的连续性。解 因为 故 所以该分段函

31、数在分段点x=0处是连续的。练习练习2 讨论 在点x=1处的连续性解 所以该分段函数在分段点x=1处是连续的。结论：由此可见，验证函数是否连续只需要验证连续性的3个条件是否同时满足即可，有一个条件不满足都是不连续的。学习步骤二学习步骤二 函数的间断点函数的间断点根据函数的连续性可知，若函数 在点 处呈下述三种情形之一：（1）在 点处没有定义（2）在 点处有定义，但 不存在。（3）在 点处有定义，且 存在，但 则点 是函数 的间断点，间断点可以分为以下 几种类型：1、第一类间断点、第一类间断点若 是函数 的间断点，且 和 都存在，即左、右极限都存在的间断点为第一类间断点。第一类间断点又可以分为以

32、下两种情况：（1）时，称为可去间断点（2）时，称为跳跃间断点2、第二类间断点、第二类间断点若 为函数 的间断点，且在该点处至少 有一个单侧极限不存在，则称 为 的第二类间断点。第二类间断点又可以分为以下两种情况：(1)左右极限至少有一个趋向于无穷，则称 为函数 的无穷间断点(2)左右极限至少有一个不存在，但又不趋向于无穷，则称 为函数 的振荡间断点。进一步练习：进一步练习：练习练习3 正切函数 在 处没有定义 所以点 是函数 的间断点又因为 故称 为函数 的无穷间断点练习练习4 函数 在点x=0没有定义 所以点x=0 是函数 的间断点 当 x0时 函数值在-1与1之间变动无限多次 所以点x=0

33、称为函数 的振荡间断点 练习练习5 函数 在x=1没有定义 所以点 x=1是 函数的间断点 因为 所以x=1称为该函数的可去间断点 练习练习7 设函数 解 因为 所以极限 不存在 是函数 的跳跃型的间断点(跃度为2)学习步骤三、初等函数的连续性学习步骤三、初等函数的连续性 一切初等函数在其定义域范围内都是连续的，所以求初等函数的连续区间，实际上就是求它的定义域，某一点若在初等函数的定义域内，则这一点的极限就等于该点的函数值，对于分段函数的连续性，主要考察它的分段点，而在其他地方的连续性与初等函数是相同的。练习练习8 求极限 解 将 代入函数 中，函数有意义所以 以下定理给出了复合函数求极限的方

34、法 定理定理1、设有复合函数，若，而函数 在u=a连续，则 练习练习9 求 解 学习步骤四学习步骤四 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质定理定理2（最值定理）闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值。注：(1)开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值。如 在（0，1）上无最大值和最小值。(2)闭区间上的非连续函数也不一定有最大值和最小值 如 在-1，1上无最大值和最小值。推论推论、闭区间上的连续函数一定在该区间上有界定理定理3（零点定理）若函数 在闭区间a,b上连续，且 与 异号，则至少存在一点 使得 定理定理4（介值定理）若函数 在闭区间a,b上连续，且 u是介于 与 之间的任意 一个数，则至少存在一点，使得 练习练习10 证明方程 在区间（0 1）内 至少有一个根 证 函数 在闭区间0 1上连续 又 f(0)=10 f(1)=20 根据零点定理 在(0 1)内 至少有一点 使得 即 这等式说明方程 在区间（0 1）内 至少有一个根 结 束