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1、函数极限和连续1现在学习的是第1页，共37页 参考书目参考书目 1.1.高等数学（第六版）同济大学高等数学（第六版）同济大学 数学系，数学系，2.2.高等数学学习指导，同济大学编高等数学学习指导，同济大学编 写的高等数学配套指导书。写的高等数学配套指导书。2现在学习的是第2页，共37页1. 集合的表示集合的表示: (1) 列举法：A = a, b, c, d, e, f, g 。 (2) 描述法：M = (x, y) | x2+y2 =1 。2. 常用集合符号常用集合符号: N 表示自然数集合，简称 自然数集。 R 表示实数集合，简称 实数集。 Z 表示整数集合，简称 整数集。 Q 表示有理数
2、集合，简称 有理集。3. 关系关系： N Z ，Z Q ，Q R 。第一章 函数、极限与连续3现在学习的是第3页，共37页1. 开区间： (a, b) =x|axb。xOab(a， b)2. 闭区间： a, b=x|axb。xOaba， b3. 半开区间：a, b)=x|axb及 (a, b=x|axbxOaba， b)xOab(a， b区间: 4. 有限区间：上述三类区间称为有限区间。其中a 和 b 称为区间的端点，b-a 称为区间的长度。4现在学习的是第4页，共37页 xOaa，+)xOb(- ， b(-, b = x| xb，(-,+) 整个数轴a, +) = x| ax，5. 无限区间
3、：xOb(- ， b)(-, b) = x| xb，(a, +) = x| ax，axO(a，+)5现在学习的是第5页，共37页邻域邻域: 1.点点 a 的邻域的邻域: 以点 a 为中心的任何开区间称为点 a 的邻域，记作U(a)。 2.点点a 的的 邻域邻域: 称开区间(a-, a+)为点a 的邻域，记作U(a, )， U(a, ) =x|a-xa+ =x| |x-a|。 其中点 a 称为邻域的中心, 称为邻域的半径。 3. 去心邻域: 记为 (a,) =x |0| x-a |。UxOa-a+U(a, )，xOa-a+(a， )Ua6现在学习的是第6页，共37页1. 函数 设数集D R ，则
4、称映射 为定义在D 上的函数，记为y=f (x)， xD 。 其中 x 叫做自变量，y 叫做因变量， D 叫做函数的定义域。 2. 映射 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则 f ，使得对X中的每个元素 x，在 Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应，则称 f 为 X 到 Y 的映射，记作:fDR:fXY7现在学习的是第7页，共37页函数要素与定义域 ： 1. f (x) = sinx, x0,1 ； 2. 圆的面积公式 f (x) = ，x 半径2x 3. f (x) =2141xx+-8现在学习的是第8页，共37页5. 函数的值域：所有函数值的集合称为函数的值域W=y | y=f(x)，
5、xD。3. 函数的定义域： （1）给定定义域： y=f (x)，xD ；（2）实际定义域：根据函数表示的实际意义确定的定义域（3）自然定义域：使函数表达式（解析式）有意义的一切实数值集合。4. 函数值： 当 x取数值 x0D时，与 x0对应的 y的数值称为函数 y=f(x)在点 x0处的函数值，记为 f(x0)。9现在学习的是第9页，共37页), 0( +=xxy称为 ， 多值函数.注注：1 多值函数不是函数2 不作特别声不作特别声明的明的情况下，我们所说情况下，我们所说 的的 函数指的都是函数指的都是单值函数单值函数。10现在学习的是第10页，共37页分段函数:定义:用公式法表示函数时,有时
6、需要在自变量不同的取值范围中用不同的表达式来表示一个函数,则称为分段函数.例 1-=0 10 00 1sgnxxxy(符号函数)-=0 0 xxxxxy例 2绝对值函数xyoxy =xyo11-11现在学习的是第11页，共37页例例 3 称函数称函数 y= =x 为为取整函数取整函数-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 xy54321-1-2-3-4-5 y=x3.5,0.2, 0.8, 3.9-12现在学习的是第12页，共37页2.函数的几种特性:1. 奇偶性: )()(xfxf-=-)(xf为 奇函数.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称任意两点1x及2x,
7、当21xx 时,恒有)()(21xfxfM。y=f(x)Oxyy= -Ky= K17现在学习的是第17页，共37页Oxy1 2y=1/x 函 数 f(x) =1 /x在 开 区 间(0, 1) 内是无界的。无界函数特点： 函数f(x) =1/x在(0, 1)内有下界，无上界。 此函数在(1, 2)内是有界的。18现在学习的是第18页，共37页0 x0y0 x0yxyDR)(xfy = =函数函数oxyDR)(yx = =反函数反函数o习惯上, 反函数 x= (y)写成 y = (x) = f -1(x).1. 反函数： 设有函数y=f(x)(xD)，其值域R=f(D).若对于R中每一个y值,
8、都可由方程f(x)=y确定唯一的x值:x=(y), 称为y=f(x)的反函数,记作 x =f -1(y), 读“f 逆” 。3. 反函数与复合函数.19现在学习的是第19页，共37页Oxyxy=f(x)yOxy-xxy=f(x)y结论：单调函数存在反函数求反函数解析式的方法： 将原函数用 x表示y 转化为用 y 表示 x，对x和y互换，得到的函数就是所求的反函数。 2. 反函数存在的条件： 什么样的函数存在反函数？20现在学习的是第20页，共37页)(xfy = =直接函数直接函数xyo),(abQ),(baP)(xy = =反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线 对称.xy = =21
9、现在学习的是第21页，共37页(2).复合函数: .u称为中间变量. )(xfy=记作)(ufy =的定义域为,函数定义1.1.3若函数1D)(xu=在2D上有定义,而),(22Dxxuuw=且12Dw .因此,对于这个u值,通过函数)(ufy =有确定的y值与之对应，这样,对于任一2Dx, 通过u有确定的y的值)(ufy =和)(xu=复合而成的复合函数.到一个以xy为自变量,为因变量的函数.称这个函数为与之对应,从而得22现在学习的是第22页，共37页 ) ) ) ) )2,0,2,0,f xf xgf xf xf x-=+解: 22,0,2,0.x xxx+=+例 2 求复合函数例 1
10、求复合函数 ) ) )22,0,0,.2,0,0,x xxxg xfxfxxxx x-=+-设求g ) ) )22,0,1,.2,0,1,x xxxg xf xgf xxxx x-=+-设 求 23现在学习的是第23页，共37页基本初等函数1）幂函数)( 是常数是常数 = = xy2）指数函数)1, 0( = =aaayx3）对数函数)1, 0(log = =aaxya4）三角函数;cosxy = =;sin xy = =5）反三角函数;arccos xy = =;arcsin xy = =;cot xy = =;tan xy = =;arctan xy = = =ycotarcx初等函数:基
11、本初等函数经过有限次加、减、乘、除四则运算和有限次函数的复合运算所得到的并可用一个解析表达式表示的函数，称为初等函数.24现在学习的是第24页，共37页基本初等函数基本初等函数1.幂函数)( 是常数是常数 xy = =oxy)1 , 1(112xy = =xy = =1yx=xy = =25现在学习的是第25页，共37页2.指数函数)1, 0( = =aaayxxay = =xay)1(= =)1( a)1 , 0( xey = =26现在学习的是第26页，共37页3.对数函数)1, 0(log = =aaxyaxyln= =xyalog= =xya1log= =)1( a)0 , 1( 27
12、现在学习的是第27页，共37页4.三角函数正弦函数xysin= =xysin= =o28现在学习的是第28页，共37页xycos= =xycos= =余弦函数o29现在学习的是第29页，共37页正切函数xytan= =xytan= =o30现在学习的是第30页，共37页xycot= =余切函数xycot= =o31现在学习的是第31页，共37页正割函数xysec= =xysec= =o32现在学习的是第32页，共37页xycsc= =余割函数xycsc= =o33现在学习的是第33页，共37页5.反三角函数xyarcsin= =xyarcsin= =反正弦函数反正弦函数o34现在学习的是第34页，共37页xyarccos= =xyarccos= =反余弦函数反余弦函数o35现在学习的是第35页，共37页xyarctan= =xyarctan= =反正切函数反正切函数xy22-36现在学习的是第36页，共37页幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.xycotarc = =反反余余切切函函数数xycot= =arco37现在学习的是第37页，共37页