函数、极限和连续.ppt

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1、(二)极限 一、数列极限 二、函数的极限的概念 三、函数的极限的的性质 四、极限的运算法则四、极限的运算法则 五、复合函数的极限五、复合函数的极限 六、两个重要极限六、两个重要极限1（二）极限（二）极限1知识范围知识范围（1）数列极限的概念）数列极限的概念数列数列 数列极限的定义数列极限的定义（2）数列极限的性质）数列极限的性质唯一性唯一性 有界性有界性 四则运算法则四则运算法则 夹逼定理夹逼定理 单调有界数列极限存在定理单调有界数列极限存在定理（3）函数极限的概念）函数极限的概念函数在一点处极限的定义函数在一点处极限的定义 左、右极限及其与极限的关系左、右极限及其与极限的关系 趋于趋于无穷无

2、穷 时函数的极限时函数的极限 函数极限的几何意义函数极限的几何意义（4）函数极限的性质）函数极限的性质唯一性唯一性 四则运算法则四则运算法则 夹通定理夹通定理（5）无穷小量与无穷大量）无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量的定义无穷小量与无穷大量的定义 无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量的关系 无穷无穷小量的性质小量的性质 无穷小量的阶的比较无穷小量的阶的比较（6）两个重要极限）两个重要极限22要求要求（1）理解极限的概念（对极限定义中）理解极限的概念（对极限定义中“N”、“M”、“”等形式的描述不作要求）。会求函等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处

3、极限存数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。在的充分必要条件。（2）了解极限有关性质，掌握极限四则运算法则。）了解极限有关性质，掌握极限四则运算法则。（3）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。小量代换求极限。（4）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。3“割之弥细，所割之

4、弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽刘徽一、数列的极限一、数列的极限1、概念的引入、概念的引入S=S=45截丈问题：截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”6例如例如2、数列的定义、数列的定义7n=19n=32n=42n=508随着随着n的增加，的增加，1/n会越来越小。会越来越小。9几何解释几何解释:则称a为数列Xn n的极限，称数列Xn n收敛，否则数列Xn n发散。101）.有界性有界性3、收敛数列的性质收敛数列的性质2）唯一性）唯一性定理定理 每个收敛的数

5、列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限.3 3）若数列）若数列XnXn收敛则它的每个子列也收敛。收敛则它的每个子列也收敛。数列Xn收敛则11发散数列判别法发散数列判别法:1.1.无界数列必定发散无界数列必定发散.2.2.一子列发散一子列发散,则数列发散则数列发散.3.3.两子列收敛到不同的极限两子列收敛到不同的极限,则数列发散则数列发散.例例:证证121）单调有界准则单调有界准则单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:4 4、数列收敛判别准则、数列收敛判别准则13例例1：设：设(n=1,2,)，证证 由由及及知知设对某正整数设对某正整数k有有则有则有故由归纳法，对一

6、切正整数故由归纳法，对一切正整数n，都有，都有即即为单调减少数列，且为单调减少数列，且试证数列试证数列 极限存在，并求此极限。极限存在，并求此极限。解得解得所以所以14例例2 2证证(舍去舍去)152）夹逼准则夹逼准则16例例1 1解解由夹逼定理由夹逼定理17例例3：求：求解：解：由夹挤定理由夹挤定理18例题例题19二、函数的极限二、函数的极限1、自变量趋向无穷大时函数的极限202122另两种情形另两种情形:描述性定义：描述性定义：23几何解释几何解释:24例例1证证25几何解释几何解释:描述性定义：2、自变量趋向有限值时函数的极限26例例证证函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.273

7、.单侧极限单侧极限:例如例如,左极限左极限右极限右极限28左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例证证29三、函数极限的性质三、函数极限的性质1.有界性有界性2.唯一性唯一性30定理定理(保号性保号性)推论推论31小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义32四、函数极限运算法则四、函数极限运算法则定理定理 若若均存在，则均存在，则1)2)（k为常数）为常数）3)当当时，时，33例例1 1解解34解解例例2 235解解例例3 3(消去零因子法消去零因子法)36解：原式解：原式 例例5（02四四1）求求解解:原式原式例例4:求求37例例6（a00，b00，m,n0).解：解：1）m=n,原式

8、原式2）mn,原式原式3）mn，原式，原式=.38例例7 7解解(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)3940例例41(1)五、两个重要极限五、两个重要极限4243例例解解44重要极限的几何意义：=例5:求下列极限(1)(3)(4)(6)45证明证明:nBOB面积n扇形BOB面积nD OD面积分 AnABn 例 6 证明半径为R的圆面积为R2 O 46解：解：设设 u=arcsinx x0时时u0,例例47例例5 5 求求解解 原式原式4849(2)50例例(0406)(0406)解解例例(9602)(9602)解解51例例例例52例例53例例4 4解解例例5 5解解54例例7 求求解：原式解：

9、原式例例6 求求解：原式解：原式55六、复合函数极限运算法则六、复合函数极限运算法则定理定理 设函数设函数y=f(u)及及u=(x)构成构成复合函数复合函数y=f (x),在在x0某个去心邻域某个去心邻域,若若且且(x)l,则复合函数则复合函数y=f (x)在在 xx0时时的极限为的极限为56说明说明:又称变量代换法又称变量代换法1.2.幂指函数的极限运算幂指函数的极限运算证明证明:5758例例8 59注意注意1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.七、无穷小1.定义定义:极限为零的变量称为极限为零的变量

10、称为无穷小无穷小.602.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性充分性充分性61定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小62特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无

11、穷大注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.63不是无穷大不是无穷大无界，无界，64定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.65解解例例66在下列变量中是无穷大量的是（）C67填空填空:68证：证：这说明这说明在在 上无界上无界而而取取又当又当而而这说明这说明 不是无穷大量不是无穷

12、大量例例但当但当 时时证明函数证明函数在在 上无界，上无界，这函数也不是无穷大这函数也不是无穷大69无穷小的比较例如例如,极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.不可比不可比.观观察察各各极极限限70定义定义:71例例解解例例解解72例例解解73常用等价无穷小常用等价无穷小:用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如例如,74例当例当 x时时f(x)与与1/x 是等价无穷小，则是等价无穷小，则例例：下列表达中（）是正确的：75等价无穷小替换定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)证证76例例1414解解对于代数和中

13、各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意注意77例例1515解解解解错错78例例1679由由得得例例1780例例18例例1681左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小两者的两者的关系关系无穷大无穷大82定理定理推论推论1 1推论推论2 2极限的性质极限的性质83求极限的常用方法求极限的常用方法a.多项式与分式

14、函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.84判定极限存在的准则判定极限存在的准则(夹逼准则夹逼准则)85(1)(2)两个重要极限两个重要极限861.利用极限的基本性质和运算法则利用极限的基本性质和运算法则 例例1 87例例2例例3 2.利用两个重要极限利用两个重要极限88例例4例例5原式原式=893.利用适当的函数变换利用适当的函数变换例例990例例10(02二二3)91例例11 已知已

15、知求求因为因为所以所以即即924.利用极限存在准则利用极限存在准则例例12 设设 求求其中其中解解又又单调减少单调减少,且有下界且有下界,有极限有极限93设极限为设极限为 ,即即94例：95例例1313 设设 证明数列证明数列 有极限并求：有极限并求：证明证明 因为因为 且且 所以显然有所以显然有 即即有界有界96 由于由于不妨设不妨设成立，成立，下面利用归纳法证明单调性下面利用归纳法证明单调性 97故故 所以所以单调增加单调增加.所以所以有极限有极限.设设则则985.5.等价无穷小等价无穷小:用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如例如,99例当例当 x时时

16、f(x)与与1/x 是等价无穷小，则是等价无穷小，则例例：下列表达中（）是正确的：100例例解解对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意注意101例例16102由由得得例例17103例例例例例例有界变量与无穷小量的有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量乘积是无穷小量为有限值）为有限值）（104练练 习习 题题105106107练习题答案练习题答案1081096.左右极限左右极限例例19110例例20设设求求1117.根据极限求参数根据极限求参数例例21设求求解而 是常数即112例例22已知求 之值 解而即即113例例2323 解解 因为因为 即即 所以所以 求求114例例解解 因为因为 求求 1-a=0 a+b=0 即a=1 b=-1115例例24 证明证明不存在不存在证证 取取则则所以所以取取则则所以所以由于由于所以所以 不存在不存在116一、填空题一、填空题:练练 习习 题题117二、求下列各极限二、求下列各极限:118119练习题答案练习题答案120