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1、2.6 函数的连续性函数的连续性(2)定义：定义：设函数设函数f(x)f(x)在在 处及其处及其附近有定义附近有定义，而且，而且则称函数则称函数f(x)f(x)在点在点 处连续处连续，称为称为函数函数f(x)f(x)的连续点。的连续点。函数函数f（x）在点）在点x0处连续必须处连续必须同时具备同时具备三个三个条件：条件：1、存在，即函数存在，即函数在点在点x0处有定义。处有定义。2、存在。存在。3、必须同时满足。必须同时满足。二、单侧连续性：二、单侧连续性：并且并且如果函数如果函数 在点在点 处及其右侧附近处及其右侧附近有定义有定义则称则称f(x)f(x)在点在点 处右连续。处右连续。xyOa
2、类似地：类似地：则称则称f(x)f(x)在在 处是左连续。处是左连续。如果函数如果函数 在点在点x x0 0处及其左侧附近处及其左侧附近有定有定义，并且义，并且xyOa三、函数的连续性：三、函数的连续性：1 1、开区间内连续：如果、开区间内连续：如果 在某一开在某一开区间区间 内内每一点处都连续，就说函每一点处都连续，就说函数数f（x）在）在开区间（开区间（a，b）内）内连续，或连续，或说说f（x）是开区间）是开区间（a，b）内内的连续函数。的连续函数。2 2、闭区间上连续：如果函数、闭区间上连续：如果函数 在开区间在开区间 内连续，在内连续，在左左端点端点 处处右右连续，在连续，在右右端点端
3、点 处处左左连续，就连续，就说函数说函数 在在闭区间闭区间 上上连连续。续。如图：如图：ox0 xyab 指出下列函数在开区间（指出下列函数在开区间（0，1）内或闭）内或闭区间区间0，1上是否连续：上是否连续：从几何直观上看，闭区间从几何直观上看，闭区间a，b上的一条连续上的一条连续曲线，必有一点达到最高，也有一点达到最低。曲线，必有一点达到最高，也有一点达到最低。如上图：如上图：对于任意对于任意 ，这时，这时我们说闭区间我们说闭区间a，b上的连续函数上的连续函数f（x）在点）在点x1处有最大值处有最大值f（x1），在点），在点x2处有最小值处有最小值f（x2）。）。ox2x1baxy四、闭区
4、间上连续函数的性质：四、闭区间上连续函数的性质：性质性质1 1 最大值最小值定理：最大值最小值定理：如果如果f f（x x）是闭区间）是闭区间aa，bb上的连续函数，那么上的连续函数，那么f f（x x）在闭区间在闭区间aa，bb上有最大值上有最大值和最小值。和最小值。ox2x1baxy注注 函数的最大值、最小值可能在区间端函数的最大值、最小值可能在区间端点上取得。如函数点上取得。如函数 在点在点x=1处有处有最大值最大值1，在点，在点x=-1处有最小值处有最小值-1（如图）（如图）xyo1-1-11再如再如对二次函数对二次函数y=ax2+bx+c来说，来说，在给定的任意一个闭区间上均有在给定
5、的任意一个闭区间上均有最大、最小值。最大、最小值。性质性质2 如果函数如果函数f（x）、）、g（x）在某一点）在某一点x=x0处连续，那么函数处连续，那么函数在点在点x0处都连续。处都连续。若若 令令 因为函数因为函数f（x）、）、g（x）在）在x=x0处连续，所以处连续，所以函数函数h（x）在）在x=x0处有定义处有定义我们以前学习了许多函数，如幂函数我们以前学习了许多函数，如幂函数 由图象可以看出，这些函数在其定义域内每由图象可以看出，这些函数在其定义域内每一点处的极限值都等于函数值，它们在其定义一点处的极限值都等于函数值，它们在其定义域内都是连续的。同样由上面的域内都是连续的。同样由上面
6、的性质性质2，我们可，我们可知，这些函数和常数经过有限次四则运算而得知，这些函数和常数经过有限次四则运算而得到的函数在其定义域内仍是连续的。例如：二到的函数在其定义域内仍是连续的。例如：二次函数次函数 可以看作是由常数可以看作是由常数a乘以幂函数乘以幂函数x2的积，加上常数的积，加上常数b乘以幂函数乘以幂函数x的的积，再加上常数积，再加上常数c而得到的，它在其定义域内每而得到的，它在其定义域内每一点都是连续的。一点都是连续的。由连续函数的定义，我们可以得到计算函数极由连续函数的定义，我们可以得到计算函数极限的一种方法：如果函数限的一种方法：如果函数f（x）在其定义域内是连）在其定义域内是连续的
7、，点续的，点x0是其定义域内的一点，那么求是其定义域内的一点，那么求 时时函数函数f（x）的极限，只要求出）的极限，只要求出f（x）在点）在点x0处的函数处的函数值值f（x0）就可以了，即）就可以了，即五、利用连续性求函数的极限：五、利用连续性求函数的极限：例：例：练习：练习：1 利用函数的连续性，求下列极限：利用函数的连续性，求下列极限：在点x=0处连续，所以有在x=100处连续，因此思考题：思考题：指出下列函数在哪些点处不连续，为什么？指出下列函数在哪些点处不连续，为什么？小结小结：1、学习了连续函数的两条性质。、学习了连续函数的两条性质。2、掌握当函数在点、掌握当函数在点x0处连续时，处连续时，的极限公式：的极限公式：3、会用数形结合解决有关函数、会用数形结合解决有关函数的连续性问题的连续性问题作业：P104习题2.6 5