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1、1 1、无穷小的比较、无穷小的比较、无穷小的比较、无穷小的比较2 2、等价无穷小的代换、等价无穷小的代换、等价无穷小的代换、等价无穷小的代换求极限的又一种方法求极限的又一种方法求极限的又一种方法求极限的又一种方法,注意适用条件注意适用条件注意适用条件注意适用条件.高高高高(低低低低)阶无穷小阶无穷小阶无穷小阶无穷小;等价无穷小等价无穷小等价无穷小等价无穷小;同阶无穷小同阶无穷小复习复习复习复习常用的等价无穷小要记住！常用的等价无穷小要记住！常用的等价无穷小要记住！常用的等价无穷小要记住！4 4.无穷小的主部无穷小的主部无穷小的主部无穷小的主部:3 3.无穷小的阶无穷小的阶无穷小的阶无穷小的阶:
2、是的是的是的是的 k k 阶无穷小阶无穷小阶无穷小阶无穷小是的主部是的主部是的主部是的主部称称称称【例例例例】下列三个命题中正确的有下列三个命题中正确的有（）个个 a)当当 时，时，是是 x的二阶无穷小的二阶无穷小b)当当 时，时，是是(x-1)的一阶无穷小的一阶无穷小c)当当 时，时，(A)0 (B)1 (C)3 (D)2Af(x)在连续在连续2.2.连续函数：连续函数：连续函数：连续函数：第三节函数的连续性第三节函数的连续性一、连续性概念一、连续性概念f f(x x)在在在在 连续连续连续连续f f(x x)在在在在 左、右都连续左、右都连续左、右都连续左、右都连续1.1.y y=x x，
3、y y=C C，y y=sin =sin x x，y y=coscos x x，y y=lnln x x在它们的在它们的在它们的在它们的定义域内连续定义域内连续定义域内连续定义域内连续【例例例例】设函数设函数设函数设函数 f f(x x)在在在在 x x=0=0 处连续，且处连续，且处连续，且处连续，且f f(0)=0(0)=0 ，已知，已知，已知，已知 ，试证函数，试证函数，试证函数，试证函数 g g(x x)在在在在 x x=0=0 处也连续处也连续处也连续处也连续【证证证证】已知已知已知已知由由由由根据夹逼定理根据夹逼定理g g(0)=0(0)=0 即即即即g g(x x)在在在在 x
4、x=0=0 处连续处连续处连续处连续取取 x=0 二、连续函数的运算性质二、连续函数的运算性质定理定理定理定理 1 1：(四则运算的连续性四则运算的连续性四则运算的连续性四则运算的连续性)若若若若 f f(x x)与与与与 g g(x x)在点在点在点在点 处连续，则处连续，则处连续，则处连续，则在点在点在点在点 处均连续处均连续处均连续处均连续由由由由 y y=c c 及及及及 y y=x x 的连续性，反复利用定理的连续性，反复利用定理的连续性，反复利用定理的连续性，反复利用定理 1 1可得：可得：可得：可得：多项式函数与有理函数多项式函数与有理函数多项式函数与有理函数多项式函数与有理函数
5、在它们的定义域内连续在它们的定义域内连续在它们的定义域内连续在它们的定义域内连续由由由由 sin sin x x 及及及及coscos x x 在上的连续性及定理在上的连续性及定理在上的连续性及定理在上的连续性及定理1 1 可得：可得：可得：可得：tan tan x x ，cot cot x x，sec sec x x，csccsc x x 在它们的定义域内连续在它们的定义域内连续在它们的定义域内连续在它们的定义域内连续 即三角函数在它们的定义域内连续即三角函数在它们的定义域内连续即三角函数在它们的定义域内连续即三角函数在它们的定义域内连续定理定理定理定理 2 2：(复合函数的连续性复合函数的
6、连续性复合函数的连续性复合函数的连续性)若若若若 u u=g g(x x)在点在点在点在点 处连续，而处连续，而处连续，而处连续，而y y=f f(u u)在在在在处连续，则处连续，则处连续，则处连续，则 y y=f f(g g(x x)在处连续在处连续在处连续在处连续极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;意义：意义：意义：意义：例如：例如：例如：例如：即即即即定理定理定理定理 3 3：(反函数的连续性反函数的连续性反函数的连续性反函数的连续性)严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函
7、数严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.由定理由定理 3 及及 y y=sin sin x x 在在在在 上连续且单调递增可得：上连续且单调递增可得：上连续且单调递增可得：上连续且单调递增可得：其反函数其反函数其反函数其反函数 y y=arcsinsin x x 在在在在 1 1，1 1 上也单调递增且连续上也单调递增且连续上也单调递增且连续上也单调递增且连续同理可得：同理可得：同理可得：同理可得：y y=arccos s x x 在在在在 1 1，1 1 上单调递减且连续上单调递减且连续上单调递减且连续上单调递减且连续y y=arctantan
8、 x x(arccotarccot x x)在在在在 内单调递增内单调递增内单调递增内单调递增(减减减减)且连续且连续且连续且连续由此得：反三角函数在它们的定义域内连续由此得：反三角函数在它们的定义域内连续由此得：反三角函数在它们的定义域内连续由此得：反三角函数在它们的定义域内连续三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性基本初等函数在其定义域内连续基本初等函数在其定义域内连续已证得连续性已证得连续性已证得连续性已证得连续性据定理据定理据定理据定理 1 1 得在得在得在得在内连续内连续内连续内连续连续连续连续连续连续连续连续连续据定理据定理据定理据定理 3 3 得在得在得在得在 R R 内连续内
9、连续内连续内连续复合而成复合而成复合而成复合而成,据定理据定理据定理据定理 2 2 得在得在得在得在 内连续内连续内连续内连续,若讨论的各种值可知在定义域内连续若讨论的各种值可知在定义域内连续若讨论的各种值可知在定义域内连续若讨论的各种值可知在定义域内连续由定理由定理由定理由定理 1 1，2 2 可推得：可推得：可推得：可推得：一切初等函数在其定义一切初等函数在其定义区间区间内连续内连续定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.例如：例如：例如：例如：在区间上连续在区间上连续在区间上连续在区间上连续利用初等
10、函数连续性求极限利用初等函数连续性求极限 定义区间定义区间定义区间定义区间）【例例例例1 1】【例例例例2 2】设，设，设，设，问问问问 a a，b b 取何值时，取何值时，取何值时，取何值时，f f(x x)是连续函数？是连续函数？是连续函数？是连续函数？【解解解解】由初等函数的连续性可知由初等函数的连续性可知由初等函数的连续性可知由初等函数的连续性可知f f(x x)在内在内在内在内显然连续故只需在显然连续故只需在显然连续故只需在显然连续故只需在 x x=0=0 处连续处连续处连续处连续由由由由 f f(0(00)=0)=f f(0)(0)a a=1=1lnln b b=1=1由由由由 f
11、 f(0(00)=0)=f f(0)(0)b=e b=e 四、函数的间断点四、函数的间断点f f(x x)在在在在 处连续包含三个条件：处连续包含三个条件：处连续包含三个条件：处连续包含三个条件：(1)(1)f f(x x)在在在在 有定义，即有定义，即有定义，即有定义，即 存在存在存在存在(2)(2)f f(x x)在在在在 有极限，即有极限，即有极限，即有极限，即 存在存在存在存在(3)(3)极限值等于函数值，即极限值等于函数值，即极限值等于函数值，即极限值等于函数值，即 若上述三条之中至少有一条不成立，则称若上述三条之中至少有一条不成立，则称若上述三条之中至少有一条不成立，则称若上述三条
12、之中至少有一条不成立，则称f f(x x)在在在在 处处处处不连续或间断，称为间断点不连续或间断，称为间断点不连续或间断，称为间断点不连续或间断，称为间断点间断点的分类间断点的分类间断点的分类间断点的分类第一类间断点第一类间断点第一类间断点第一类间断点第二类间断点第二类间断点第二类间断点第二类间断点1.1.第一类间断点第一类间断点第一类间断点第一类间断点若为间断点，且若为间断点，且若为间断点，且若为间断点，且 都存在，则称为都存在，则称为都存在，则称为都存在，则称为f f(x x)的第一类间断点的第一类间断点的第一类间断点的第一类间断点.(1)(1)可去间断点：可去间断点：可去间断点：可去间断
13、点：【解解解解】在在在在 x x=0=0 连续连续连续连续.【例例例例1 1】讨论函数的间断点讨论函数的间断点讨论函数的间断点讨论函数的间断点显然，由显然，由显然，由显然，由 f f(0)(0)不存在可知只有不存在可知只有不存在可知只有不存在可知只有x x=0=0 是是是是 f f(x x)的间断点的间断点的间断点的间断点 由于由于由于由于，所以，所以，所以，所以 x x=0=0 是是是是 f f(x x)的可去间断点的可去间断点的可去间断点的可去间断点若补充定义若补充定义若补充定义若补充定义 f f(0)=0(0)=0，则，则，则，则【例例例例2 2】在哪个区间上连续？在哪些点间断？在哪个区
14、间上连续？在哪些点间断？在哪个区间上连续？在哪些点间断？在哪个区间上连续？在哪些点间断？【解解解解】由初等函数的连续性可知由初等函数的连续性可知由初等函数的连续性可知由初等函数的连续性可知f f(x x)在在在在 内连续内连续内连续内连续.而而而而所以所以所以所以 x x=0=0 是是是是 f f(x x)的可去间断点的可去间断点的可去间断点的可去间断点若重新定义若重新定义若重新定义若重新定义 f f(0)=1(0)=1，则在，则在，则在，则在R R上连续上连续上连续上连续例例1，例，例2 中的中的 g g(x x)称为称为称为称为 f f(x x)的的的的连续延拓函数连续延拓函数连续延拓函数
15、连续延拓函数 当，有当，有当，有当，有g g(x x)=)=f f(x x)(2)(2)跳跃间断点：跳跃间断点：跳跃间断点：跳跃间断点：都存在但不等都存在但不等例如：例如：例如：例如：x x=0=0 是符号函数是符号函数是符号函数是符号函数 f f(x x)=)=sgnsgn x x 的跳跃间断点的跳跃间断点的跳跃间断点的跳跃间断点每一个整数点每一个整数点每一个整数点每一个整数点x x=n n 是取整函数是取整函数是取整函数是取整函数 f f(x x)=)=x x 的跳跃间断点的跳跃间断点的跳跃间断点的跳跃间断点x x y y 0 0 1 1-1 -1 1 2 3 -2 -1 x y0第一类间
16、断点的特点：左，右极限都存在第一类间断点的特点：左，右极限都存在第一类间断点的特点：左，右极限都存在第一类间断点的特点：左，右极限都存在注意注意称为称为称为称为 跃度跃度跃度跃度2 2.第二类间断点第二类间断点第二类间断点第二类间断点若若若若 至少有一个不存在，则称为至少有一个不存在，则称为至少有一个不存在，则称为至少有一个不存在，则称为f f(x x)的的的的第二类间断点第二类间断点第二类间断点第二类间断点.例如例如例如例如x x=0=0 x x=0=0 x x y y 都不存在，也不是无穷大都不存在，也不是无穷大都不存在，也不是无穷大都不存在，也不是无穷大无穷间断点无穷间断点无穷间断点无穷
17、间断点振荡间断点振荡间断点振荡间断点振荡间断点【例例例例3 3】讨论的间断点讨论的间断点讨论的间断点讨论的间断点【解解解解】显然显然显然显然 f f(x x)的间断点为的间断点为的间断点为的间断点为x x=3 3，x x=0=0，x x=2=2 讨论间断点的类型，必须用极限讨论间断点的类型，必须用极限x x=3 3为为为为(第二类第二类第二类第二类)无穷间断点无穷间断点无穷间断点无穷间断点 x x=0=0为为为为(第一类第一类第一类第一类)跳跃间断点跳跃间断点跳跃间断点跳跃间断点 x x=2=2为为为为(第一类第一类第一类第一类)可去间断点可去间断点可去间断点可去间断点 【例例例例4 4】讨论
18、讨论讨论讨论 在在在在 内的间断点内的间断点内的间断点内的间断点【解解解解】显然显然显然显然 f f(x x)的间断点为的间断点为的间断点为的间断点为 是可去间断点是可去间断点是可去间断点是可去间断点不存在不存在不存在不存在是无穷间断点是无穷间断点是无穷间断点是无穷间断点思考：在整个实数域上的间断点如何？思考：在整个实数域上的间断点如何？思考：在整个实数域上的间断点如何？思考：在整个实数域上的间断点如何？是可去间断点是可去间断点是可去间断点是可去间断点【例例例例5 5】讨论下列函数的连续性讨论下列函数的连续性讨论下列函数的连续性讨论下列函数的连续性 【解解解解】由初等函数在其定义区间上的连续性
19、知，由初等函数在其定义区间上的连续性知，由初等函数在其定义区间上的连续性知，由初等函数在其定义区间上的连续性知，f f(x x)，g g(x x)均在均在均在均在 及及及及 内连续，即内连续，即内连续，即内连续，即 都是都是都是都是f f(x x)，g g(x x)的连续区间的连续区间的连续区间的连续区间 是它们的连续区间是它们的连续区间所以所以所以所以x x=0=0是是是是 f f(x x)的无穷间断点，的无穷间断点，的无穷间断点，的无穷间断点，是是是是 g g(x x)的跳跃间断点的跳跃间断点的跳跃间断点的跳跃间断点x x f f(x x)x x g g(x x)间断点间断点间断点间断点综
20、合：间断点的分类综合：间断点的分类综合：间断点的分类综合：间断点的分类第一类间断点第一类间断点第一类间断点第一类间断点都存在都存在都存在都存在可去型可去型可去型可去型跳跃型跳跃型跳跃型跳跃型第二类间断点第二类间断点第二类间断点第二类间断点至少有一个不存在至少有一个不存在至少有一个不存在至少有一个不存在无穷型无穷型无穷型无穷型振荡型振荡型振荡型振荡型可去型可去型可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型跳跃型跳跃型无穷型无穷型无穷型无穷型振荡型振荡型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyxx0五、闭区间上连续函数的性质五、闭区间上连续函数的性质基本原理：若基本原理：若基
21、本原理：若基本原理：若f f(x x)在闭区间在闭区间在闭区间在闭区间 a a，b b 上连续，则上连续，则上连续，则上连续，则 f f(x x)的的的的值域也是有界闭区间值域也是有界闭区间值域也是有界闭区间值域也是有界闭区间基本原理基本原理基本原理基本原理最值定理：最值定理：最值定理：最值定理：介值定理：介值定理：介值定理：介值定理：f f(x x)在在在在 a a,b b 上有最大上有最大上有最大上有最大,最小值最小值最小值最小值MM,mmf f(x x)在闭区间在闭区间在闭区间在闭区间 a a，b b 上连续上连续上连续上连续即即即即f f(x x)在闭区间在闭区间在闭区间在闭区间 a
22、a，b b 上连续上连续上连续上连续MM,m m 是是是是f f(x x)在在在在 a a,b b 上的最大上的最大上的最大上的最大,最小值最小值最小值最小值Mc cmab bf f(x x)在闭区间在闭区间在闭区间在闭区间 a a，b b 上连续上连续上连续上连续:f f(x x)在开区间在开区间在开区间在开区间 (a a，b b)上连续，上连续，上连续，上连续，且在且在且在且在a a点右连续，在点右连续，在点右连续，在点右连续，在b b点左连续点左连续点左连续点左连续曲线与直线曲线与直线曲线与直线曲线与直线 y y=c c 至少有一个交点至少有一个交点至少有一个交点至少有一个交点注意注意(
23、1)(1)两个条件（两个条件（两个条件（两个条件（闭区间、连续闭区间、连续闭区间、连续闭区间、连续）缺一不可。）缺一不可。）缺一不可。）缺一不可。反例：反例：反例：反例：在开区间在开区间在开区间在开区间(0,1)(0,1)内连续，内连续，内连续，内连续，最值定理最值定理最值定理最值定理有界性定理：闭区间上连续函数必有界有界性定理：闭区间上连续函数必有界有界性定理：闭区间上连续函数必有界有界性定理：闭区间上连续函数必有界x x y y 0 1 0 1 但无最大最小值，也无界但无最大最小值，也无界但无最大最小值，也无界但无最大最小值，也无界在闭区间在闭区间在闭区间在闭区间0,20,2上不连续，上不
24、连续，上不连续，上不连续，既取不到最大值，也取不到最小值，但有界既取不到最大值，也取不到最小值，但有界既取不到最大值，也取不到最小值，但有界既取不到最大值，也取不到最小值，但有界(2)(2)最大值与最小值是唯一的，但最值点不唯一最大值与最小值是唯一的，但最值点不唯一最大值与最小值是唯一的，但最值点不唯一最大值与最小值是唯一的，但最值点不唯一(3)(3)介值定理的特殊情形：介值定理的特殊情形：介值定理的特殊情形：介值定理的特殊情形：f f(x x)在闭区间在闭区间在闭区间在闭区间 a a，b b 上连续，且，上连续，且，上连续，且，上连续，且，则则则则介值定理介值定理介值定理介值定理零值定理零值
25、定理零值定理零值定理零值定理（方程根的存在定理）：零值定理（方程根的存在定理）：零值定理（方程根的存在定理）：零值定理（方程根的存在定理）：若若若若f f(x x)在闭区间在闭区间在闭区间在闭区间 a a，b b 上连续，且上连续，且上连续，且上连续，且 f f(a a)f f(b b)0)0，则至少存在一点则至少存在一点则至少存在一点则至少存在一点即方程即方程即方程即方程 f f(x x)=0)=0 在在在在 (a a，b b)内至少有一个实根内至少有一个实根内至少有一个实根内至少有一个实根几何意义：几何意义：几何意义：几何意义：端点分别位于端点分别位于端点分别位于端点分别位于 x x 轴两
26、侧的的闭区轴两侧的的闭区轴两侧的的闭区轴两侧的的闭区间上的一段连续曲线必与间上的一段连续曲线必与间上的一段连续曲线必与间上的一段连续曲线必与 x x 轴相交轴相交轴相交轴相交 思考：思考：思考：思考：下述命题是否正确？下述命题是否正确？下述命题是否正确？下述命题是否正确？若若若若f f(x x)在在在在 a a，b b 上有定义，上有定义，上有定义，上有定义，在在在在(a a，b b)内连续，且内连续，且内连续，且内连续，且 f f(a a)f f(b b)0)0，那末那末那末那末f f(x x)在在在在(a a，b b)内必有零点内必有零点内必有零点内必有零点【例例例例1 1】试证方程试证方
27、程试证方程试证方程 在在在在 0,10,1 上必有根上必有根上必有根上必有根【证明证明证明证明】设设设设显然显然显然显然f f(x x)在在在在0,10,1 上连续，且上连续，且上连续，且上连续，且f f(0)=(0)=1 1，f f(1)=2(1)=2 异号异号异号异号 由零值定理知由零值定理知由零值定理知由零值定理知f f(x x)在在在在(0,1)(0,1)内必有根内必有根内必有根内必有根 具体确定方程根的位置的近似方法：具体确定方程根的位置的近似方法：具体确定方程根的位置的近似方法：具体确定方程根的位置的近似方法：“二分法二分法二分法二分法”b ba a根在根在根在根在 (0.5,1)(0.5,1)中中中中根在根在根在根在 (0.5,0.75)(0.5,0.75)中中中中根在根在根在根在 (0.5,0.625)(0.5,0.625)中中中中取取取取0,10,1 中点中点中点中点 f f(0.5)=(0.5)=0.125 00.125 0(0.75)0.7344 0,取取取取0.5,0.75 0.5,0.75 中点中点中点中点f f(0.625)(0.625)0.2598 0,0.2598 0,方程根方程根方程根方程根x x