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1、 第二章 第四节二维随机变量及其概率分布(23)一、二维随机变量的概念一、二维随机变量的概念二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量1课件以上我们只限讨论一个随机变量的情况,但在实际问题一、二维随机变量的概念定义定义1有些随机试验的结果需要用两个或两个以上的随机变量来描述.例如:为了研究大学生身体发育状况,中,学生进行抽查,对某校大对于每个学生都能观察到他的身高H和体重W,这里H和W是两个随机变量,类似的例子还有许多.设随机试验 E 的样本空间为 ,X,Y 是定义在 上的两个随机变量,则二维向量(X,Y)称为二维随机二维随机向量向量或二维随机变量
2、二维随机变量.2课件二维随机变量(X,Y)的性质不仅与 X 及 Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系,注意注意:定义定义2因此逐个研究体来进行研究.还必须将(X,Y)作为一个整与一维的情况类似,我们也借助于分布函数来研究二设(X,Y)是二维随机变量,对任意实数 x,y,二元函数称为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数.随机变量 X 与 Y 是不够的,维随机变量.(1)3课件在几何上,若把二维随机变量(X,Y)看作平面上随机点的坐标,那么联合分布函数 F(x,y)在点(x,y)处的函数值,就是随机点(X,Y)落在以点(x,y)为顶点的左下方无穷矩形域内的概率.4课件由联合分布函数的几何
3、意义很容易得出落在一个矩形区域内的概率为:(2)随机点(X,Y)5课件定理定理1(1)F(X,Y)关于x,y 均是非减函数;(2)（3）关于均是右连续函数；（4）对任意，均有二维随机变量(X,Y)的联合分布函数 F(x,y)具有以下性质:6课件注意到:同理:分别称为二维随机变量(X,Y)关于X,二维随机变量(X,Y)的分量 X 与Y 分别是一维随机变量,通过(X,Y)的联合分布函数F(X,Y)可以求出 X 与Y 各自的分布函数与与关于Y 的边缘分布函数边缘分布函数.即有:(3)(4)7课件二、二维离散型随机变量则称(X,Y)是二维离若二维随机变量(X,Y)的全部可能取值是有限多对或可列无穷多对
4、并称为二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律联合分布律.联合分布律的性质:(1)(2)散型随机变量.8课件的联合分布律通常用表格(矩阵)给出：9课件(X,Y)的联合分布函数F(x,y)其中由(X,Y)的联合分布律还可求出 X 与 Y 各自的分布律.求出:是对一切满足的求和.可由上面的联合分布律(5)10课件记:分别称为(X,Y)关于 X 关于 Y 的边缘分布律边缘分布律.11课件在联合分布律的表格中,将每行与每列相加即可得到边缘分布律.12课件例例1.设随机变量 X 在1,2,3,4 这四个整数中等可能另一个随机变量 Y 在1 X 中等可能地取一整数解解:由于 X=i,Y=j 的取值情况是:
5、j 取不大于i 的正整数,由乘法公式容易求得:所以(X,Y)的联合分布律与边缘分布律为:试求二维随机变量(X,Y)的联合分布律及边缘i=1,2,3,4,取值,值,布律.13课件1 2 3 4123414课件即有 X 边缘分布律:Y 边缘分布律:123 4X123 4Y也即有:15课件三、二维连续型随机变量实数 x,y 都有定义定义3.函数,(X,Y)的联合概率密度函数.则称(X,Y)为二维连续型随机变量,设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布若存在一个非负二元函数 f(x,y),使对任意(6)并称 f(x,y)为16课件联合概率密度函数 f(x,y)的性质:(1)f(x,y)0;(3
6、)若 f(x,y)在点(x,y)处连续,(4)性质(4)表明在几何上,概率,则有(X,Y)落在某平面区域 D 中的在数值上就是 f(x,y)在区域 D 上的二重积分.17课件由(X,Y)的联合概率密度函数 f(x,y)变量 X 和 Y 的概率密度函数因为而所以同理有称为(X,Y)关于 X 的边缘概率密度函数边缘概率密度函数;称为(X,Y)关于 Y 的边缘概率密度函数边缘概率密度函数.和(7)(8)可求得一维随机18课件例例3.(2)X,Y 的边缘概率密度函数;求:及(3)求(X,Y)的联合分布函数 F(X,Y).解解:(1).设(X,Y)的联合概率密度函数为(1)19课件11(2).当x 0 或 x 1 时,则当0 x 1时,则有20课件同理:(3).当x 0 或 y 0 时,则当0 x 1 且 0 y 1时,当0 x 1 且 y 1 时,21课件当 x 1 且 0 y 1 时,当 x 1 且 y 1 时，综上有:22课件作业作业第二章 9,10 ,11 .预习预习:第五节23课件