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1、第三章 多维随机变量及其分布3.1 3.1 二维二维随机变量及其分布随机变量及其分布3.2 3.2 边缘边缘分布分布3.3 3.3 条件分布条件分布*3.4 3.4 随机变量的独立性随机变量的独立性3.5 3.5 两个两个随机变量函数的分布随机变量函数的分布1 1 前几节我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。例如 E：抽样调查15-18岁青少年的身高X与体重Y，以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。此时，我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质，更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此，
2、我们将二者作为一个整体来进行研究，记为(X,Y),称为随机向量，又称多维随机变量.2 2 类似于对一维随机变量的学习，对于多维随机变量，我们也将讨论如何通过分布函数、分布律及概率密度等概念来描述其取值的概率规律性，并认识几种常见的分布。因方法类同，我们将以二维随机变量为主，展开讨论。学习时，应善于同一维随机变量情形进行比较，注意对两个随机变量的相互关系 的反映。3 33.1 二维随机变量及其分布 1.1.二维二维随机变量的分布函数随机变量的分布函数 2.2.二维离散型二维离散型随机变量随机变量 3.3.二维连续型二维连续型随机变量随机变量4 41.二维随机变量的分布函数定义 设(X,Y)是二维
3、随机变量，对于任意实数x,y，二元函数 F(x,y)=P(Xx)(Yy)=P(Xx,Yy)称为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，简称为（X,Y)的分布函数.5 5二维随机变量(X,Y)的取值可看作平面上的随机点，显然，分布函数F(x,y)在平面上任意点(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点而位于该点左下方的整个无穷区域内的概率，如图所示(x,y)6 6由前面的几何解释，容易得到随机点(X,Y)落在矩形区域D内的概率，其中x1x2y1y2则7 7二维随机变量联合分布函数二维随机变量联合分布函数FF(xx,yy)的的性质性质(1)F(x,y)分别关于x和y单调不减.8
4、8(3)关于x或y都是右连续的，即二维随机变量也分为离散型和连续型两种常见的形式，下面分别进行讨论.9 92.二维离散型随机变量定义定义 若二维若二维 随机变量随机变量(X,Y)(X,Y)的所有可能的取值是的所有可能的取值是有限对或可列无限对不同值，则称有限对或可列无限对不同值，则称(X,Y)(X,Y)是是二维二维离散型随机变量离散型随机变量.称称为(X,Y)的联合概率分布，简称为概率分布或分布律10 10二维离散型随机向量(X,Y)的分布律可用下列表格给出11 11具有下列性质二维离散型随机变量(X,Y)的分布函数与概率分布之间有如下关系式：12 12例 将一枚均匀的硬币抛掷4次，X表示正面
5、向上的次数，Y表示反面朝上次数，求(X,Y)的概率分布.解 X的所有可能取值为0,1,2,3,4，Y的所有可能取值为0,1,2,3,4,因为X+Y=4，所以(X,Y)概率非零的数值对为:X Y0 41 3 2 2 3 14 0P(X=0,Y=4)=0.54=1/16 P(X=4,Y=0)=0.54=1/16X01234Y 0 1 2 3 4联合概率分布表为:0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 01/16 0 0 0 0 13 13 1.找出随机变量X和Y的所有取值结果，得到(X,Y)的 所有取值数对;2.利用古典概型或概率的性质计算每
6、个数值对的概率;3.列出联合概率分布表.离散型二维随机向量联合概率分布确定方法:14 14例 二维随机向量(X,Y)的概率分布为:X-101Y 0 1 2 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 a 0.2 0.05求:(1)常数a的取值;(2)P(X0,Y1);(3)P(X1,Y1).解(1)由pij=1得:a=0.1(2)P(X0,Y1)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6(3)P(X1,Y1)=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P
7、(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.7515 15解(X,Y)的可能取值为(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)，则16 16故(X,Y)的联合分布律为17 17解 P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j|X=i)=(1/4)(1/i)1/4i(ij)，于是(X,Y)的分布律为18 183.二维连续型随机变量 与一维情形类似，我们有如下定义：与一维情形类似，我们有如下定义：定义定义 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)(X,Y)的联合分布函数的联合分布函数 为为F(F(xx,yy)，若存在非负可积函数，若存在非负可积函数f f(xx,yy)，使得对，使得对于任意实数于
8、任意实数xx,yy，都有，都有 则称则称(X,Y)(X,Y)为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量，函数，函数ff(xx,yy)称为称为(X,Y)(X,Y)的联合概率密度函数，的联合概率密度函数，简称简称概率密度概率密度或或密度函数。密度函数。19 19密度函数f(x,y)的性质：（11）非负性非负性（22）归一性）归一性（33）当当ff(xx,yy)连续连续时，时，（44）若）若DD是是OxyOxy平面上的任一区域，则随机点平面上的任一区域，则随机点(X,Y)(X,Y)落在落在DD内的概率为：内的概率为：20 20（4）的几何解释在几何上，二元函数f(x,y)表示三维空间的一个曲面，则（4
9、）式表示随机点(X,Y)落入区域D内的概率等于以D为底，以曲面f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。21 21特别地，若D表示矩形区域:则22 22解(1)由 得所以 k=6(2)23解 由 则 当x1,y1时,所以(X,Y)的联合分布函数24 例:设二维随机向量(X,Y)具有概率密度(1)求分布函数F(x,y);(2)求概率P(YX).解:(1)(2)将(X,Y)看着平面上随机点的坐标.G是xoy平面上直线y=x下方的部分.25常见的两种二维连续型随机变量的分布均匀分布定义3.1.4:设D是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机变量(X,Y)的概率密度为则称(X,Y)服从区域D上的均匀分布26
10、可以验证，均匀分布的密度函数f(x,y)满足密度函数的两个性质。与前面类似，服从区域D上的均匀分布的二维随机变量(X,Y)落在D中任一区域D1的概率与D1的面积成正比，与D1的位置和形状无关。27二维正态分布定义：如果(X,Y)的联合密度函数为其中1,2,10,20,(|1)为常数.则称(X,Y)服从参数为1,2,1,2,的二维正态分布,记为28可以验证，二维正态分布的密度函数f(x,y)满足密度函数的两个性质，其图像如图。291.若(X,Y)的密度函数为求:(1)常数 A;(2)P(X2,Y1);(3)P(Xx,Yy).解:(1)所以,A=6=A/6=1(4)P(X,Y)D),其中D为 2x+3y6.练习:(5)P(X,Y)D),其中D为 y=x+1,y=x+1,y=0所围区域.30XXYY0所以,P(X2,Y1)21X2,Y131(3)xXXYY0y所以,当x0,y0时,即:32(4)P(X,Y)D),其中D为 2x+3y6.322x+3y=6XXYY033(5)求 P(X,Y)D),其中 D为 y=-x+1,y=x+1,y=0所围区域.XXYY0y=-x+1 y=x+111P(X,Y)D)34