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1、二维二维离散离散型型随机变量随机变量一维离散型随机变量一维离散型随机变量 X 的分布律的分布律 类比类比(X,Y)的的分布律分布律 Y X y1 y2 yj x1 x2.xi.p11 p21.pi1.p12 p22.pi2.p1j p2j.pij.概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计v例例1 1 设随机变量 X 在 1,2,3,4中等可能地取一值,Y 在1X中等可能地取一整数值,求(X,Y)的分布律。解解 X,Y可能的取值都是1，2，3，4。PX=i,Y=j=P(X=i)(Y=j)=PY=j|X=iPX=i=i/4 (ji)Y 1 2 3 4 X1234 1/400
2、01/81/8 0 0 1/12 1/12 0 1/16 1/16 1/161/121/16概率论与数理统计概率论与数理统计P1X3,Y=2=?P1X3,0Y3=?v例例2 2 从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色圆珠笔的盒子里,随机抽取两支,若X、Y 分别表示抽出的蓝笔数和红笔数,求(X,Y)的分布律。概率论与数理统计概率论与数理统计(X,Y)所取的可能值是解解概率论与数理统计概率论与数理统计故所求分布律为故所求分布律为概率论与数理统计概率论与数理统计v例例例例3 3 3 3(课本例2)设X为抛掷3次硬币出现正面的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(X,Y)的概率分布与
3、边缘分布。概率论与数理统计概率论与数理统计分析分析分析分析X的可能的取值为0,1,2,3;Y的取值由X的取值决定:Y=|2X-3|类比类比 位于位于xOy 面上方的曲面面上方的曲面.它与它与xOy 面围成的空间区域面围成的空间区域体积为体积为1.随机点随机点(X,Y)落在落在平面区域平面区域G内的概率内的概率=以以G为底、曲面为底、曲面f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积使使 x (-,+)随机变量随机变量X 的分布函数的分布函数F(x)X 是是(一维一维)连续型连续型随机变量随机变量 f(x)是是 X 的的概率密度概率密度二维随机变量二维随机变量(X,Y)的分布函数的分布函数
4、F(x,y)(X,Y)是是二维二维连续型连续型随机变量随机变量f(x,y)是是X 和和Y 的联合概率密度的联合概率密度概率论与数理统计概率论与数理统计1.二维连续型随机变量二维连续型随机变量概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计v型区域型区域D可表为不等式:非零域非零域vY型区域型区域D可表为不等式:分别称为(X,Y)的关于X和Y的边缘分布函数边缘分布函数，而分别称为(X,Y)的关于X和Y的边缘密度函数边缘密度函数.概率论与数理统计概率论与数理统计v设(X,Y)的密度函数为f(x,y)，则X和Y的分布函数可表示为v例例例例4 4 设(X,Y)的密度函数为(1)求F(2
5、,3);(2)求F(x,y);(3)求PY X.解解概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计v例例例例5 5 设(X,Y)的密度函数为求(1)C的值;(2)边缘密度函数.解解概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 yxoG 设设 G 是平面上的有界区域是平面上的有界区域,其面积为其面积为A.若二维随机变量若二维随机变量 (X,Y)的的概率密度为概率密度为则称则称(X,Y)在在G上服从上服从均匀分布均匀分布.向平面上有界区域向平面上有界区域 G 内任投一质点，内任投一质点，1.二维均匀分布二维均匀分布 B若质点落在
6、若质点落在 G 内任一小区域内任一小区域 B 的概率与的概率与小区域的面积成正比，而与小区域的面积成正比，而与B的形状及的形状及位置无关位置无关.则质点的坐标则质点的坐标(X,Y)在在 G 上上服从均匀分布服从均匀分布.概率论与数理统计概率论与数理统计-110 xyv例例6 (P65,例5)(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，求边缘密度函数。概率论与数理统计概率论与数理统计 若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度其中其中均为常数均为常数,2.二维正态分布二维正态分布 则称则称(X,Y)服从参数为服从参数为 的的二维正态分布二维正态分布.记作记作(X,Y)N().().且且 概率论与数理统计概率论与数理统计 解解v例例7 求二维正态分布的边缘密度.二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布 均与均与 无关无关 逆命题成立吗逆命题成立吗？由边缘分布一般由边缘分布一般不能确定联合分布不能确定联合分布概率论与数理统计概率论与数理统计求边缘密度函数求边缘密度函数 解解同理同理 正正态态分分布布的的联联合合分分布布未未必必是是正正态态分分布布概率论与数理统计概率论与数理统计v例例例例8 8 若二维随机变量(X,Y)的概率密度为