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1、3.3二维连续型随二维连续型随机变量及其分布机变量及其分布一、联合概率密度一、联合概率密度二、两个重要的二维连二、两个重要的二维连 续型随机变量续型随机变量三、条件分布三、条件分布联合概率密度联合概率密度 定义定义 二维随机变量二维随机变量(X,Y)的联合分布的联合分布函数为函数为F(x,y)，如果存在非负的函数如果存在非负的函数f(x,y)使得对任意实数对使得对任意实数对(x,y)，有有 称称(X,Y)是是连续型随机变量连续型随机变量，称，称f(x,y)为为 (X,Y)的的联合概率密度联合概率密度.密度性质密度性质这两条可作为判断这两条可作为判断一个二元函数是否是一个二元函数是否是联合概率密
2、度的标准联合概率密度的标准5）关于关于X 和和Y 的边缘概率密度为的边缘概率密度为带参变量带参变量的积分的积分解：解：F(x,y)=01)当当 x 0,或或 y 0 时时 2)当当 0 x,y 1 时时x xy y0 011f(x,y)的非的非零区域零区域 3)当当 0 x 1,y1 时时 4)当当 0y 1,x1 时时x xy y0 011f(x,y)的非的非零区域零区域 5)当当 1y,x1 时时综上所叙得：综上所叙得：f(x,y)的非的非零区域零区域 x xy yO O12f(x,y)的非的非零区域零区域 x xy yO O12x x0 0y yxy=xy=1 1x=x=1 1y=xy=
3、x对对 y 的不同值，的不同值，f Y(y)的的积分上下积分上下限不相同限不相同.求解边缘概率密度求解边缘概率密度,实质上实质上是解决是解决带参变带参变量积分量积分的问题的问题.难点难点:定积分的上下限定积分的上下限.解决方法解决方法:借助于图形借助于图形GD面积为面积为S(G)面积为面积为S(D)概率值与区域概率值与区域 D的形状、位置等均无关的形状、位置等均无关,只与只与 D的面积有关。的面积有关。2.设设X U(a,b)，(c,d)(a,b)则则 借助于几何度量指标借助于几何度量指标(长度长度,面积面积,体积等体积等)计算概率计算概率,可建立可建立“几何概型几何概型”.例例 设（设（X,
4、Y）服从区域）服从区域 解：解：1)区域区域D的面积的面积故故（X,Y）的联合密度函数为：）的联合密度函数为：上的均匀分布，求联合密度函数以及边缘密度函数上的均匀分布，求联合密度函数以及边缘密度函数2)X的边缘密度函数的边缘密度函数2)Y的边缘密度函数的边缘密度函数注意：注意：(X,Y)的边缘分布已不再是均匀分布的边缘分布已不再是均匀分布2.2.二维正态分布二维正态分布 定义定义 二维随机变量二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为:称称(X,Y)服从服从二维正态二维正态分布分布，记为，记为 三、连续型随机变量的条件分布三、连续型随机变量的条件分布 设设(X,Y)是是二二维维连连
5、续续型型r.v，由由于于对对任任意意 x,y,P(X=x)=0,P(Y=y)=0，所所以以不不能能直直接接用用条条件件概概率率公公式式得得到到条条件件分分布布，下下面面我我们们直接给出条件概率密度的定义直接给出条件概率密度的定义.定义定义 设设X和和Y的联合概率密度为的联合概率密度为 f(x,y),边缘概率密度为边缘概率密度为 ，则对一切使，则对一切使 的的x,定义已知定义已知 X=x下，下，Y 的条件的条件密度函数为密度函数为同样，对一切使同样，对一切使 的的 y,定义定义为已知为已知 Y=y下，下，X的条件密度函数的条件密度函数.运用条件概率密度，我们可以在已知某一运用条件概率密度，我们可以在已知某一随机变量值的条件下，定义与另一随机变量有随机变量值的条件下，定义与另一随机变量有关的事件的条件概率关的事件的条件概率.定义定义:在已知在已知 Y=y下，下，X的的条件分布函数条件分布函数为为:特别，取特别，取即即:若若(X,Y)是连续型随机变量是连续型随机变量,则对任一集合则对任一集合A，由于由于于是对于是对y0,故对故对y0,P(X1|Y=y)Y已知下已知下X的的条件密度条件密度这里是这里是X的取值范围的取值范围Y作为已知变量解解例例4已知边缘密度、已知边缘密度、条件密度，求条件密度，求联合密度联合密度