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1、第五节上一节的反问题:函数任意阶可导,如何将其表示成为幂级数;这个幂级数收敛吗?其和函数和原函数相同吗?和函数求 和展 开用用处:用多用多项式逼近一般函数式逼近一般函数,近似近似计算算 函数的泰勒级数 机动目录上页下页返回结束 第九章 一、泰勒一、泰勒(Taylor)级数数 其中(在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日余拉格朗日余项.则在若函数的某邻域内具有 n+1 阶导数,此式称为 f(x)的 n 阶泰勒公式泰勒公式,该邻域内有:机动目录上页下页返回结束第二章,第七节为f(x)的泰勒泰勒(Taylor)级数数.则称当x0=0 时,泰勒级数又称为麦克麦克劳林林(Maclaurin)级数数.1)对
2、此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为 f(x)?待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,机动目录上页下页返回结束函数在区间上可展开成泰勒级数是指:找到一个幂级数,级数收敛,且收敛于原函数.定理定理1.各阶导数,则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f(x)的泰勒公式中的余项满足:证明明:令设函数 f(x)在点 x0 的某一邻域 内具有机动目录上页下页返回结束定理定理2.若 f(x)能展成 x 的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.证:设 f(x)所展成的幂级数为则显然结论成立.机动目录上页下页返回结束二、函数展开成二、函数展开成幂级数数
3、 1.直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步 求函数及其各阶导数在 x=0 处的值;第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径 R;第三步 判别在收敛区间(R,R)内是否为骤如下:展开方法展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式0.的函数展开机动目录上页下页返回结束例例1.将函数展开成 x 的幂级数.解解:其收敛半径为 对任何有限数 x,其余项满足故(在0与x 之间)故得级数 机动目录上页下页返回结束例例2.将展开成 x 的幂级数.解解:得级数:其收敛半径为 对任何有限数 x,其余项满足机动目录上页下页返回结束类似可推出:(P263 例3(2)机动目录上页下页返
4、回结束P263图9-2,随着n变大,更近似局部范围还有什么办法可以直接从上式推出?例例3.将函数展开成 x 的幂级数,其中m为任意常数.解解:易求出 于是得 级数由于级数在开区间(1,1)内收敛.因此对任意常数 m,机动目录上页下页返回结束推推导则推导目录上页下页返回结束为避免研究余项,设此级数的和函数为称为二二项展开式展开式.说明：明：(1)在 x1 处的收敛性与 m 有关.(2)当 m 为正整数时,级数为 x 的 m 次多项式,上式 就是代数学中的二二项式定理式定理.机动目录上页下页返回结束由此得 对应的二项展开式分别为机动目录上页下页返回结束2.间接展开法接展开法利用一些已知的函数展开式
5、及幂级数的运算性质,例例4.将函数展开成 x 的幂级数.解解:因为把 x 换成,得将所给函数展开成 幂级数.机动目录上页下页返回结束例例5.将函数展开成 x 的幂级数.解解:从 0 到 x 积分,得定义且连续,区间为利用此题可得上式右端的幂级数在 x 1 收敛,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛机动目录上页下页返回结束例例6.将展成解解:的幂级数.机动目录上页下页返回结束例例7.将展成 x1 的幂级数.解解:机动目录上页下页返回结束内容小内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法 利用泰勒公式;(2)间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式式的函数.机动目录上页下页返回结束当 m=1 时机动目录上页下页返回结束思考与思考与练习1.函数处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同?提示提示:后者必需证明前者无此要求.2.如何求的幂级数?提示提示:机动目录上页下页返回结束备用用题 1.将下列函数展开成 x 的幂级数解解:x1 时,此级数条件收敛,因此 机动目录上页下页返回结束2.将在x=0处展为幂级数.解解:因此机动目录上页下页返回结束P268 2 (1),(2),(4),(6);3 单;4 ;第五节目录上页下页返回结束作业