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1、复变函数泰勒级数复变函数泰勒级数1第1页，本讲稿共34页一、问题的引入一、问题的引入问题问题:任一个解析函数能否用幂级数来表达？任一个解析函数能否用幂级数来表达？.内任意点内任意点如图如图:.K.2第2页，本讲稿共34页由柯西积分公式由柯西积分公式,有有其中其中 K 取正方向取正方向.则则3第3页，本讲稿共34页4第4页，本讲稿共34页由高阶导数公式由高阶导数公式,上式又可写成上式又可写成其中其中可知在可知在K内内5第5页，本讲稿共34页令令则在则在K上连续上连续,6第6页，本讲稿共34页即存在一个正常数即存在一个正常数M,7第7页，本讲稿共34页在在内成立内成立,从而在从而在K内内 圆周圆周
2、的半径可以任意增大的半径可以任意增大,只要只要内成立内成立.在在的的泰勒展开式泰勒展开式,在在泰勒级数泰勒级数8第8页，本讲稿共34页如果如果到到的边界上各点的最短距离为的边界上各点的最短距离为那末那末在在的泰勒展开式在内成立的泰勒展开式在内成立因为凡满足因为凡满足的的必能使必能使由上讨论得重要定理由上讨论得重要定理泰勒展开定理泰勒展开定理在在的泰勒级数的泰勒级数的收敛半径的收敛半径至少等于，至少等于，但但9第9页，本讲稿共34页二、泰勒定理二、泰勒定理其中其中泰勒级数泰勒级数泰勒展开式泰勒展开式定理定理设设在区域在区域内解析内解析,为为 内的一内的一为为到到的边界上各点的最短距离的边界上各点
3、的最短距离,那末那末点点,时时,成立成立,当当泰勒介绍泰勒介绍10第10页，本讲稿共34页说明说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多得多;(想一想想一想,为什么为什么?)4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.(为什么为什么?)11第11页，本讲稿共34页因为解析，可以保证无限次可各因为解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性阶导数的连续性;所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多要比实变函数广阔的多.注意注意问题：问题：利用泰勒级数可以将函数展开
4、为幂级数利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展展开式是否唯一？开式是否唯一？12第12页，本讲稿共34页那末那末即即因此因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的因而是唯一的.13第13页，本讲稿共34页三、将函数展开成泰勒级数三、将函数展开成泰勒级数常用方法常用方法:直接法和间接法直接法和间接法.1.直接法直接法:由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数14第14页，本讲稿共34页例如，例如，故有故有15第15页，本讲稿共34页仿照上例仿照上例,16第16页，本讲稿共34页2.间接展开法间接展开法:借助于一些已知函数的展开式借
5、助于一些已知函数的展开式,结合解析函数结合解析函数的性质的性质,幂级数运算性质幂级数运算性质(逐项求导逐项求导,积分等积分等)和其和其它数学技巧它数学技巧(代换等代换等),求函数的泰勒展开式求函数的泰勒展开式.间接法的优点间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开因而比直接展开更为简洁更为简洁,使用范围也更为广泛使用范围也更为广泛.17第17页，本讲稿共34页例如，例如，18第18页，本讲稿共34页附附:常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式19第19页，本讲稿共34页20第20页，本讲稿共34页例例1 1解解四、典型例题四、典型例题21第21页，本讲
6、稿共34页上式两边逐项求导上式两边逐项求导,22第22页，本讲稿共34页例例2 2分析分析如图如图,23第23页，本讲稿共34页即即 将展开式两端沿将展开式两端沿 C 逐项积分逐项积分,得得解解24第24页，本讲稿共34页例例3 3 解解25第25页，本讲稿共34页例例4 4 解解26第26页，本讲稿共34页例例5 5解解27第27页，本讲稿共34页例例6 6解解即微分方程即微分方程对微分方程逐次求导得对微分方程逐次求导得:28第28页，本讲稿共34页29第29页，本讲稿共34页五、小结与思考五、小结与思考 通过本课的学习通过本课的学习,应理解泰勒展开定理应理解泰勒展开定理,熟记熟记五个基本函
7、数的泰勒展开式五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成掌握将函数展开成泰勒级数的方法泰勒级数的方法,能比较熟练的把一些解析函数能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数展开成泰勒级数.30第30页，本讲稿共34页奇、偶函数的泰勒级数有什么特点奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题思考题31第31页，本讲稿共34页 奇函数的泰勒级数只含奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项的奇次幂项,偶函数偶函数的泰勒级数只含的泰勒级数只含 z 的偶次幂项的偶次幂项.思考题答案思考题答案放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.32第32页，本讲稿共34页作业：作业：P114 8.(2)(3).34第34页，本讲稿共34页