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1、第2节 函数展开成幂级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数三、小结一、泰勒级数一、泰勒级数上节例题上节例题给定函数给定函数 ，是否存在幂级数，使其，是否存在幂级数，使其在收敛域内以在收敛域内以 为和函数？即为和函数？即解决的是已知幂级数，求其和函数。若解决的是已知幂级数，求其和函数。若若这样的幂级数存在，则称若这样的幂级数存在，则称 可以展可以展开成幂级数。开成幂级数。若若，则，则若上式中的若上式中的 趋向于无穷，则我们得到趋向于无穷，则我们得到一个幂级数：一个幂级数：（1）时称（时称（1）为）为的麦克劳林级数。的麦克劳林级数。（1）式称为函数）式称为函数 在在 的泰勒级数。的泰勒级数。当当可见
2、可见在在x=x=0 0点任意阶可导点任意阶可导,证明证明 设设则则其中其中从而有从而有所以所以证毕。证毕。泰勒系数是唯一的泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次逐项求导任意次,得得注：注：Taylor展开式是唯一的。展开式是唯一的。若若定理定理2 如果存在常数如果存在常数 ,使得对使得对中的所有中的所有 及一切自然数及一切自然数 ,都有都有则则 在在 内可展开为泰勒级数内可展开为泰勒级数.二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数1.1.直接法直接法(泰勒级数法泰勒级数法)步骤步骤:例例1 1解解几个常见函数的麦克劳林级数几个常见函数的麦克劳林级数容易证明容易证明例例2 2解解所以所以例例3 3解解两
3、边积分两边积分得得即即牛顿二项展开式牛顿二项展开式注意注意:双阶乘双阶乘2.2.间接法间接法 根据唯一性根据唯一性,利用常见展开式利用常见展开式,通通过过变量代换变量代换,四则运算四则运算,恒等变形恒等变形,逐项求导逐项求导,逐项积分逐项积分等方法等方法,求展开式求展开式.例如例如例例4 4解解级数。级数。(书）书）因为因为所以所以例例5 5解解例例6 6解解故故于是于是例例7 将将展开成麦克劳林级数。展开成麦克劳林级数。解解 由由求两次导数得求两次导数得所以所以例例8(060107)将函数将函数 展开成展开成 的幂的幂级数级数.解解令令例例9 求幂级数求幂级数的收敛域及和函数。的收敛域及和函数。解解 因为因为所以收敛区间为所以收敛区间为又因为又因为所以所以三、欧拉公式三、欧拉公式由由定义定义其中其中称称为欧拉公式。为欧拉公式。四、小结四、小结1.1.如何求函数的泰勒级数如何求函数的泰勒级数;2.2.泰勒级数收敛于函数的条件泰勒级数收敛于函数的条件;3.3.函数展开成泰勒级数的方法函数展开成泰勒级数的方法.思考题思考题的麦克劳林级数。的麦克劳林级数。求求练练 习习 题题练习题答案练习题答案