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1、第十五章第十五章 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式15-1 割集割集对于复杂的电路系统，需要研究系统化建立电路方程的方法电路方程的矩阵形式及其系统建立法电路方程的矩阵形式及其系统建立法。图图G 是结点和支路的一个集合，每条支路的两端都连到相应的结点上。电路的支路是实体，结点是支路的汇集点。连通图连通图G 图G中任意两个结点间至少有一条支路。本章主要内容：本章主要内容：主要介绍电路方程的矩阵形式及其系统建立法。简单介绍电路的状态方程。包括：包括：关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵。割集割集连通图G的一个割集是G的一个支路集合。把一个割集的所有支路移去将使G分为两个部分。如果少移去一条支路，则G仍是
2、连通的。1(1)在图G上作一闭合曲面，使其包围某些结点，如果把与此闭合面相切割的所有支路移去，G将被分离为两部分，这样的一组支路便构成一个割集割集(2)Q1Q7均为割集。连通图(3)注意：支路的集合(a,d,e,f)和(a,b,c,d,e)不是G的割集。(4)同一割集的所有支路电流满足KCL。(5)对应一组线性独立的KCL方程的割集称为独立割集。2“树树”一个连通图G的“树”T包含G的全部结点和部分支路，而“树”T本身是连通的且不包含回路不包含回路。树支树支树中包含的支路。连支支除树中包含的支路以外的其它支路图中实线为树支，虚线为连支借助“树树”的概念可以确定一组独立割集。(2)树是连接全部结
3、点所需的最少支路的集合。(1)连支的集合不能构成一个割集。(3)每一条树支都可以与相应的一些连支构成割集。这种割集称为单树支割集或基本割集。(4)：具有n个结点和b条支路得连通图，其树支数为(n-1)，所以有(n-1)个单树支割集或基本割集，即独立割集组独立割集组。3基本割集组注意：注意：独立割集不一定是单树支割集。如同独立回路不一定是单连支回路一样。对于右图(1)选支路(2,3,4,6)为树支，其余为连支。(2)G1,G2,G3,G4 组成基本割集组。415-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵有向图的拓扑性质可以用关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵描述。图的结点与支路的关
4、联性质一、关联矩阵关联矩阵例：对于右图(1)若一条支路与两个结点相连，则称该支路与这两个结点相关联。(2)支路与结点的关联性质可以用关联矩阵描述。(3)对于n个结点、b条支路的有向图，其有向图的关联矩阵为Aa=(nb)阶矩阵。ajk=+1表示支路k与结点j关联且它的方向背离结点ajk=-1表示支路k与结点j关联且它的方向指向结点ajk=0表示支路k与结点j无关结点支路5矩阵中，列对应支路，行对应结点分析以上矩阵，每一列只有两个非零元素，(即每一条支路只与两个结点有关)任何一行可以由其他(n-1)行导出。将Aa中划去任一行，得到如下降阶关联矩阵下降阶关联矩阵 A注意：注意：被划去的行所对应的结点
5、可以作为参考结点6用一个b阶列向量表示b条支路电流用矩阵A左乘电流列向量i，得到一个(n-1)阶列向量显然，A i=0 （15-2）是用A矩阵表示的KCL方程7例如，对于右图，有：8用一个b阶列向量表示b个支路电压对于右图，有：(n-1)个结点电压可以用一个(n-1)阶列向量表示有是用矩阵A表示的KVL方程（15-3）9二、回路矩阵回路矩阵(1)一个回路由某些支路组成，则这些支路与该回路关联(2)支路与回路的关联性质可以用回路矩阵描述。(3)对于独立回路为l、支路数为b的有向图，其有向图的 回路矩阵(独立回路矩阵)为B=(lb)阶矩阵。bjk=+1表示支路k与回路j关联,且它们的方向一致bjk
6、=-1表示支路k与回路j关联，且它们的方向相反bjk=0表示支路k与回路j无关例如，右图独立回路数为3，其回路矩阵为：12334回路支路10如果所选独立回路对应一个“树”的单连支回路组(基本回路组)，则此回路矩阵就称为基本回路矩阵 Bf。例如，右图选支路(3、5、6)为树支，(1、2、4)为连支。则基本回路矩阵为：123注意：注意：写Bf 时，(1)矩阵由第一列开始先排连支，再排列树支。(2)取每一单连支的方向为对应回路的绕行方向，所以有：Bf=1l Bt 显然，Bf 中有一个l 阶的单位子矩阵11用一个b阶列向量表示b个支路电压用矩阵B左乘电压列向量u，得到一个l 阶列向量显然，B u=0
7、（15-5）是用B矩阵表示的KVL方程12123对于右图13若 l 个回路电流用一个l 阶列向量表示则每一对应支路电流与回路电流的关联情况为：例如，对于右图，有：123即：为矩阵B表示KCL的矩阵形式（15-6）14三、割集矩阵割集矩阵(1)一个割集由某些支路构成，则这些支路与该割集关联(2)支路与割集的关联性质可以用割集矩阵描述。(3)对于结点数为n(独立结点为n-1)、支路数为b的有向图，其独立割集数为(n-1)。有向图的割集矩阵(独立割集矩阵)为Q=(n-1)b 阶矩阵。qjk=+1表示支路k与割集j关联,且它们的方向一致qjk=-1表示支路k与割集j关联，且它们的方向相反qjk=0表示
8、支路k与割集j无关对于右图(注意割集方向)15如果将一组单树支割集选定为一组独立割集，则此割集矩阵就称为基本割集矩阵 Qf。例如，右图选支路(3、5、6)为树支，(1、2、4)为连支。则基本割集矩阵为：注意：注意：写Qf 时，(1)矩阵由第一列开始先排树支，再排连支。(2)取每一单树支序号与树支所在列的序号相同，且割集方向与相应树支方向相同，则Qf=1t Q1 显然，Qf 中有一个lt 阶的单位子矩阵16由于属于一个割集的所有支路电流的代数和等于零，所以有：Q i=0 （15-9）对于右图(注意割集方向)显然，Qi=0，是用Q矩阵表示的KCL方程Q1Q2Q3即：为矩阵Q表示的KCL的矩阵形式1
9、7若(n-1)个树支电压用(n-1)阶列向量表示则每一条支路电压与树支电压的关联情况为：例如，对于右图，有：即：支路电压可以用树支电压(割集电压)表示ut1ut2ut3即：为矩阵Qf表示的KVL的矩阵形式（15-10）18注意比较式（15-2）、（15-3）、（15-9）、（15-10），在形式上有相似之处，对于某些图，有Qf=AA i=0 （15-2）是用矩阵A表示的KVL方程（15-3）是用A矩阵表示的KCL方程Q i=0 （15-9）为矩阵Q表示的KCL的矩阵形式为矩阵Qf表示的KVL的矩阵形式（15-10）B u=0 （15-5）用矩阵B表示KCL的矩阵形式（15-6）用矩阵B表示KV
10、L的矩阵形式1915-5 结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式结点电压法以结点电压作为电路的独立变量，并用KVL列出足够的独立方程在结点电压法中，复合支路为这里，(1)不允许存在无伴电压源支路；(2)允许存在受控电压源。201、复合支路中 ，且电感之间无耦合，则对于第 k 条支路有：则对于整个电路有：其中Y为支路导纳矩阵，是对角阵（15-15）2、复合支路中 ，且电感之间有耦合，则对于整个电路有：其中Y为支路导纳矩阵，为非对角阵，其主对角线元素为各支路阻抗，非对角线元素为相应的支路之间的互感阻抗213、复合支路中 ，则对于第 k 条支路有：若为VCCS 若为CCCS22Ykj=gkj
11、(为VCCS时)kjYj (为VCCS时)所以有：23即：其中Y为支路导纳矩阵，也不再是对角阵由KCL方程KVL方程(为支路电流列向量)可以推导出结点电压方程的矩阵形式(表示了结点电压列向量 与支路电压列向量 的关系)和支路方程（15-16）上式中的每一项均为(n-1)阶列向量，其中AYAT 为(n-1)阶方阵Yn为结点导纳矩阵，为由独立电源引起的注入结点的电流列向量。24电路如图(a)所示，图中元件的数字下标代表支路编号。试列出电路的结点电压方程（矩阵形式）。例：例：15-225例：例：15-3 电路如图(a)所示，图中元件的数字下标代表支路编号。图(b)为它的有向图，设：试列出电路的结点电压方程（矩阵形式）。26