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1、关于电路方程的矩阵形式现在学习的是第1页，共51页本章学时安排（本章学时安排（本章学时安排（本章学时安排（1212学时）学时）学时）学时）序号序号教学内容教学内容学时学时115-1 割集割集 15-2关联矩阵、回路矩阵、割关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵集矩阵 15-3A、Bf、Qf之间的关系之间的关系2215-4回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式2315-5结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式2415-6割集电压方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式2515-7列表法列表法 15-8状态方程状态方程26习题课（习题课（3）电路方程的矩阵形式）电路方程的矩阵形式2第十五章第十五章第
2、十五章第十五章 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式现在学习的是第2页，共51页目的：目的：目的：目的：在图论基础上，掌握电路分析中几个重要的矩阵在图论基础上，掌握电路分析中几个重要的矩阵在图论基础上，掌握电路分析中几个重要的矩阵在图论基础上，掌握电路分析中几个重要的矩阵重点：重点：重点：重点：关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵难难难难点：点：点：点：割集的理解割集的理解割集的理解割集的理解作业：作业：作业：作业：P362P362：15-115-1、15-315-3、15-415-
3、4 11第十五章第十五章第十五章第十五章 电路方程的矩阵形式（电路方程的矩阵形式（电路方程的矩阵形式（电路方程的矩阵形式（1 1）现在学习的是第3页，共51页网络拓扑网络拓扑i1i2i3i1i2i3i1i2i3抽象抽象 i=0连接性质连接性质抽象抽象电路图电路图抽象图抽象图支路支路+-1、网络的图、网络的图 15.1 割集割集现在学习的是第4页，共51页一一.图的基本概念图的基本概念有有向向图图无无向向图图连通图连通图图图不连通图不连通图15.1 15.1 割集割集现在学习的是第5页，共51页2.子图子图 路径：从图路径：从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达的一个节点出发沿着一些支路连
4、续移动到达 另一节点所经过的支路构成路径。另一节点所经过的支路构成路径。3.连通图连通图图图G的任意两节点间至少有一条路径时称的任意两节点间至少有一条路径时称G为连通图。为连通图。4.有向图有向图图中的方向表示原电路中支路电压和电流图中的方向表示原电路中支路电压和电流关联参考方向关联参考方向。二二.名词和定义名词和定义G=支路，节点支路，节点1.图图15.1 15.1 割集割集现在学习的是第6页，共51页三三.回路、树、割集回路、树、割集1.回路回路(1)连通；连通；(2)每个节点关联支路数恰好为每个节点关联支路数恰好为2。12345678253127589回路回路不是回路不是回路回路回路L是
5、连通图是连通图G的一个子图。的一个子图。具有下述性质具有下述性质15.1 15.1 割集割集现在学习的是第7页，共51页树不唯一树不唯一树支树支：属于树的支路：属于树的支路连支连支：属于：属于G而不属于而不属于T的支路的支路2.树树(Tree)树树T是连通图是连通图G的一个子图，具有下述性质：的一个子图，具有下述性质：(1)连通；连通；(2)包含包含G的所有节点；的所有节点；(3)不包含回路。不包含回路。16个个15.1 15.1 割集割集现在学习的是第8页，共51页树支数树支数 bt=n-1连支数连支数 bl=b-(n-1)单连支回路（基本回路）单连支回路（基本回路）1234567145树支
6、数树支数 4连支数连支数 3单连支回路单连支回路独立回路独立回路单连支回路单连支回路独立回路独立回路15.1 15.1 割集割集现在学习的是第9页，共51页三三.割集割集(1)把把Q 中全部支路移去，将图分成中全部支路移去，将图分成两个两个分离部分；分离部分；(2)保留保留Q 中的一条支路，其于都移去，中的一条支路，其于都移去，G还是连通的。还是连通的。432156134256Q1:2,5,4,6 割集割集Q是连通图是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质：中一个支路的集合，具有下述性质：15.1 15.1 割集割集现在学习的是第10页，共51页432156432156432156Q4:1,5
7、,2 Q3:1,5,4Q2:2,3,6 单树支割集（基本割集）单树支割集（基本割集）432156432156432156Q3:1,5,3,6 Q2:3,5,4Q1:2,3,6 15.1 15.1 割集割集现在学习的是第11页，共51页单树支割集单树支割集独立割集独立割集单树支割集单树支割集独立割集独立割集12341，2，3，4 割集割集三个分离部分三个分离部分12341，2，3，4 割集割集4保留保留4支路，图不连通的。支路，图不连通的。15.1 15.1 割集割集现在学习的是第12页，共51页432156基本回路基本回路基本割集基本割集1，2，3，41，4，51，2，63，4，52，3，61
8、，5，3，6基本回路和基本割集关系基本回路和基本割集关系对同一个树对同一个树1.由某个树支由某个树支bt确定的基本割集应包含那些连支，每个这种连支构确定的基本割集应包含那些连支，每个这种连支构成的单连支回路中包含该树支成的单连支回路中包含该树支bt 。15.1 15.1 割集割集现在学习的是第13页，共51页2.由某个连支由某个连支bl确定的单连支回路应包含那些树支，每个这种树支确定的单连支回路应包含那些树支，每个这种树支所构成的基本割集中含有所构成的基本割集中含有bl。432156基本回路基本回路基本割集基本割集1，2，3，41，4，51，2，63，4，52，3，61，5，3，6432156
9、基本回路基本回路基本割集基本割集1，2，3，41，4，51，2，63，4，52，3，61，5，3，615.1 15.1 割集割集现在学习的是第14页，共51页15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵一一.关联矩阵关联矩阵A用矩阵形式描述用矩阵形式描述节点节点和和支路支路的关联性质的关联性质aijaij=1 有向支路有向支路 j 背离背离 i 节点节点aij=-1 有向支路有向支路 j 指向指向 i 节点节点aij=0 i节点与节点与 j 支路支路无关无关关联矩阵关联矩阵Aa=aijn b节点数节点数支路数支路数现在学习的是第15页，共51页645321Aa=1234
10、1 2 3 4 5 6 支支节节 1 0 0 -1 0 1-1 -1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 -1 0 0 -1 1 -1 0Aa=1234 1 2 3 4 5 6 支支节节 1-1 0 0 0-1 1 0 0 0 1-1-1 0 0 1 0 1 0-1 1 0-1 0设设为参考节点为参考节点-1 -1 0 0 1 0A=123 1 2 3 4 5 6 支支节节 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1称称A为降阶关联矩阵为降阶关联矩阵(n-1)b，表征独立节点与支路的关联性质表征独立节点与支路的关联性质15.2 15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、
11、割集矩阵现在学习的是第16页，共51页设设:645321-1 -1 0 0 1 0A=123 1 2 3 4 5 6 支支节节 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1支路电压支路电压支路电流支路电流节点电压节点电压15.2 15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵现在学习的是第17页，共51页矩阵形式的矩阵形式的KCLAi=-1 -1 0 0 1 0 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1654321iiiiii645321A i=015.2 15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵现在学习的是第18页，共51页矩阵形
12、式矩阵形式KVL64532115.2 15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵现在学习的是第19页，共51页二二.基本回路矩阵基本回路矩阵B2.支路排列顺序为先连支路排列顺序为先连(树树)支后树支后树(连连)支。支。1 支路支路j与回路与回路i关联，方向一致关联，方向一致-1 支路支路j 与回路与回路i关联，方向相反关联，方向相反0 支路支路j 不在回路不在回路i中中bij=1 1约定约定：1.回路电流的参考方向取连支电流方向。回路电流的参考方向取连支电流方向。用矩阵形式描述用矩阵形式描述基本回路基本回路和和支路支路的关联性质的关联性质B=b i j l b基本回路数
13、基本回路数支路数支路数15.2 15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵现在学习的是第20页，共51页1 1选选 4、5、6为树，连支顺序为为树，连支顺序为1、2、3。123B=4 5 6 1 2 3 支支回回1 -1 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 0=Bt 1 设设 矩阵形式的矩阵形式的KVL 0 1 -1 0 0 1BtBlB u=015.2 15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵现在学习的是第21页，共51页B u=0 可写成可写成 Bt ut+ul =0ul=-Btut用树支电压表示连支电压用树支电压表示连支电压连支电压连支
14、电压树支电压树支电压矩阵形式的矩阵形式的KVL的另一种形式的另一种形式15.2 15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵现在学习的是第22页，共51页1 1B=Bt 1 用连支电流表示树支电流用连支电流表示树支电流BT il=i矩阵形式的矩阵形式的KCLKCL的另一种形式的另一种形式15.2 15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵现在学习的是第23页，共51页三三.基本割集矩阵基本割集矩阵Q约定约定 (1)割集方向与树支方向相同。割集方向与树支方向相同。(2)支路排列顺序先树支路排列顺序先树(连连)支支,后连后连(树树)支。支。qij=1
15、j支路与割集支路与割集i方向一致方向一致-1 j支路与割集支路与割集i方向相反方向相反 0 j 支路不在割集支路不在割集i中中 1 1用矩阵形式描述用矩阵形式描述基本割集基本割集和和支路支路的关联性质的关联性质Q=q i j n-1 b基本割集数基本割集数支路数支路数15.2 15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵现在学习的是第24页，共51页Q=4 5 6 1 2 3 支支割集割集C1C2C31 0 0 -1 -1 0 0 1 0 1 1 -1C1:1,2,4 C2:1,2,3,5 C3:2,3,6设设ut=u4 u5 u6 T矩阵形式的矩阵形式的KCL：1 1
16、0 0 1 0 -1 1QlQtQi=015.2 15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵现在学习的是第25页，共51页回路矩阵表示时回路矩阵表示时 用连支电流表示树支电流用连支电流表示树支电流矩阵形式的矩阵形式的KCL的另一种形式的另一种形式Qi=0 可写成可写成 回路矩阵和割集矩阵的关系回路矩阵和割集矩阵的关系15.2 15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵现在学习的是第26页，共51页1 1矩阵形式的矩阵形式的KVL用树支电压表示连支电压用树支电压表示连支电压QTut=uKVL的另一种形式的另一种形式15.2 15.2 关联矩阵、回路
17、矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵现在学习的是第27页，共51页QQi=0QTut=u小结：小结：ul=-BtutABAi=0BTil=iKCLKVLATun=uBu=015.2 15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵现在学习的是第28页，共51页15-3 结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式电路分析依据：电路分析依据：KCL A i=0KVL u=ATun元件特性方程元件特性方程规定每个支路必须有一个阻抗规定每个支路必须有一个阻抗k支路抽象为：支路抽象为：k设标准支路为：设标准支路为：现在学习的是第29页，共51页k支路电压、电流关系：支路电压、电
18、流关系：设设Z=diagZ1 Z2 Zb Y=diagY1 Y2 Yb Z=Y-1 15-3 15-3 结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式现在学习的是第30页，共51页支路电压的矩阵方程支路电压的矩阵方程 15-3 15-3 结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式现在学习的是第31页，共51页由由KCL A i=0由由KVL u=ATun节点导纳阵节点导纳阵得节点电压方程得节点电压方程由此求得支路电压和电流由此求得支路电压和电流15-3 15-3 结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式现在学习的是第32页，共51页例例5V5V0.5W0.5W2W2W1W1W0.5W0.5
19、W5W5W1W1W3A3A1A1A1 12 23 34 45 56 61.画有向图画有向图2.3.15-3 15-3 结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式现在学习的是第33页，共51页5V5V0.5W0.5W2W2W1W1W0.5W0.5W5W5W1W1W3A3A1A1A1 12 23 34 45 56 64.5.6.得得 15-3 15-3 结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式现在学习的是第34页，共51页12345例215-3 15-3 结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式现在学习的是第35页，共51页Y=Z-1其中其中15-3 15-3 结点电压方程的矩阵形式结点
20、电压方程的矩阵形式现在学习的是第36页，共51页具有具有VCCS的节点分析的节点分析+考虑考虑b条支路条支路15-3 15-3 结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式现在学习的是第37页，共51页kjgkj现在学习的是第38页，共51页例例iS5guauaG5C3G4+-*ML2L1524310现在学习的是第39页，共51页iS5guauaG5C3G4+-*ML2L1524310其中其中-g节点方程节点方程现在学习的是第40页，共51页15-4 状态方程状态方程一、状态和状态变量一、状态和状态变量Y(t)(t t0)可以确定可以确定状态、状态变量、状态方程和输出方程。状态、状态变量、状态
21、方程和输出方程。状状态态：电电路路在在任任何何时时刻刻所所必必需需的的最最少少信信息息，它它们们和和自自该该时时刻刻以以后的输入后的输入(激励激励)足以确定该电路的性状。足以确定该电路的性状。状状态态变变量量：描描述述电电路路的的一一组组最最少少数数目目独独立立变变量量，如如果果某某一一时时刻刻这这组组变变量量已已知知，且且自自此此时时刻刻以以后后电电路路的的输输入入亦亦已已知知，则可以确定此时刻以后任何时刻电路的响应。则可以确定此时刻以后任何时刻电路的响应。X(t0)e(t)t t0 已知已知现在学习的是第41页，共51页解解例例.输出输出:uL,iC,uR,iR 选状态量选状态量 uC，i
22、LuL(0)=7ViC(0)=1.5AiR(0)=1.5AuR(0)=3V由由推广推广至任一时刻至任一时刻 t1：uL(t1)iC(t1)iR(t1)uR(t1)可由可由现在学习的是第42页，共51页可可见见当当t=t1 时时uC，iL 和和t t1 后后的的输输入入 uS(t)为为已已知知，就就可可以以确确定定t1及及t1以以后后任任何何时时刻刻系系统统的的响响应应。问问题题是是t1时时刻刻的的状状态态量量要要求求出来。出来。二、状态方程二、状态方程：用状态变量和激励所描述的电路的一阶微分方程组。用状态变量和激励所描述的电路的一阶微分方程组。选选uC,iL 为状态变量为状态变量列微分方程列微
23、分方程现在学习的是第43页，共51页整理得整理得特点：特点：(1)联立一阶微分方程组；联立一阶微分方程组；(2)左左端端为为状状态态变变量量的的一一阶阶导数；导数；(3)右右端端仅仅含含状状态态变变量量和和输输入入量；量；状态方程状态方程矩阵形式矩阵形式一般形式一般形式X=x1 x2 xnT式中式中n nn r现在学习的是第44页，共51页三、输出方程三、输出方程特点特点：(1)代数方程；代数方程；(2)输出量用状态变量和输入量表示。输出量用状态变量和输入量表示。一般形式一般形式Y=Cx+DV现在学习的是第45页，共51页(2)一般选择一般选择uC和和 iL为状态变量，也常选为状态变量，也常选
24、 和和 q为状态变量。为状态变量。(3)状态变量的选择不唯一。状态变量的选择不唯一。上例中也可选上例中也可选uC和和duC/dt为状态变量为状态变量小结：小结：(1)状态变量和储能元件有联系，状态变量的个数等于状态变量和储能元件有联系，状态变量的个数等于 独立的储能元件个数。独立的储能元件个数。现在学习的是第46页，共51页令令 x1=uC ,x2=duC/dt即即则则x1x2现在学习的是第47页，共51页特有树特有树当电路中不存在仅由电容和电压源支路构成的回路和仅由电感和电当电路中不存在仅由电容和电压源支路构成的回路和仅由电感和电流源支路构成的割集时，特有树总是存在的。流源支路构成的割集时，
25、特有树总是存在的。特有树法是利用树的概念建立状态方程的方法。步骤：特有树法是利用树的概念建立状态方程的方法。步骤：1、根据电路图画拓扑图、根据电路图画拓扑图2、选特有树，数支包含电路中所有电压源支路和电容支路，连、选特有树，数支包含电路中所有电压源支路和电容支路，连支包含电路中所有电流源支路和电感支路支包含电路中所有电流源支路和电感支路3、对单电容树支割集列写、对单电容树支割集列写KCL方程方程 对单电感连支回路列写对单电感连支回路列写KVL方程方程4、消去中间变量、消去中间变量5、整理写成矩阵形式、整理写成矩阵形式现在学习的是第48页，共51页例：列写图示电路的状态方程。例：列写图示电路的状态方程。图(a)图(b)解：画电路拓扑图解：画电路拓扑图(b)选树选树T(us,R1,C)单电容树支割集单电容树支割集单电感连支回路单电感连支回路现在学习的是第49页，共51页消去中间变量：代入方程并整理整理成矩阵形式现在学习的是第50页，共51页感谢大家观看现在学习的是第51页，共51页