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1、第第1515章章 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式割集割集15.1关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵15.2矩阵矩阵A、Bf、Qf 之间的关系之间的关系15.3*回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式15.4结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式15.5列表法列表法15.7*割集电压方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式15.6*首首 页页本章内容本章内容l重点重点1.1.关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩2.2.阵和阵和*基本割集矩阵的概念基本割集矩阵的概念2.2.回路电流方程、结点电压方程和回路电流方程、结点电压方程和3.3.*
2、割集电压方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式返 回l课时课时415.1 15.1 割集割集下 页上 页割集割集Q 连通图连通图G中支路的集合，具有下述性质：中支路的集合，具有下述性质：把把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。中全部支路移去，图分成二个分离部分。任意放回任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。中一条支路，仍构成连通图。876543219割集割集：(1 9 6)(2 8 9)(3 6 8)(4 6 7)(5 7 8)(3 6 5 8 7)，问题问题返 回即：即：使一个连通图使一个连通图G变为非连通图时所移去变为非连通图时所移去的最少支路的集合称为的最少支路的集合称为G的一个割集的一
3、个割集.不是！不是！图图G如如何何得得到到割割集集？(3 6 2 8)是割集吗是割集吗？基本基本割集割集只含有一个树枝的割集。只含有一个树枝的割集。连支集合不能构成割集。连支集合不能构成割集。注意注意876543219属于同一割集的所有支路的电流应满足属于同一割集的所有支路的电流应满足KCL。当。当一个割集的所有支路都连接在同一个结点上，则一个割集的所有支路都连接在同一个结点上，则割集的割集的KCL方程变为结点上的方程变为结点上的KCL方程方程。割集数割集数n-1下 页上 页返 回下 页上 页对应一组线性独立的对应一组线性独立的KCL方程的割集称为独方程的割集称为独立割集立割集，基本割集是独立
4、割集，但独立割集，基本割集是独立割集，但独立割集不一定是单树支割集。即独立割集不一定是不一定是单树支割集。即独立割集不一定是基本割集。基本割集。返 回15.2 15.2 关联矩阵、回路关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵矩阵、割集矩阵 图的矩阵表示是指图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式：的矩阵形式。有三种矩阵形式：下 页上 页1.1.图的矩阵表示图的矩阵表示结点结点支路支路关联矩阵关联矩阵回路回路支路支路回路矩阵回路矩阵割集割集支路支路割集矩阵割集矩阵返 回下 页上 页2.2.关联矩阵关联矩阵A 用矩阵形式描述用矩阵形式描述结
5、点结点和和支路支路的关联性质。的关联性质。n个个结点结点b条支路的图用条支路的图用nb的矩阵描述：的矩阵描述：Aa=n b支路支路b结结点点 n每一行对应一个结点，每一行对应一个结点，每一列对应一条支路。每一列对应一条支路。矩阵矩阵Aa的每一个元素定义为：的每一个元素定义为：注意注意ajkajk=1 支路支路 k 与与结结点点 j 关联，方向背离关联，方向背离结结点；点；ajk=-1 支路支路 k 与与结结点点 j 关联，方向指向关联，方向指向结结点；点；ajk=0 支路支路 k 与结点与结点 j 无关。无关。返 回下 页上 页例例1特点特点每一列只有两个非零元素，一个是每一列只有两个非零元素
6、，一个是+1+1，一个，一个是是-1-1，Aa的每一列元素之和为零。的每一列元素之和为零。Aa=12341 2 3 4 5 6 支支结结-1 -1 1 0 0 00 0 -1 -1 0 11 0 0 1 1 00 1 0 0 -1 -1矩阵中任一行可以从其他矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只行中导出，即只有有n-1行是独立的。行是独立的。返 回下 页上 页Aa=12341 2 3 4 5 6 支支结结-1 -1 1 0 0 00 0 -1 -1 0 11 0 0 1 1 00 1 0 0 -1 -1降阶关联矩阵降阶关联矩阵A特点特点 A的某些列只具有一个的某些列只具有一个+1或一个或一
7、个1，这样，这样的列对应与划去结点相关联的一条支路。的列对应与划去结点相关联的一条支路。被划去的被划去的行对应的结点可以当作参考结点行对应的结点可以当作参考结点。A=(n-1)b支路支路b结结点点n-1返 回记为记为下 页上 页关联矩阵关联矩阵A的作用的作用用关联矩阵用关联矩阵A表示矩阵形式表示矩阵形式 的的KCL方程；方程；设设:以结点以结点为参考结点为参考结点A i=-1 -1 1 0 0 00 0 -1 -1 0 11 0 0 1 1 0n-1个独立个独立方程方程返 回矩阵形式的矩阵形式的KCL:A i=01下 页上 页用矩阵用矩阵AT表示矩阵形式的表示矩阵形式的KVL方程。方程。设设:
8、返 回1下 页上 页2.2.回路矩阵回路矩阵B独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵B描述。描述。B=l b支路支路b独独立立回回路路 l注意注意每一行对应一个独立回路，每一行对应一个独立回路，每一列对应一条支路。每一列对应一条支路。矩阵矩阵B的每一个元素定义为：的每一个元素定义为：bij1 1 支路支路 j 在回路在回路 i 中，且方向一致；中，且方向一致；-1-1 支路支路 j 在回路在回路 i中，且方向相反；中，且方向相反；0 支路支路 j 不在回路不在回路 i 中。中。返 回下 页上 页例例1123取网孔为独立回路，顺时针方向取网孔为独立回路，顺时
9、针方向 给定给定B可以画出对应的有向图。可以画出对应的有向图。1231 2 3 4 5 6 支支回回0 1 1 0 0 10 0 0 -1 1 -11 -1 0 0 -1 0注意注意基本回路矩阵基本回路矩阵Bf 若选独立回路是对应于一个树的单连枝回若选独立回路是对应于一个树的单连枝回路，则回路矩阵称为基本回路矩阵路，则回路矩阵称为基本回路矩阵Bf 。返 回B=但Bf矩阵的排列另有规定。矩阵的排列另有规定。支路排列顺序为先连支后树支，回路支路排列顺序为先连支后树支，回路顺序与连支顺序一致。顺序与连支顺序一致。下 页上 页 连支电流方向为回路电流方向；连支电流方向为回路电流方向；规定规定例例选选
10、2、5、6为树，连支顺序为为树，连支顺序为1、3、4。1231123Bf=1 3 4 2 5 6 支支回回1 0 0 -1 -1 00 1 0 1 0 10 0 1 0 -1 1BtBl=l Bt 返 回下 页上 页回路矩阵回路矩阵Bf的作用的作用用用回路矩阵回路矩阵Bf 表示矩阵形式表示矩阵形式 的的KVL方程；方程；设设 ulut Bf u=1 0 0 -1 -1 00 1 0 1 0 10 0 1 0 -1 1l个独立个独立KVL方程方程返 回矩阵形式的矩阵形式的KVL：Bf u=01231矩阵矩阵u的排的排列顺序列顺序 Bf u=0ul+Btut=0ul=-Btut设：设：连支电压可以
11、用树支电压表示。连支电压可以用树支电压表示。用用回路矩阵回路矩阵BfT表示矩阵形式的表示矩阵形式的KCL方程方程下 页上 页注意注意支路电流列向量支路电流列向量返 回独立回路电流独立回路电流(而不是指连支电流而不是指连支电流)下 页上 页1231矩阵形式的矩阵形式的KCL：Bf T il=i 注意注意树支电流可以用连支电流表出。树支电流可以用连支电流表出。返 回 Bf T il=下 页上 页3.3.基本割集矩阵基本割集矩阵Qf 割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，这里主要指基本割集矩阵。这里主要指基本割集矩阵。Q=(n-1)b支路支路b割割集集数数注
12、意注意每一行对应一个基本割集每一行对应一个基本割集,每一列对应一条支路每一列对应一条支路.矩阵矩阵Q的每一个元素定义为：的每一个元素定义为：qij1 1 支路支路 j 在割集在割集 i 中，且与割集方向一致；中，且与割集方向一致；-1-1 支路支路 j 在割集在割集 i中，且与割集方向相反；中，且与割集方向相反；0 支路支路 j 不在割集不在割集 i 中。中。返 回下 页上 页规定规定割集方向为树支方向；割集方向为树支方向；支路排列顺序先树支后连支；支路排列顺序先树支后连支；割集顺序与树支次序一致。割集顺序与树支次序一致。基本割集矩阵基本割集矩阵Qf例例1选选 1、2、3支路支路为树为树Q1:
13、1,4,5 Q2:2,5,6 Q3:3,4,6返 回QlQt下 页上 页Qf=1 2 3 4 5 6 支支割集割集Q1Q2Q31 0 0 1 1 0 0 1 0 0 -1 -1 0 0 1 1 0 -11基本割集矩阵基本割集矩阵Qf的作用的作用用基本用基本割集矩阵割集矩阵Qf表示矩阵形式的表示矩阵形式的KCL方程。方程。设设返 回矩阵形式的矩阵形式的KCL：Qf i=0下 页上 页 Qf i=1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 -1 -1 0 0 1 1 0 -11n-1个独立个独立KCL方程方程返 回设树支电压（或基本割集电压）：设树支电压（或基本割集电压）：ut=u1 u2 u3 T用
14、用QfT表示矩阵形式的表示矩阵形式的KVL方程方程矩阵形式的矩阵形式的KVL：Qf Tut=u下 页上 页返 回连支电压可以用树支电压表示。连支电压可以用树支电压表示。下 页上 页注意注意小结小结QABKCLKVLA i=0B T il =iul=-BtutBu=0Qfi=0QT ut=u返 回对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：三个矩阵从不同角度表示同一网络的连接性三个矩阵从不同角度表示同一网络的连接性质，它们之间自然存在着一定的关系。质，它们之间自然存在着一定的关系。15.315.3*矩阵矩阵A、Bf、Qf 之间的关系之间的关系1.1.A与与B
15、之间的关系之间的关系下 页上 页返 回对同一有向图，任选一树，对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序按先树枝后连枝顺序有：有：2.2.Bf 与与Qf 之间的关系之间的关系下 页上 页对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：返 回 对同一有向图，任选一树，按先树枝后连对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序写出矩阵：枝顺序写出矩阵：3.3.A与与Qf 之间的关系之间的关系下 页上 页返 回下 页上 页例例已知：已知：1 2 3 4 5 Bf=1 0 1 0 0 -1 1 0 1 0-1 0 0 0 1求基本割集矩阵，并画出网络图。求基本割集矩阵，并画
16、出网络图。解解1返 回15.4 15.4 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式 反映元件性质的支路电压和支路电流关反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩阵形式是网络矩阵分析法的基础。系的矩阵形式是网络矩阵分析法的基础。1.1.复合支路复合支路下 页上 页规定标准规定标准支路支路Zk(Yk)+-+-返 回设设 第第k k条支路包括以下元件条支路包括以下元件(以相量模型为例以相量模型为例)下 页上 页复合支路特点复合支路特点支路的独立电压源和独立电流源的方向与支支路的独立电压源和独立电流源的方向与支路电压、电流的方向相反；路电压、电流的方向相反；支路电压与支路电流的方向关联；支路电压与支
17、路电流的方向关联；支路的阻抗（或导纳）只能是支路的阻抗（或导纳）只能是单一的单一的电阻、电阻、电容、电感，而不能是它们的组合。电容、电感，而不能是它们的组合。Zk(Yk)+-+-返 回 复合支路定义了一条支路最多可以包含的不复合支路定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。下 页上 页注意注意(ZkYk）(ZkYk）+-返 回下 页上 页Zk(Yk)=0+-Zk(Yk)+-Zk(Yk)=0Zk(Yk)=0返 回2.2.支路阻抗矩阵形式支路阻抗矩阵形式 电路中电感之间无耦合电路中电感之间无耦合下 页上 页设设 电路有电路有b条支
18、路，则有条支路，则有：Zk(Yk)+-+-返 回设设Z=diagZ1 Z2Zb支路电流列向量支路电流列向量支路电压列向量支路电压列向量电压源的电压列向量电压源的电压列向量电流源的电流列向量电流源的电流列向量下 页上 页支路阻抗矩阵支路阻抗矩阵返 回diagonal(对角线对角线)整个电路的整个电路的支路电压、电流关系矩阵：支路电压、电流关系矩阵：b b阶对角阵阶对角阵下 页上 页返 回电路中电感之间无耦合时，电路中电感之间无耦合时，支路阻抗矩阵为对角阵支路阻抗矩阵为对角阵下 页上 页电路中电感之间有耦合电路中电感之间有耦合M*+-+-*+-+-返 回设第设第1 1、2 2第条支路有耦合第条支路
19、有耦合下 页上 页返 回则则下 页上 页如如1 1支路至支路至g支路间均有互感支路间均有互感Z不再是不再是对角阵对角阵返 回下 页上 页返 回 电路中电感之间有耦合时，电路中电感之间有耦合时，支路阻抗矩支路阻抗矩阵不再为对角阵，阵不再为对角阵，当当1g条有互感时，条有互感时，则有则有关于主对角线对称的关于主对角线对称的gg阶子矩阵。阶子矩阵。支中阻抗矩阵支中阻抗矩阵Z电路中有受控电压源电路中有受控电压源下 页上 页Z1(Y1)+-+-+-返 回设第设第1 条支路有受控电压源条支路有受控电压源则则其他各条支路电压为其他各条支路电压为第第2 条支路中无源元件中的电压为条支路中无源元件中的电压为 可
20、见可见，支路阻抗矩阵支路阻抗矩阵Z的非主对角元素将有的非主对角元素将有与受控电压源的控制系数有关的元素。与受控电压源的控制系数有关的元素。即即亦即亦即例例下 页上 页写出图示电路的阻抗矩阵写出图示电路的阻抗矩阵返 回+R1R51/jCjL2R6-jL3M3.3.回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式回路电流回路电流il (b-n+1)1阶阶下 页上 页支路方程：支路方程：返 回回路电压源向量回路电压源向量回路阻抗阵，主对角线元回路阻抗阵，主对角线元素为自阻抗，其余元素为素为自阻抗，其余元素为互阻抗。互阻抗。回路矩阵方程回路矩阵方程下 页上 页返 回从已知网络，写出从已知网络，写出回路分析
21、法的步骤：回路分析法的步骤：求出求出列出回路方程列出回路方程求出求出由由KCL解出解出根据支路方程解出根据支路方程解出下 页上 页小结小结返 回例例下 页上 页用矩阵形式列出电路的回路电流方程。用矩阵形式列出电路的回路电流方程。解解做出有向图，选支路做出有向图，选支路1，2，5为树枝。为树枝。15243121 2 3 4 5 12+R11/jC5jL4R2-jL3返 回下 页上 页把上式各矩阵代入回路电流方程的矩阵形式把上式各矩阵代入回路电流方程的矩阵形式返 回1.1.支路导纳矩阵形式支路导纳矩阵形式下 页上 页15.5 15.5 结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式电路中电路中不含互
22、感和受控源不含互感和受控源Zk(Yk)+-+-返 回下 页上 页返 回b b阶对角阵阶对角阵下 页上 页返 回下 页上 页电路中电感之间有耦合电路中电感之间有耦合M*+-+-*+-+-返 回下 页上 页返 回下 页上 页电路中有受控电源电路中有受控电源Zk(Yk)+-+-返 回下 页上 页Zk(Yk)+-+-返 回考虑考虑b个支路时：个支路时：下 页上 页若：若：kjkjg返 回下 页上 页若：若：kjjkjYb返 回KCL下 页上 页2.2.结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式支路方程：支路方程：KVL返 回Yn结点导纳阵结点导纳阵独立电源引起的流入结独立电源引起的流入结点的电流列向
23、量点的电流列向量下 页上 页返 回结点分析法的步骤结点分析法的步骤第一步：把电路抽象为有向图第一步：把电路抽象为有向图下 页上 页5V13A1A+-0.550.521小结小结123456返 回第二步：形成矩阵第二步：形成矩阵A123A=1 2 3 4 5 6 1 1 0 0 0 1 0-1 1 1 0 0 0 0-1 0 1 -1下 页上 页123456第三步：形成矩阵第三步：形成矩阵Y第四步：形成第四步：形成US、ISUS=-5 0 0 0 0 0 TIS=0 0 0 -1 3 0 T返 回第五步：用矩阵乘法求得结点方程第五步：用矩阵乘法求得结点方程下 页上 页返 回例例下 页上 页用矩阵形
24、式列出电路的结点电压方程。用矩阵形式列出电路的结点电压方程。解解做出有向图做出有向图5243130返 回iS5guauaG5C3G4+-*ML2L1下 页上 页5243130注意注意g的的位置位置iS5guauaG5C3G4+-*ML2L1返 回代入代入下 页上 页返 回下 页上 页*15.6 15.6 割集电压方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式 割集电压是指由割集划分的两分离部分之间割集电压是指由割集划分的两分离部分之间的一种假想电压。以割集电压为电路独立变量的的一种假想电压。以割集电压为电路独立变量的分析法称为割集电压法。分析法称为割集电压法。复合支路复合支路用导纳表示的支路方程：用导纳
25、表示的支路方程：Zk(Yk)+-+-返 回结合以上方程有：结合以上方程有：下 页上 页以树支电压以树支电压为未知量为未知量返 回 割集导纳矩阵，主对角线元素为相应割集各支割集导纳矩阵，主对角线元素为相应割集各支路的导纳之和，总为正；其余元素为相应两割集之路的导纳之和，总为正；其余元素为相应两割集之间共有支路导纳之和。间共有支路导纳之和。割集电流源向量割集电流源向量下 页上 页割集矩割集矩阵方程阵方程返 回下 页上 页注意注意 割集电压法是结点电压法的推广，或者说割集电压法是结点电压法的推广，或者说结点电压法是割集电压法的一个特例。若选择一结点电压法是割集电压法的一个特例。若选择一组独立割集，使
26、每一割集都由汇集在一个结点上组独立割集，使每一割集都由汇集在一个结点上的支路构成时，割集电压法便成为结点电压法。的支路构成时，割集电压法便成为结点电压法。小结小结割集分析法的步骤：割集分析法的步骤：选定一个树，写出选定一个树，写出计算计算，列出割集方程，列出割集方程求出求出，由，由KVL解出解出根据支路方程解出根据支路方程解出返 回例例下 页上 页以运算形式列出电路的割集电压方程的矩阵形式，以运算形式列出电路的割集电压方程的矩阵形式，设动态元件的初始条件为零。设动态元件的初始条件为零。解解做出有向图，选支路做出有向图，选支路1，2，3为树枝。为树枝。15243Ut1Ut2Ut3R1C5L4R2
27、L3返 回下 页上 页用拉氏变换表示时，有：用拉氏变换表示时，有：代入割集方程：代入割集方程：返 回下 页上 页*15.7 15.7 列表法列表法1.1.矩阵分析法的局限性矩阵分析法的局限性回路电流法不允许存在无伴电流源支路，且规回路电流法不允许存在无伴电流源支路，且规定的复合支路不允许存在受控电流源；定的复合支路不允许存在受控电流源；结点电压法和割集电压法不允许存在无伴电压结点电压法和割集电压法不允许存在无伴电压源支路，且规定的复合支路不允许存在受控电源支路，且规定的复合支路不允许存在受控电压源。压源。2.2.列表法列表法 规定一个元件为一条支路，用阻抗描述电规定一个元件为一条支路，用阻抗描述电阻或电感支路，用导纳描述电导或电容支路。阻或电感支路，用导纳描述电导或电容支路。返 回下 页上 页对于电阻或电感支路有：对于电阻或电感支路有：，或或对于电导或电容支路有：对于电导或电容支路有：或或对于对于VCVS支路有：支路有：对于对于CCVS支路有：支路有：对于对于VCCS支路有：支路有：对于对于CCCS支路有：支路有：对于对于独立电源独立电源支路有：支路有：返 回上 页支路方程：支路方程：，KCLKVL结点列表方程的矩阵形式：结点列表方程的矩阵形式：返 回