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1、第10章 信号波形估计（1）第1局部教学设计第10章教学设计（1）授课日期年 月 日授课次序授课学时授课章节 或主题第10章信号波形估计：10.1信号波形估计的概念及分类；10.2维纳滤 波教学内 容提要（1）10.1信号波形估计的概念及分类。（2） 10.2维纳滤波：1021连续随机过程的维纳滤波；1022离散随机 过程的维纳滤波。目的与 要求（1）深刻理解最正确线性滤波的概念及信号波形估计分类，熟悉维纳滤波 的特点。（2）掌握维纳-霍夫方程和非因果维纳滤波器传输函数的推导方法，掌握 用频谱因式分解法和白化处理方法求因果维纳滤波器的传输函数的方法。（3）掌握离散维纳-霍夫方程和有限冲激响应离
2、散维纳滤波器的单位脉冲 响应的推导方法，熟悉非因果无限冲激响应离散维纳滤波器，掌握用频谱因式 分解法和白化处理方法求因果无限冲激响应离散维纳滤波器的传输函数的方 法。知识点 归纳（1）最正确线性滤波。（2）维纳滤波。（3）维纳-霍夫方程。（4）非因果维纳滤波器。（5）因果维纳滤波器。（6）离散的维纳-霍夫方程。（7）有限冲激响应离散维纳滤波器。（8）非因果无限冲激响应离散维纳滤波器。（9）因果无限冲激响应离散维纳滤波器。170x(k) = s(k) + (k)(10.2.33)式中：x(k) = x(tk)是接收信号x(t)在时刻”的观测值；s(k) = )是有用信号s)在时 刻”的观测值；(
3、攵)= ()是噪声在时刻4的观测值。离散有用信号s(Z)和离散噪声 (外均是均值为0的离散平稳随机过程，且二者是联合平稳的。离散有用信号s(幻和离散 噪声(左)的自相关函数均是的，且离散有用信号s(Z)和离散噪声伏)的互相关函数也 是的。设离散维纳滤波器的单位脉冲响应为Zz(Z),当输入离散接收信号x(Z)时，那么输出y(Z) 为(%)- h(i)x(k - i)(10.2.34)i由于输出y(k)为有用信号s(口的估计值(幻，有用信号s(6与估计值(公之间的误 差为e(k) = s(k) 一 乳k) = s(k) - y(Z) = s(k) - Z h(i)x(k -i)(10.2.35)i
4、均方误差为r-| 2Ee2(k) = Es(k)-y(k)2 = E(10.2.36)将均方误差a/(%)对各(力求偏导，令其结果等于0,并利用正交原理，得到离散的 维纳-霍夫方程为七。=2&e-z)(10.2.39)i式中：院(6为x(Z)与s(口的互相关函数；R讣伏)为x(心的自相关函数；)为任意整数。 离散的维纳-霍夫方程中求和的范围不同，其求解方法也不同。满足离散的维纳-霍夫方程的 离散维纳滤波器的单位脉冲响应(公使均方误差到达最小。2)最小均方误差离散维纳滤波器的最小均方误差为Ete2(k)min =鼠(0) Z 蛇)(10.2.40) i式中：尺,(幻为s(口的自相关函数。3)离散
5、维纳滤波器当单位脉冲响应/i伏)的序号变量上取不同值时，离散维纳滤波器有下述的3种情况。(1)如果单位脉冲响应力(口的序号变量攵从。到M-1取有限个整数值，离散维纳滤 波器是有限冲激响应(FIR)离散维纳滤波器。(2)如果单位脉冲响应(幻的序号变量左从-oo到8取所有整数值，离散维纳滤波器 是非因果无限冲激响应(IIR)离散维纳滤波器。(3)如果单位脉冲响应(幻的序号变量左从。到8取整数值，离散维纳滤波器是因果无限冲激响应(IIR)离散维纳滤波器。2.有限冲激响应离散维纳滤波器(1)有限冲激响应离散维纳滤波器的维纳-霍夫方程设有限冲激响应离散维纳滤波器的单位脉冲响应为力(左)。0, QkM-,
6、那么离散 维纳滤波器的输出为M-1 y(k) = (k) = Z - i)(10.2.41)/=0有限冲激响应离散维纳滤波器的维纳-霍夫方程为M-1RA)= Eh(i)RKj-i)(10.2.42)/=0矩阵形式的维纳-霍夫方程为RH =(10.2.43)式中：H是由单位脉冲响应序列组成的向量；区”为离散输入信号x(Z)的自相关矩阵，其 元素为K”为互相关向量，其元素为凡、(女)。H、和K”的定义为H =也(0),0)(1),，/(例-1)T(10.2.44)(10.2.45)(10.2.46)&s=&s(0),&s ，,4s(M1)&川RKM -1)心&x(。)RM -2) Rn(MT)2)
7、&(，)&$ (10.2.48)/=03 .非因果无限冲激响应离散维纳滤波器(1)非因果无限冲激响应离散维纳滤波器的维纳-霍夫方程设非因果无限冲激响应离散维纳滤波器的单位脉冲响应为/l(Z)W0, -8左V8,非180因果无限冲激响应离散维纳滤波器的输出为oo(10.2.49)(10.2.50)(10.2.51)y(k) =湫)= h(i)x(k -i)Z=-co非因果无限冲激响应离散维纳滤波器的维纳-霍夫方程为00R 式 j)=h(i)R 屋 j-i)z=-oo传输函数形式的维纳-霍夫方程为(z)G,“(z) = GKz)式中：H(z)是离散维纳滤波器的单位脉冲响应Zz(Z)的Z变换；Gz)
8、是此工(口的Z变换, 也就是离散输入信号x(Z)的自功率谱；G(z)是R”(幻的Z变换，也就是离散输入信号 x(k)与离散有用信号s(k)的互功率谱。(2)非因果无限冲激响应离散维纳滤波器的传输函数非因果无限冲激响应离散维纳滤波器的传输函数(z)为(10.2.52)对非因果无限冲激响应离散维纳滤波器的传输函数”(z)进行逆Z变换，可以得到相应的单 位脉冲响应/?(%)。(3)非因果无限冲激响应离散维纳滤波器的最小均方误差非因果无限冲激响应离散维纳滤波器的最小均方误差为oo仇/(切.=鼠(。)- Z何叫4)(10253)z=-o非因果无限冲激响应离散维纳滤波器的最小均方误差的Z域表示形式为仇 e
9、2(Z)min=；fGKz)-(Z)Gxs(zT)zTdz(10.2.54)4 .因果无限冲激响应离散维纳滤波器(1)因果无限冲激响应离散维纳滤波器的维纳-霍夫方程设因果无限冲激响应离散维纳滤波器的单位脉冲响应为/z(Z)wO, 0oo,离散维 纳滤波器的输出为8(10.2.55)y(Z) = Z h(i)x(k - z)z=0因果无限冲激响应离散维纳滤波器的维纳-霍夫方程为&s( J) = E h(i)Rxx(j i)6(10.2.56)i=()(2)频谱因式分解法求传输函数频谱因式分解法求解维纳-霍夫方程的具体过程如下：首先，将因果无限冲激响应离散维 纳滤波器的维纳-霍夫方程扩展为非因果无
10、限冲激响应离散维纳滤波器的维纳-霍夫方程式； 通过Z变换，得到非因果无限冲激响应离散维纳滤波器的传输函数为(z)；接着进行如下 的因式分解，得到因果无限冲激响应离散维纳滤波器的传输函数。如果离散输入信号x(k)的功率谱密度G”.(口)是有理函数,对有理功率谱密度对 应的z域表示式GHz)进行因式分解，得到G(z) = G(z)G-(z)(10.2.57)式中：G;(z)的所有零点和极点都位于单位圆z| 1外。位于单位圆| z |二1上的所有零点和极点平分给G(z)和G；(z) o非因果无限冲激响应离散维纳滤波器的传输函数H(z)满足H(z)Gl(z)G(z) =Grs(z),故有G)G1(2)
11、(10.2.58)口/、 G/z) 11Gz)7 ( Z)=4 G：(z)G(z) G2(z)匕二式中：的所有零点和极点都位于单位圆| 2| 1外。位于单位圆| Z |= 1上的所有零点和极点平分给丁和丁。(10.2.59)因果无限冲激响应离散维纳滤波器的传输函数“c屹)为“c(Z)=对传输函数”c(z)求逆Z变换，就可以得到因果无限冲激响应离散维纳滤波器的单位脉冲响 应儿(女)。(2)白化处理方法求传输函数白化处理方法是先将离散输入信号变为离散白色随机过程，然后让离散白色随机过程通 过对应于这个白色随机过程的离散维纳滤波器，得到期望的离散输出信号。如果离散输入信号x(Z)是有色离散平稳随机过
12、程，那么需要利用白化滤波器把输入序列 x(Q进行白化处理，使之变换成白色离散平稳随机过程。如果离散输入信号x(Q的功率谱 密度伉式。)是有理函数，有理功率谱密度色式对应的Z域表示式G6.(z)可以写为 G,(z) = G；(z)G1(z)，那么白化滤波器的传输函数为w(Z)=w(Z)=G：(z)(10.2.60)设白化滤波器输出的白色离散平稳随机过程为以左),其相应的维纳滤波器的传输函数 为“2(Z)，那么182H2(z) = Gg (z)r = Hw (z-1 )G2)=(10.2,61) G)G.M)G 二(z)因果无限冲激响应离散维纳滤波器的传输函数为(10.2.63)(10.2.63)
13、( )= w(2)，2 Q) = J G.*(z)它与频谱因式分解法的结论完全一致。因果无限冲激响应离散维纳滤波器的最小均方误差为00Eek)min =人-(10264)i=0因果无限冲激响应离散维纳滤波器的最小均方误差的Z域表示形式为(2)* =二，G，z)-Hc(z)G4zT)zTdz(10.2.65)2兀/注意:非因果和因果无限冲激响应离散维纳滤波器的最小均方误差的表示式具有相同的形式, 只是二者的维纳滤波器的传输函数或单位脉冲响应有所不同。非因果情况下，使用非因果无 限冲激响应离散维纳滤波器的传输函数或单位脉冲响应；因果情况下，使用因果无限冲激响 应离散维纳滤波器的传输函数或单位脉冲响
14、应。例1022设观测信号为x) = (，) +),信号s)的自相关函数为&) = /砌 0噪声为0,其自相关函数为() = 0。对，时刻经过。个单位后的信号sQ +。)进行 最正确估计，试设计因果维纳滤波器。第3局部教学小结本教学单元在讨论最正确线性滤波和信号波形估计概念的基础上，针对连续随机信号，讨 论了维纳-霍夫方程、非因果和因果维纳滤波器；针对离散随机信号，讨论了维纳-霍夫方程、 有限冲激响应离散维纳滤波器、非因果和因果无限冲激响应离散维纳滤波器。希望通过课后复习和做习题，理解最小均方误差准那么和信号波形估计的概念，掌握维纳 滤波的原理和方法。第10章 信号波形估计（2）第1局部教学设计
15、第10章教学设计（2）授课日期年 月 日授课次序授课学时授课章节 或主题第10章信号波形估计：10.3卡尔曼滤波教学内 容提要（1） 向量卡尔曼滤波。（2） 标量卡尔曼滤波。目的与 要求深刻理解卡尔曼滤波的概念及原理，掌握卡尔曼滤波的状态方程、观测方 程、基本公式、递推算法及初始值的选取，熟悉卡尔曼滤波的特点和性质，了 解卡尔曼滤波的发散现象。知识点 归纳（1）卡尔曼滤波的信号模型。（2）卡尔曼滤波基本公式。（3）卡尔曼滤波的递推算法。（4）卡尔曼滤波的初始值。（5）卡尔曼滤波的特点和性质。教学重点（1）卡尔曼滤波的信号模型。（2）卡尔曼滤波基本公式。（3）卡尔曼滤波的递推算法。教学难点（1）
16、卡尔曼滤波基本公式。（2）卡尔曼滤波的递推算法。教学方法讲授法、讨论法、演示法、问题教学法。教学手段黑板、多媒体课件、仿真软件。183教学过程 设计1.教学内容的展开(1)回顾维纳滤波的主要特点，导入卡尔曼滤波，并采用维纳滤波比照 的方式，阐述卡尔曼滤波的主要特点。教学过程 设计(2) 节的教学思路：针对向量形式的状态变量和观测量，讨论了 状态方程、观测方程和卡尔曼滤波基本公式，重点是卡尔曼滤波递推算法和初 始值的选取，通过例题加深对卡尔曼滤波的理解，到达理论联系实际的目标。 具体讲授过程：向量卡尔曼滤波的信号模型一向量卡尔曼滤波基本公式一离散 卡尔曼滤波的计算步骤一离散卡尔曼滤波的特点和性质
17、一卡尔曼滤波的发散 现象一例题。(3) 节的教学思路：针对标量形式的状态变量和观测量，讨论了 状态方程、观测方程和卡尔曼滤波基本公式，重点是卡尔曼滤波递推算法，通 过例题掌握卡尔曼滤波在实际中的应用。具体讲授过程：标量卡尔曼滤波的信 号模型一标量卡尔曼滤波基本公式一标量卡尔曼滤波的特点一标量卡尔曼滤 波的递推计算一例题。(4) 布置适当练习，使学生掌握卡尔曼滤波递推算法和初始值的选取， 熟悉卡尔曼滤波的实际应用。2.教学方法与手段的应用以多媒体教学为主，辅以板书和仿真演示。主要的知识点和关键的内容采 用板书加以强调。向量卡尔曼滤波和标量卡尔曼滤波过程采用仿真演示。以讲授法为主，辅以问题教学法、
18、演示法和讨论法。卡尔曼滤波引出采用 问题教学法，提高学生发现问题的能力。卡尔曼滤波递推算法和初始值的选取 采用讨论法，激发学生学习兴趣。对卡尔曼滤波过程，采用编程讲解和演示法， 培养学生用所学知识解决问题的能力。课后作业教材第10章的思考题：10.3、10.5、10.6、10.8o教材第 10 章的习题：10.17 10.18、10.19 10.2k 10.23、10.26、10.28。教学 后记通过多媒体、板书、编程讲解和仿真软件演不相结合的教学方法，讨论了 状态方程、观测方程、信号模型统计特性和卡尔曼滤波基本公式，重点讨论卡 尔曼滤波递推算法和初始值的选取，论述了卡尔曼滤波的特点、性质及发
19、散现 象，到达了预定的教学目标。针对典型应用，通过仿真软件，演示了卡尔曼滤 波过程，提高了教学效果。第2局部教学内容10.3卡尔曼滤波184（1）卡尔曼滤波的准那么：最小均方误差。（2）卡尔曼滤波适用范围：适用于平稳随机过程和非平稳随机过程，时不变和时变的线 性系统，多输入多输出系统。（3）卡尔曼滤波需耍的条件：状态方程、观测方程及其统计特性。（4）卡尔曼滤波处理方法和实现方式：根据前一次的估计值和当前的观测值，通过递推 算法来估计信号的当前值，计算效率高，便于实时处理。（5）卡尔曼滤波分类：连续形式和离散形式卡尔曼滤波。（6）离散形式卡尔曼滤波分类：向量卡尔曼滤波和标量卡尔曼滤波。（7）向量
20、卡尔曼滤波：多维卡尔曼滤波，是对多个随机信号同时进行的最正确线性滤波和 预测。（8）标量卡尔曼滤波：一维卡尔曼滤波，是对单个随机信号的最正确线性滤波和预测。10. 3.1向量卡尔曼滤波1 .向量卡尔曼滤波的信号模型向量卡尔曼滤波的信号模型包括状态方程和观测方程。1）状态方程描述系统状态的变量称为状态变量，信号是描述系统状态的一种方式。因此，信号也是 状态变量。描述系统状态变化的状态变量的数学表示式称为状态方程。设加个状态变量或随机信号组成状态向量，在时刻的状态向量表示为S（6= W（Z） 4（%） 5,（%）厂（10.3.1）式中：4（女）,N（2）,%伏）分别为m个状态变量或随机信号。设离散
21、时间系统的状态方程表示为S（k） = A（ k -I）S（k-1） + D（k - l）U（k-1） + -V）W（k-1）（10.3.2）式中：1）是系统从Z-1时刻到左时刻的（一步）状态转移矩阵，是根x相阶矩阵； W（Z -1）是k-1时刻系统受到的/维扰动噪声向量，称为状态噪声向量或系统噪声向量； r（k -1）是左-1时刻反映扰动噪声向量对系统状态向量影响程度的mx/阶扰动矩阵； U（左一 1）是左1时刻系统的输入信号向量，是厂维列向量；D（k 1）是 1时刻反映输入 信号向量对系统状态向量影响程度的加xr阶控制矩阵。状态方程式（1032）中的控制项。（4-1）。（左-1）表示系统输入
22、信号对状态变量变化 的贡献。如果控制项。（4-1）。（4-1）不存在，相应的卡尔曼滤波称为无控制卡尔曼滤波； 如果控制项。（左-1）。（左-1）存在，相应的卡尔曼滤波称为有控制卡尔曼滤波。如果状态变量或信号4（）, 1 （2）,（k）是相互独立的，那么状态转移矩阵4（2次-1） 是一个对角矩阵。如果状态转移鼠阵A（左水-1）为时变矩阵，也就是随着时刻攵而变化，那么 状态方程可以表示具有时变系数的信号，即非平稳随机过程。如果状态转移矩阵A（左次-1） 为时不变矩阵，也就是不随着时刻上而变化，那么状态方程表示具有时不变系数的信号，即平 稳随机过程。2）观测方程185观测方程是描述观测向量与状态向量
23、之间关系的方程。 设观测方程为(10.3.3)(10.3.3)X(k) = C(k)S(k) + V(k)式中：X(A)是左时刻的观测向量，是力隹列向量；C(Z)是左时刻的9x机阶观测矩阵；V(k) 是Z时刻的观测噪声向量，是乡维列向量。3)信号模型框图信号模型框图如下图。+ X*)2)W(k-l)U(k-l)图向量卡尔曼滤波的信号模型4)信号模型的统计特性(1)系统噪声向量W(Z)是。均值的白噪声随机向量序列，即有讥W() = 0,且系统 噪声协方差矩阵Q(k) = EW(k)Wk)(10.3.4)为非负定矩阵。假设系统噪声向量的各分量之间不相关，那么系统噪声协方差矩阵0(左)为对角 矩阵。
24、(2)观测噪声向量V(4是。均值的白噪声随机向量序列，即有石V(Q = 0,且观测 噪声协方差矩阵R(k) = EV(k)VT(k)(10.3.5)为正定矩阵。假设观测噪声向量的各分量之间不相关，那么观测噪声协方差矩阵K(幻为对角矩 阵。(3)系统噪声向量W伏)与观测噪声向量V伏)相互独立，即EW(k)Vr (k) = 0(10.3.6)(4)初始状态向量S(O)的均值和协方差矩阵为S(0) = mso(10.3.7)186教学重点(1)维纳-霍夫方程。(2)因果维纳滤波器。教学重点(3)频谱因式分解法。(4)白化处理方法。(5)因果无限冲激响应离散维纳滤波器。教学难点(1)维纳-霍夫方程。(
25、2)因果维纳滤波器。(3)因果无限冲激响应离散维纳滤波器。教学方法讲授法、讨论法、演示法、问题教学法。教学手段黑板、多媒体课件、仿真软件。(10.3.8)ES(O)-msoS(O)-soT = Pso(5)初始状态向量S(0)与每一时刻的系统噪声向量W(左)相互独立，也与每一时刻 的观测噪声向量丫伏)相互独立。即仇 S(0)WT(Z) = 0(10.3.9)(10.3.10)石S(0)VT(%)=02 .向量卡尔曼滤波基本公式1)卡尔曼滤波包括两个阶段：预测与滤波。在预测阶段，卡尔曼滤波器使用上一时刻状 态的滤波估计值，做出对当前时刻状态的预测估计值。在滤波阶段，卡尔曼滤波器利用对当 前时刻的
26、观测值优化在预测阶段获得的预测估计值，以获得一个更精确的新滤波估计值。滤 波是通过当前时刻的观测值的处理去更新预测值。2)基本变量(1)在预测阶段，卡尔曼滤波器的两个基本变量是：预测状态向量1)和预测 误差协方差矩阵尸(AM-1)。预测误差向量为S(kk-) = S(k)-S(kk-1)(10.3.11)那么预测协方差矩阵为P(kk-1) = ES(k | k-1)ST( | % 1)(10.3.12)预测协方差矩阵反映了状态预测的精确程度(精度)。(2)在滤波阶段，卡尔曼滤波器的3个基本变量是：状态滤波向量M(Z|Z)、滤波增益 矩阵K(k)和预测协方差矩阵P(k | k)。滤波误差向量为W
27、(kk) = S(k)-S(kk)(10.3.13)那么滤波协方差矩阵为P(k | k) = ES(k | k)ST(k | k)(10.3.14)滤波协方差矩阵反映了状态滤波的精度。3)基本公式(1)卡尔曼滤波有5个基本公式在预测阶段，卡尔曼滤波有2个基本公式：状态预测公式和预测协方差矩阵公式。在滤 波阶段，卡尔曼滤波有3个基本公式：滤波增益矩阵公式、状态滤波公式和滤波协方差矩阵 公式。(2)状态预测公式187S(kk-1) = A(匕 k-l)S(k-lk-l) + D(k _1)U 也-1)(10.3.15)(3)预测协方差矩阵公式P(kk-1) = A(k,k-l)P(k-lk-l)A
28、T (k,k l)(10.3.16)+ T(女1)0(左1)T 丁 (A 1)(4)滤波增益矩阵公式对于卡尔曼滤波，滤波增益矩阵公式是使均方误差到达最小的条件。也就说，使状态向 量到达最正确估计的滤波增益矩阵公式为K *)= P(kk- 1)CT (k)C(k)P(k | k -1)CT (k) + -(初 t(10.3.17)式中：K(幻是滤波增益矩阵。(5)状态滤波公式S(k k) = S(kk-l) + K(k) X(k) C(k)S(k | k -1)(10.3.18)(6)滤波协方差矩阵公式P(k k) = I- K(k)C(k)P(kk-1)(10.3.19)4)向量卡尔曼滤波的框
29、图向量卡尔曼滤波的框图如下图。图向量卡尔曼滤波框图4 .离散卡尔曼滤波的计算步骤1)离散卡尔曼滤波的计算步骤包括3个步骤：确定模型参数、确定初始值和递推计算。2)确定模型参数模型参数包括：状态转移矩阵4(2次-1)、控制矩阵0(%)、扰动矩阵厂(幻、观测矩阵 C(k)、系统噪声向量W(左)的协方差矩阵0(幻及观测噪声向量V(Z)的协方差矩阵A(幻o3)确定初始值(1)卡尔曼滤波递推算法的初始值：初始状态滤波值寸(0 |0)和初始滤波协方差矩阵P(01 0)o 188(2)初始值的选取初始值确实定通常需要根据具体情况，通过以前的先验知识或前儿次的观测数据，确定 初始状态滤波值S(0| 0)和初始
30、滤波协方差矩阵?(01 0)o在无任何先验知识的情况下，可以利用前几次的观测数据确定初始值，而在利用前几次 的观测数据确定初始值时，不做卡尔曼滤波递推计算。如果不了解初始状态的统计特性，也不利用前几次的观测数据确定初始值，通常取 S(0| 0) = 0, P(0|0) = e/,其中为一个较大的正数。4)递推计算当给定了滤波递推计算的模型参数矩阵和初始值之后，就可按照以下5个步骤进行卡尔 曼滤波递推计算。(1)状态预测根据状态预测公式，由女-1时刻状态向量的滤波值寸(攵-11 % - 1)及-1时刻的输入信 号向量U(k -1),求得k时刻的状态向量的预测值S(kk-l)Q(2)预测协方差矩阵
31、计算根据预测协方差矩阵公式，由左1时刻的滤波协方差矩阵及k-1时亥U 的系统噪声协方差矩阵Q(k -1),求得k时刻的预测协方差矩阵P(kk-1).(3)滤波增益矩阵计算根据滤波增益矩阵公式，由k时刻的预测协方差矩阵P(k |左-1)及时刻的观测噪声协 方差矩阵求得上时刻的滤波增益矩阵驳(攵)。(4)状态滤波根据状态滤波公式，由k时刻的状态向量的预测值寸(kk-l)、k时刻的观测数据X(k) 及k时刻的滤波增益矩阵K(k),求得k时刻状态向量的滤波值S(k | k)。(5)滤波协方差矩阵计算根据滤波协方差矩阵公式，由k时刻的预测协方差矩阵P(kk-1)和k时刻的滤波增益 矩阵K(k),求得上时
32、刻的滤波协方差矩阵P(k | k),4)卡尔曼滤波递推算法流程图卡尔曼滤波递推算法流程图如下图。5 .离散卡尔曼滤波的特点和性质1)离散卡尔曼滤波的主要特点(1)卡尔曼滤波的任务是:选择合适的滤波增益矩阵K(k)，使滤波协方差矩阵P(k | k) 取得最小值。(2)离散卡尔曼滤波的信号模型是由状态方程和观测方程描述的；状态转移矩阵 1)、观测矩阵C(Z)和扰动矩阵厂(左)可以是时变的；系统噪声向量W(Z)、观测噪 声向量丫(幻的协方差矩阵。(幻和A(公也是时变的。因此，离散卡尔曼滤波适用于向量的 非平稳随机过程的状态估计。(3)离散卡尔曼滤波的状态估计采用递推估计算法，数据存储量少，运算量小，
33、特别是 防止了高阶矩阵求逆问题，提高了运算效率。(4)由于离散卡尔曼滤波的滤波增益矩阵K(k)与观测数据无关，所以有可能离线算出， 从而减少实时在线计算量，提高了实时处理能力。189(5)离散卡尔曼滤波不仅能够同时得到状态滤波值M(Z|Z)和状态一步预测值 S(kk-1)9而且同时得到滤波协方差矩阵尸( | 女)和预测协方差矩阵尸(Z |Z-1),它们 是状态滤波和状态一步预测的精度指标。2)离散卡尔曼滤波的主要性质(1 )状态滤波值S(k |6是状态S(幻的线性最小均方误差估计量，因为它是无偏估计 量，所以滤波协方差矩阵尸(左I左)就是所有线性估计中的最小误差协方差矩阵。状态预测S(kk-1
34、) = A(Z, Z 1) 1 1) + D(Z 1)1/(攵1)输入信号190190图卡尔曼滤波递推算法流程图U(k-I)(2)由于线性最小均方误差估计是被估计量在观测量上的正交投影，而卡尔曼滤波采 用线性最小均方误差准那么，因而满足正交原理。也就是，状态估计的误差矢量 百伏|幻= 5(%)-,化| %)与状态滤波值6(% |左)正交,即石居伏|左)如(&4)=0；状态 估计的误差矢量S(k | k)与观测数据X(左)正交，即ES(k | k)Xk) = 0。(3)滤波增益矩阵K(Z)与初始状态的滤波协方差矩阵P(0|0)、系统噪声向量 W(k-l)的协方差矩阵Q(k -1)和观测噪声向量丫
35、(幻的协方差矩阵R(k)有关。滤波增益矩阵K(k)随着初始状态的滤波协方差矩阵P(0| 0)和系统噪声协方差矩阵 0(A-1)增大而递增，随着上一步滤波协方差矩阵尸(-增大而递增，随着观测噪 声协方差矩阵K(Z)增大而递减。(4)滤波协方差矩阵P(k | k)的上限值为预测协方差矩阵P(kk-1).6 .卡尔曼滤波的发散现象(1)卡尔曼滤波发散随着滤波递推运算次数的增加，由于估计误差的均值和估计误差协方差可能越来越大， 使滤波逐渐失去准确估计的作用，这种现象称为卡尔曼滤波发散。(2)引起卡尔曼滤波发散的主要原因有2点：模型误差和计算误差。(3)模型误差发散模型误差发散：信号模型的不准确，使得模
36、型与观测数据不匹配而导致估计误差越来越 大，造成滤波发散。抑制模型误差发散的途径：逐渐减小陈旧观测值的权重，相应地增大新观测值的权重； 通过人为地增加模型输入噪声方差，用扩大了的系统噪声来补偿模型误差，抑制模型不准确 所造成的发散现象。(4)计算误差发散计算误差发散：随着卡尔曼滤波递推运算次数的增加，计算舍入误差将逐渐积累，使估 计误差协方差矩阵失去非负定性，使滤波增益矩阵逐渐失去合适的加权作用而导致发散。克服计算误差发散的途径：采用双精度运算法或平方根法。例边扫描边跟踪体制的平面雷达采用卡尔曼滤波算法跟踪运动目标。注释：该例题的重点是卡尔曼滤波初始值确实定。启动卡尔曼滤波递推计算需要确定初
37、始值：第一个状态估计以及相应于这一估计的第一个滤波协方差矩阵。因为平面雷达只观测 被跟踪目标的径向距离和方位角，而不具有测速的能力，所以需要利用前两次的观测数据 王、七和Q)来确定滤波的初始状值(2| 2)和尸(2 | 2),从时刻k二3开 始递推估计。10. 3.2标量卡尔曼滤波1 .标量卡尔曼滤波的信号模型标量卡尔曼滤波的信号模型包括信号的状态方程和观测方程。1)状态方程191标量状态方程表示为(10.3.36)(10.3.36)s(k) = as(k -1) + w(k -1)式中：s(幻是攵时刻的状态信号值；为模型的系统参数；以外为状态噪声或系统噪声。2)观测方程标量观测方程为x(k)
38、 = cs(k) + H(k)()式中：x(Q是观测序列；伏)是观测噪声序列，是来自观测过程中的干扰；。称为观测参 数。3)信号模型的统计特性(1)系统噪声以左)是均值为0、方差为的白噪声序列，即有Ew(k) = 0(10.3.38)仇田，)以刈二或久。)(10.3.39)式中：当，=/时，b(i,j) = l；当iw/时，3亿/) = 0。(2)观测噪声(外是均值为0,方差为的加性白噪声序列，即有En(k) = 0(10.3.40)En(iMj) = a(i,j)(10.3.41)(3)系统噪声以幻与观测噪声(Z)相互独立，即Ew(z)z2(j) = 0(10.3.42)(4)初始状态s(0
39、)的均值和方差为5(0) =(10.3.43)Var5(0)=4(10.3.44)(5)初始状态s(0)与每一时刻的系统噪声以外相互独立，也与每一时刻的观测噪 声伏)相互独立。即E5(0)w() = 0()Es(0)(Z)= 0(1)2 .标量卡尔曼滤波基本公式1)标量卡尔曼滤波也包括两个阶段：预测与滤波。在预测阶段，卡尔曼滤波器使用上一 时刻状态的滤波估计，做出对当前时刻状态的预测估计。在滤波阶段，卡尔曼滤波器利用对192 当前时刻的观测值优化在预测阶段获得的预测估计，以获得一个更精确的新滤波估计。2)基本变量(1)在预测阶段，标量卡尔曼滤波器的两个基本变量是：预测状态6伏|Z-1)和预测
40、均方误差p伏|Z-1)。预测误差为s(kk-1) = s(k)-s(kk-l)预测均方误差为p(kk l) = Es2(kk-)预测均方误差反映了状态预测的精度。(2)在滤波阶段，标量卡尔曼滤波器的3个基本变量是：状态滤波6伏|%)、滤波增益 伏外和滤波均方误差(攵|左)。滤波误差为s(k | Z) = s(k) s(k | k)(10.3.49)那么滤波均方误差为p(kk) = Es2 (kk)(10.3.50)滤波均方误差反映了状态滤波的精度。3)基本公式(1)标量卡尔曼滤波有5个基本公式。在预测阶段，标量卡尔曼滤波有两个基本公式: 状态预测公式和预测均方误差公式。在滤波阶段，标量卡尔曼滤
41、波有3个基本公式：滤波增 益公式、状态滤波公式和滤波均方误差公式。(2)状态预测公式1伏 | 左一1) = as(k - 11 左一1)(10.3.51)(3)预测均方误差公式p(k | 左 一1) = q2P(% I k-V) + b：(10.3.52)(4)滤波增益公式cp(kk - l)(10.3.53)02P(左 | % 1) + 吠(5)状态滤波公式(kk) = s(kk-l) + b(k)x(k) - cs(k | 左 一 1)(10.3.54)(6)滤波均方误差公式193(10.3.55)(10.3.55)p(k | k) = p(k | 九一 1) cb(k)3 .标量卡尔曼滤
42、波的特点(1)状态滤波| Z)是状态s(4的无偏估计，滤波均方误差p(Z|Q是基于观测值 z、z(2)、z伏)的状态s(6的所有线性估计中最小的均方误差。(2)滤波增益仇幻决定了对观测值z(Z)和状态预测值伏|左-1)利用的比例程度。如 果伙外增加，观测值z(幻利用的权重增加，而状态预测值1)利用的权重降低。如 果仇外降低，观测值z(Z)利用的权重降低，而状态预测值1伏|%-1)利用的权重增加。(3)滤波增益仇Z)由观测噪声方差系统噪声方差crj和上一步滤波均方误差 p(k 11 Z: - 1)决定 滤波增益就久幻随着系统噪声方差巴：增大而递增，随着上一步滤波均方误差 (左-1|Z-1)增大而
43、递增，随着观测噪声方差其增大而递减。卡尔曼滤波能定量识别各种 信息的质量，自动确定对这些信息的利用程度。(4)因为p(攵|Z 1)2。：,，这说明系统噪声方差b：,限制了状态预测精度。(5)在p(0|0)取较大值的情况下，随着估计过程的进行，滤波均方误差p(左|外是逐 渐下降的。4 .标量卡尔曼滤波的递推计算1)标量卡尔曼滤波的计算步骤包括3个步骤：确定模型参数、确定初始值和递推计算。2)确定模型参数模型参数包括：a、c、式及反。3)确定初始值(1)卡尔曼滤波递推算法的初始值：(0|0)和(0|0)。(2)初始值的选取如果有系统状态的先验信息可以利用，那么取6(0|0)=as(0), p(01
44、 0) = Var5(0), 也就是要初始状态的均值和方差。如果没有先验信息可以利用，那么p(0|0)和1(0|0)随意取值就可以，因为随着递推的进 行，伏M)会逐渐收敛。但是，对于(0|0), 一般不要取得过小，因为这样可能会令卡尔 曼滤波相信给定的6(0 I 0)是系统最优的，从而使算法不能收敛。4)递推计算卡尔曼滤波按照5个步骤：状态预测、预测协方差计算、滤波增益计算、状态滤涉及滤 波均方误差计算，依次递推计算。例假设某一个房间的温度是恒定的，但由于受众多因素的影响，室内温度有一 定的起伏，将使室内温度有起伏的众多因素的影响看作一个系统噪声扰动的结果，并把这个 噪声看作是均值为0、方差为
45、b；,的高斯白噪声。用一个温度计测量室内温度，由于温度计制 作和观察者读数习惯等因素的影响，使测量值与实际值之间也会有偏差，将引起读数偏差的 众多因素归结为一个测量噪声。测量噪声是均值为0、方差为的高斯白噪声，且与系统噪 声相互独立。试用卡尔曼滤波根据观测值来估算实际室内温度。194总(Z + 1|Z)第3局部教学小结本教学单元在说明卡尔曼滤波特点的基础上，针对向量形式的状态变量和观测量，重点 讨论了卡尔曼滤波的状态方程、观测方程、基本公式、递推算法和初始值的选取，分析了卡 尔曼滤波的特点、性质和发散现象；针对标量形式的状态变量和观测量，讨论了卡尔曼滤波 的状态方程、观测方程、基本公式和递推算法。卡尔曼滤波被广泛应用，希望课后认真复习，深刻理解卡尔曼滤波的状态方程、观测方 程、基本公式，通过做习题和模拟实验，掌握卡尔曼滤波递推算法和初始值的选取。195教学过程 设计1.教学内容的展开(1)回顾信号参量估计的